机械工程控制基础课件第5章.ppt

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第五章第五章系统的稳定性系统的稳定性系统能在实际中应用的必要条件是系统能在实际中应用的必要条件是系统要稳定系统要稳定。

本章主要介绍几种线性定常系统的稳定性判据及其使用，以及提高本章主要介绍几种线性定常系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。

系统稳定性的方法。

Routh稳定判据稳定判据Nyquist稳定判据稳定判据Bode判据判据11.1.系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生25.1系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念惯性作用：

引起振荡惯性作用：

引起振荡系统自由振荡输出的三种情况：

系统自由振荡输出的三种情况：

等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡（临界稳定）（临界稳定）（临界稳定）（临界稳定）减幅振荡减幅振荡减幅振荡减幅振荡（收敛，稳定）（收敛，稳定）（收敛，稳定）（收敛，稳定）增幅振荡增幅振荡增幅振荡增幅振荡（发散，不稳定）（发散，不稳定）（发散，不稳定）（发散，不稳定）3结论：

结论：

1.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无关。

关。

2.系统发生不稳定现象必有反馈作用。

系统发生不稳定现象必有反馈作用。

3.稳定性是指自由响应的收敛性。

稳定性是指自由响应的收敛性。

42.2.稳定的定义和条件稳定的定义和条件稳定的定义和条件稳定的定义和条件定义：

定义：

系统在初态的影响下，所引起的系统的系统在初态的影响下，所引起的系统的系统在初态的影响下，所引起的系统的系统在初态的影响下，所引起的系统的时间响应随时间的推移逐渐衰减时间响应随时间的推移逐渐衰减时间响应随时间的推移逐渐衰减时间响应随时间的推移逐渐衰减并趋于零并趋于零并趋于零并趋于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，系统在初态的影响下，所引起的系统的反之，系统在初态的影响下，所引起的系统的反之，系统在初态的影响下，所引起的系统的反之，系统在初态的影响下，所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散时间响应随时间的推移而发散时间响应随时间的推移而发散时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。

（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。

无输入时的初态无输入时的初态无输入时的初态无输入时的初态有输入时的初态有输入时的初态有输入时的初态有输入时的初态初态初态初态初态线性定常系统：

线性定常系统：

强迫响应强迫响应强迫响应强迫响应输入引起的自由响输入引起的自由响输入引起的自由响输入引起的自由响应应应应初态引起的初态引起的初态引起的初态引起的自由响应自由响应自由响应自由响应自由响应自由响应自由响应自由响应ssii:

系统的特征根系统的特征根系统的特征根系统的特征根5线性定常系统的稳定性条件线性定常系统的稳定性条件1）1）1）1）当系统所有的特征根当系统所有的特征根当系统所有的特征根当系统所有的特征根ssii（i=1,2,n）i=1,2,n）均具有负实部均具有负实部均具有负实部均具有负实部（位于（位于（位于（位于ssss复平面的左半平面）复平面的左半平面）复平面的左半平面）复平面的左半平面）自由响应收敛，自由响应收敛，自由响应收敛，自由响应收敛，系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定2）2）2）2）若有任一若有任一若有任一若有任一sskk具有正实部具有正实部具有正实部具有正实部（位于（位于（位于（位于ssss复平面的右半平面）复平面的右半平面）复平面的右半平面）复平面的右半平面）自由响应发散，自由响应发散，自由响应发散，自由响应发散，系统不稳定系统不稳定系统不稳定系统不稳定63）3）3）3）若有特征根若有特征根若有特征根若有特征根sskk=j=j（位于（位于（位于（位于ssss复平面的虚轴上），复平面的虚轴上），复平面的虚轴上），复平面的虚轴上），其余极点位于其余极点位于其余极点位于其余极点位于ssss复平面的左半平面复平面的左半平面复平面的左半平面复平面的左半平面自由响应等幅振动，自由响应等幅振动，自由响应等幅振动，自由响应等幅振动，系统临界稳定系统临界稳定系统临界稳定系统临界稳定4）4）4）4）若有特征根若有特征根若有特征根若有特征根sskk=0=0（位于（位于（位于（位于ssss复平面的原点），复平面的原点），复平面的原点），复平面的原点），其余极点位于其余极点位于其余极点位于其余极点位于ssss复平面的左半平面复平面的左半平面复平面的左半平面复平面的左半平面自由响应收敛于常值，自由响应收敛于常值，自由响应收敛于常值，自由响应收敛于常值，系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动7线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件：

