张量分析初学者必看.ppt

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A-1指标符号指标符号附附AA张量分析张量分析例例如如,三三维维空空间间任任意意一一点点PP在在笛笛卡卡儿儿坐坐标系标系用指标符用指标符号表示为号表示为i指标指标取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于nn的所有正整数的所有正整数n维数维数数数变量变量指标符号指标符号一、一、求和约定求和约定和哑和哑指标指标A-1指标符号指标符号AA张量分析张量分析约定约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维A-1指标符号指标符号代表代表代表代表2727项项项项的和式的和式的和式的和式一、一、求和约定求和约定和哑和哑指标指标双重求和双重求和双重求和双重求和二、自由指标二、自由指标筒写为筒写为筒写为筒写为j哑指标哑指标哑指标哑指标i自由指标自由指标自由指标自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同A-1指标符号指标符号三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号（RicciRicci符号符号）Kronecker-符号符号定义定义A-1指标符号指标符号三三、Kronecker-符符号号和和置置换换符符号号（RicciRicci符号符号）Kronecker-符号符号定义定义A-1指标符号指标符号直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的基矢量基矢量基矢量基矢量三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号（RicciRicci符号符号）RicciRicci符号符号定义定义A-1指标符号指标符号偶次置换奇次置换三、三、Kronecker-符号符号和和置换置换符符号号（RicciRicci符号符号）RicciRicci符号符号定义定义A-1指标符号指标符号KroneckerKronecker-和和RicciRicci符号符号的的关系关系A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算在三维空间中在三维空间中在三维空间中在三维空间中,任意矢任意矢任意矢任意矢量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合aaiiii为矢量为矢量为矢量为矢量aa在基矢量在基矢量在基矢量在基矢量eeiiii下的分解系数下的分解系数下的分解系数下的分解系数,也称矢量也称矢量也称矢量也称矢量的分量的分量的分量的分量一一、矢量点积、矢量点积AA张量分析张量分析A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算一一、矢量点积、矢量点积二、矢量二、矢量叉积叉积AA张量分析张量分析A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算二、矢量二、矢量叉积叉积AA张量分析张量分析证明证明证明证明A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算二、矢量二、矢量叉积叉积AA张量分析张量分析三三、矢量、矢量的的混合混合积积A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算Ricci符号符号AA张量分析张量分析四四、矢量、矢量的的并乘并乘（并矢并矢）A-A-22矢量的基本运算矢量的基本运算AA张量分析张量分析并乘并乘A-3A-3坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义AA张量分析张量分析坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换式式式式A-3A-3坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义AA张量分析张量分析互互互互逆、正交矩阵逆、正交矩阵逆、正交矩阵逆、正交矩阵基基基基矢量变换矢量变换矢量变换矢量变换式式式式任意向任意向任意向任意向量变换量变换量变换量变换式式式式AA张量分析张量分析A-3A-3坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义坐标坐标坐标坐标变换变换变换变换系数系数系数系数张量的定义张量的定义在坐在坐在坐在坐标标系系系系变换时变换时,满满足如下足如下足如下足如下变换变换关系的量称关系的量称关系的量称关系的量称为张为张量量量量张张量的量的量的量的阶阶自由指自由指自由指自由指标标的数目的数目的数目的数目不变性记法不变性记法不变性记法不变性记法AA张量分析张量分析A-3A-3坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义一一、加、加（减减）法法二、矢量与张量的点积二、矢量与张量的点积（点乘点乘）左点乘左点乘左点乘左点乘AA张量分析张量分析A-3A-3坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量,新新张量量bb比原比原张量量TT的的阶数降低数降低一一阶A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算右右右右点乘点乘点乘点乘对对称称张张量量两两者才相等者才相等AA张量分析张量分析三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算左左左左叉叉叉叉乘乘乘乘AA张量分析张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原新张量与原张量同阶张量同阶右叉右叉右叉右叉乘乘乘乘三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析四四、两个两个张量的张量的点点积积A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。

新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。

新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减22两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘五五、张量的、张量的双点双点积积A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。

