变分不等式及其应用.docx
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变分不等式及其应用
变分不等式及其应用
变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。
变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名.作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。
本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用.
第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。
第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。
Hilbert
第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、
空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。
第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。
关键词：
变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题
VARIATIONALINEQUALITY
ANDITSAPPLICATION
ABSTRACT
Variationalinequalitiesareimportantnonlinearproblems,ithas
beenwidelyappliedinthefieldsofengineering,economics,controltheory.Themathematicaltheoryofvariationalinequalityproblemisoriginallyappliedtosolveequilibriumproblem.Inthismodel,thefunctioncomesfromthefirst-ordervariationofthecorrespondingpotentialenergy,soitiscalledvariationalinequalityproblem.Asthegeneralizationanddevelopmentofclassicalvariationalproblems,
theformofvariationalinequalitiesshouldbediversification.Inthispaper,istudytheorigin,derivation,andapplicationsofvariationalinequalities.
ThefirstchapterisisPreliminaries.Inthischaper,ilistthedefinitionsofconvexfunctional,upperandlowersemi-continuousfunctional,consecutive,Ferchetdifferential,montonousmap,andsoon.Theyareusedforunderstandingtheconcept,derivation,andapplicationsofvariationalinequality.
Inthesecondchapter,iintroducetheconceptofvariationalinequalitiesandgivesomecommonexamplesofvariationalinequalities.
Inthethirdchapter,byconsderingdifferentiablefunctions'
extremumproblems,non-differentiablefunctions'extremumproblems,
theprojectioninHilbertspace,controlsystemsofdistributedparameterandsomeotherissues,istudythemethodsofvariationalinequalities'derivation.
Inthefourthchapter,aclassofnonlinearquasi-variationalinequalitieisintroduce,anditisappliedtosolvesecondorder
semi-linearellipticboundaryvalueproblems.
Keyelliptic
words:
Variationalinequalities,
equation,boundaryvalueproblem
extremum
problem,
前言1
第一章预备知识2
第二章变分不等式的概念和例子4
§2.1变分不等式的概念4
§2.2变分不等式的例子5
第三章变分不等式的导出8
§3.1可微函数的极值问题8
§3.2不可微函数的极值问题10
§3.3Hilbert空间上的投影问题11
§3.4不动点问题12
§3.5分布参数系统控制问题14
第四章变分不等式的应用17
结论19
参考文献
错误!
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变分不等式作为不等式中的重要分支，是一个经典的数学问题。
作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式可以各种各样。
它的现代数学理论是本世纪六十年代起才逐步发展起来的。
人们通过连续力学非线性问题的定性及数值分析的研究中发现变分不等式。
自20世纪60年代，Lions，Browder，Stampacchia，KyFan，Lemke,
Cottle，Dantzing等人提出和创立变分不等式和相补问题的基本理论以来，经过许多数学家的杰出工作，变分不等式的理论及应用取得重要发展，日臻完善，已经成为一门容十分丰富并有广阔应用前景的重要边缘性学科。
它与力学、微分方程、控制理论、数学经济、最优化理论、对策理论、非线性规划等理论和应用学科有着广泛的联系并有重要的应用。
变分不等式是经典变分问题的推广和发展，它是将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束（即用不等式代替等式）的变分方法•它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具，也是变分学的一个重要发展。
本文介绍变分不等式的概念并例举变分不等式常见的例子，给出导出变
分不等式的一些方法。
最后我们探讨一类变分不等式的应用。
第一章预备知识
定义1.1（上方图形）
设X是一线性空间，M是X之一子集。
我们以coM表M凸包。
设：
X（,］是--泛函。
集合
epi（）{x,rXR:
xr}
称为的上方图形，而
dom（）{xX:
x}
称为的有效域。
定义1.2（凸泛函）设X是一线性空间，C是X的凸集，：
CR（记
R（
］）称为凸泛函，如果对任意的
X,yC，及任一to,1有
tx1tytX1t
y.
泛函
称为严格凸的，如果x,y
Cx
y，及任一to,1有
tx1tytx1t
y.
泛函
称为拟凸的，如果对任意
R，
集合集合
F{xC:
x}.
是凸的。
定义1.3（上、下半连续）设X是一拓扑空间，：
XR是一真泛函。
称为在X上是下半连续的，如果对任一X。
X及任一网{x}X，当xxo
时，有
xliminfx。
.
Xx
称为在X上是上半连续的，如果对任一X。
X及任一网{x}X，当xxo
时，有
limsupxx0.
xX。
定义1.4（半连续）设X是一线性赋空间，T:
XX*是一映像，X。
X.
W*
如果对任一yX及一切tn。
，当tn。
时，有TXotnyTx。
，则称T在X。
处
半连续。
如果T在X的每点处都是半连续，则称T在X上是半连续的
定义1.5（Frechet微分）设X和Y是Banach空间，D是X中的开集，
A：
DY,xD。
若存在线性有界算子B:
XY,使得
Ax0hAx0Bhwx0,h.
其中wx0,ho||h||，即
..I|wXo,hlim0.
||h|10||h||
则称算子A在点X0处Frechet可微，而Bh称为A在X0处关于h的Frechet微
分，记为dAx0h。
算子B称为A在X）处的Frechet导算子，记为A'冷。
定义1.6（单调）设T:
X2X是一多值映像。
（1）T称为单调的，如果对任意的x,yX及任一的fTx,gTy
fg,xy0；
（2）单调映像T称为严格的，如果T是单调的，且fg,xy0,则
xy。
定义1.7（强制泛函）称泛函f:
XR1是强制的，如果材mf（x）.