系统的全部特征根（传递函数的全部极点）都具有系统的全部特征根（传递函数的全部极点）都具有系统的全部特征根（传递函数的全部极点）都具有系统的全部特征根（传递函数的全部极点）都具有负实部负实部负实部负实部，则系统稳，则系统稳，则系统稳，则系统稳定。

定。

反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。

定。

8结论：

结论：

线性定常系统是否稳定完全取决于系统的特征根。

如何判别稳定性？

求出闭环极点？

高阶难求高阶难求高阶难求高阶难求不必要不必要不必要不必要思路：

思路：

特征方程特征方程特征方程特征方程根的分布（避免求解）根的分布（避免求解）根的分布（避免求解）根的分布（避免求解）开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据95.2Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）101877年由年由E.J.Routh提出。

提出。

Routh判据是基于方程式根和系数的关系建立的，通过对系统特征方判据是基于方程式根和系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。

判断系统的稳定性。

111.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统特征方程为：

设系统特征方程为：

ss11,s,s22,s,snn：

特征根：

特征根各项同除以各项同除以各项同除以各项同除以aann并分解因式，得并分解因式，得并分解因式，得并分解因式，得上式右边多项式展开上式右边多项式展开上式右边多项式展开上式右边多项式展开12一般取一般取一般取一般取aaaannnn为正值，系统稳定的必要条件为：

为正值，系统稳定的必要条件为：

aann00，aan-1n-100，aa1100，aa0000比较系数，得出根与系数的关系：

比较系数，得出根与系数的关系：

从上式可知，要使全部特征根从上式可知，要使全部特征根s1,s2,sn均具有负实部，必须满足两个条件，均具有负实部，必须满足两个条件，即系统稳定的必要条件：

即系统稳定的必要条件：

（1）特征方程的各项系数都不等于零。

）特征方程的各项系数都不等于零。

（2）特征方程的各项系数的符号都相同。

）特征方程的各项系数的符号都相同。

归结为一个条件：

各系数同号且不为零各系数同号且不为零2.系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件13将特征方程的系数排列成将特征方程的系数排列成将特征方程的系数排列成将特征方程的系数排列成RouthRouthRouthRouth表表表表RouthRouth表表表表：

（1）Routh表表14一直进行到其余的一直进行到其余的Ai值全部等于值全部等于0为止。

为止。

一直进行到其余的一直进行到其余的Bi值全部等于值全部等于0为止。

为止。

一直进行到第一直进行到第n行（行（s1行）为止。

行）为止。

第第n+1行等于行等于a015（22）RouthRouth稳定稳定稳定稳定判据判据判据判据RouthRouth表中表中表中表中第一列第一列第一列第一列各元符号各元符号各元符号各元符号改变的次数改变的次数改变的次数改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的等于系统特征方程具有正实部特征根的等于系统特征方程具有正实部特征根的等于系统特征方程具有正实部特征根的个数个数个数个数。

因此，因此，因此，因此，系统稳定的充要条件是：

系统稳定的充要条件是：

RouthRouth表中第一列各元符号均为正，且值不为表中第一列各元符号均为正，且值不为表中第一列各元符号均为正，且值不为表中第一列各元符号均为正，且值不为零零零零。

【例例例例11】系统的特征方程系统的特征方程系统的特征方程系统的特征方程判断系统的稳定性。

判断系统的稳定性。

D（s）=sD（s）=s44ss3319s19s2211s11s303000第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为2222，因此，因此，因此，因此1.1.1.1.系统不稳定系统不稳定系统不稳定系统不稳定2.2.2.2.系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根16RouthRouth表表表表：

s4s3s0s1s2劳劳斯斯表表11110-1930-303012030改变符号一次改变符号一次改变符号一次改变符号一次二阶系统（二阶系统（二阶系统（二阶系统（n=2n=2）稳定的充要条件：

）稳定的充要条件：

aa220,0,aa110,0,aa0000三阶系统（三阶系统（三阶系统（三阶系统（n=3n=3）稳定的充要条件：

）稳定的充要条件：

aa330,0,aa220,0,aa1100，aa000,0,aa11aa22aa00aa3300阶次较低的系统，阶次较低的系统，阶次较低的系统，阶次较低的系统，RouthRouth稳定判据可以简化为：

稳定判据可以简化为：

稳定判据可以简

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