新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。

新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减44六六、张量的、张量的双叉乘双叉乘A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析七七、张量的、张量的缩并缩并A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运这种运算称为缩并算称为缩并八八、指指标置置换换A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得得到一个与原张量同阶的新张量到一个与原张量同阶的新张量九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析若若张张量量的的任任意意两两个个指指标标经经置置换换后后所所得得的的张张量量与与原原张张量量相相同同,则则称称该该张张量量关关于于这这两两个个指指标标为为对对称称,若若与与原原张张量量相相差差一一符符号号,则则称称该张量关于这两个指标为反称。

该张量关于这两个指标为反称。

有有66个独立分量个独立分量有有33个独立分量个独立分量九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析对对对对称称称称化化化化：

对已知已知张量的量的NN个指个指标进行行N!

N!

次不同的置次不同的置换,并取所得的并取所得的N!

N!

个新个新张量的算量的算术平均平均值的运算的运算。

其其结果果张量关于参与置量关于参与置换的指的指标为对称。

将指称。

将指标放放在在圆括弧内表示括弧内表示对称化运算称化运算。

九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析反称化反称化反称化反称化:

对已知已知张量的量的NN个指个指标进行行N!

N!

次不同的次不同的置置换,并将其中指并将其中指标经过奇次置奇次置换的新的新张量取反号量取反号,再求算再求算术平均平均值,这种运算称种运算称张量的反称化量的反称化,其其结果果张量关于参与置量关于参与置换的指的指标为反称。

将指反称。

将指标放在方括放在方括弧内表示反称运算弧内表示反称运算。

十十、商商法则法则若在某坐若在某坐标系中按某系中按某规律律给出出33=27个数个数A（ijk）,且且A（ijk）bk=Cij,其中其中bk是与是与A（ijk）无关的任意矢量无关的任意矢量,Cij是是张量量,那么那么,A（ijk）必必为比比Cij高一高一阶的的张量。

量。

A-4A-4张量的代数运算张量的代数运算AA张量分析张量分析用于判定某些量的张量性！

用于判定某些量的张量性！

A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）AA张量分析张量分析BB的作用如同一个算子的作用如同一个算子,它使空它使空间内每一个向量内每一个向量变换为另一个向量另一个向量,或者或者说BB能把一个向量空能把一个向量空间映射映射为另一向量空另一向量空间。

A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）AA张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置BBTT对称张量对称张量对称张量对称张量反反反反对称张量对称张量对称张量对称张量A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）AA张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置BBTT和和和和bbbb为任意向量为任意向量为任意向量为任意向量AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）一一、仿射量的、仿射量的逆逆BB-1-1AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值对于于仿仿射射量量B,B,若若存存在在三三个个相相互互垂垂直直的的方方向向i,ji,j,kk,其其映映象象Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也也相相互互垂垂直直,则称称该三三个个方方向向为BB的的主主向向。

对称称仿仿射射量量TT必必存存在在三三个个主主向向和三个相和三个相应的主的主值。

主。

主值SS满足如下特征方程。

足如下特征方程。

AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）AA张量分析张量分析A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量各向同性张量各向同性张量各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时,各分量保持各分量保持各分量保持各分量保持不变的张量不变的张量不变的张量不变的张量零阶张量零阶张量（标量标量）总是各向同性的。

一阶张量总是各向同性的。

一阶张量（即矢量即矢量）总不是各向同性的。

对于对称二阶张量总不是各向同性的。

对于对称二阶张量T,T,如果其如果其三个主值相等三个主值相等,即即SS11=S=S22=S=S33=,=,则是各向同性的。

则是各向同性的。

A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量证明：

证明：

证明：

证明：

（1）4个指标都相同的分量有3个A-5A-5二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量证明：

证明：

证明：

证明：

（2）4个指标有3个相同的分量有24个以A1112为例。

如绕x2转1800，坐标变换系数为要使新坐标的分量A1112与原坐标中的分量A1112相等，A1112。

必为零。

所以A1123=0。

其它都为零。

（3）4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123为例。

坐标仍