定义1.8（强制连续双线性型泛函）若存在常数0及0，使得
au,va||v||2且au,v||u||||v||,u,vH，
则称au,v是H上的强制连续双线性型泛函。
第二章变分不等式的概念和例子
§2.1变分不等式的概念
从经典的极值问题我们引申出变分不等式的现代数学理论，假设定义在实
轴R上的二次凸函数
12
Fxbxaxc,b0,xR（2.1）
2
很显然，它具有极小值点xo，且满足
Fx0a0
求得X。
a/b。
现在我们限制上述极小值问题。
假定函数F不是定义在整个
实轴上，而只在凸子集
X{xR;0x1}
上有定义，设x0是F在K上的极小值点，则
（2.2）
FxFx0,xX.
因此
Fx0xx°
并且
于是，函数F在X上的极小值点将满足不等式
Fx0xx00,xX（2.3）
显然，只有当a/bX时，上式等号成立。
上式就是最简单的变分不等式。
这一简单公式经过推广，可以变成一个非
常抽象能概括许多物理现象的一般公式。
下面给出变分不等式的基本定义。
设E是一拓扑空间，X是E中非空子集。
f:
XR:
（,］是一泛函，
且f.设：
XXR是一实泛函，且x,x0，xX.下面关于xX
的无穷不等式组:
x,yfxfy,yX（2.4）
称为变分不等式（或称变分不等方程）。
若又X满足（2.4），则称x为变分不
等式（2.4）的解。
§2.2变分不等式的例子
例2.2.1设K是只“中之一非空闭凸集，T:
KRn是一连续映象。
求
uK,使得
Tu,vu0,vK.（2.5）
这类变分不等式称为Hartrnan-Stampacehia变分不等式。
例2.2.2设X是一局部凸线性拓扑空间，K是X中的紧凸集，T:
KX*
是一连续映射，求
Tu,vu0,vK（2.6）
解的存在性。
这类变分不等式我们称为Browder变分不等式。
例2.2.3设H是一实Hilbert空间，a,是H上的连续的双线性泛函，即存在常数c0，使得
|au,v|c||u||||v||,u,vH.
对任意给定的fH及任给的凸集KH,求uK，使得
au,vuf,vu,vK.（2.7）
其中，如果KH，贝U（2.3）等价于：
求uH使得
au,v：
f,v,vK.（2.8）
这类变分不等式称为Lions-Stampacchia变分不等式或者椭圆形变分不
例2.2.4设H是一实Hilbert空间，V是一自反Banach空间，||||是V中的数且VHV*，记
Tp
LP0,T;V{u:
0,TV:
0||ut||dt}，
设：
Lp0,T;V（,］是一函数且.记
D{uLp0,T;V:
u}.
并由下式定义一映像:
（2.9）
utdt,如果uL10,T;R,
否则.
u0u0
vD,a.e.t0,T
渗透中的某些问题的研究。
究，并与凸数学规划中的某些问题紧密联系。
F是一Ferchet空间。
设X和C分
例2.2.6设E是一局部拓扑向量空间，
别是E和F的子集，T:
X2C,S:
X2X是多值映像，：
XCXR是
函数，满足条件x,y,x0,x,yX。
求x*Sx*,y*Tx*，使得
（2.11）
x,y,x0,xSx
这一类变分不等式称为拟-似变分不等式。
例2.2.7设E是一实向量空间，X，X。
，是E的两个闭子集，X。
使得
uH,wTu,yVu，使得
0Nw,yAgu,u.
这类问题称为集值拟变分包含。
例229设X,Y是二实Banach空间，K是X之一非空闭凸集，
T:
KLX,Y是一映像，其中LX,Y是由X到Y的一切线性连续映像的集合。
设｛Cx:
xK｝是Y中一族闭的intCx不为空的尖凸锥。
求uX使得
Tu,xX。
intCu,xK.
其中Tx,y表线性映像Tx在y处的取值。
这一类变分不等式称为向量变分不等式。
例2.2.10设E是一拓扑向量空间，X是E中之一非空的紧凸集，E*是E
的对偶空间，*,*〕是E和E*间的配对。
设，是一可测空间，
f:
XE*,求一可测映像v:
X使得对任一w
Refw,vw,yvw0,yX.
这一类变分不等式称为随机变分不等式。
例2.2.11设E是一局部凸的Haussdorff拓扑向量空间，X是E之一非空的紧凸子集，FE是E上的一族模糊集。
设G:
XFX和F:
XFE*是二模糊映像，而x:
X（0,1］是一数。
求y。
X使得
Gy0yoyo,Reu,yox0
对一切uFy°u及xGy°xy°。
这一类变分不等式称为模糊变分不等式。
第三章变分不等式的导出
本章我们通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert
空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。
§3.1可微函数的极值问题
例3.1.1设fC1[a,b],R,求X）a,b，使得
fX。
minfx.
ax0
由Weierstrass
定理知，
Xo存在，且满足
（1）当xo
a,b时，
fxoo；
（2）当xo
a时，f
xo；
（3）当xo
b时，f
xo；
因而只要x0a,b，均与fx0xx00,xa,b。
于是按R中的积即得
F面的变分不等式:
fxo,xxoo,x
a,b，
而且xo是变分不等式的解.
例3.1.2设uc1a,b：
fu
1
b
|ux|dx，a1
设KC1a,b
是由下式定义
的集合：
1
K{uCa,b:
ua
ubo,h1x
uxh2x,x
a,b}，
其中，
g和h2是二给定的函数，
显然，
h|aoh2a,h|
bo
h2b.
设Uo
K,使得
fuominfu
b
min
|ux|2dx.
ouK
uKa
因K凸
，故对任意的v
K,uo
1vK,
o,1,现定义函数
F:
0,1R如下:
故得下面的变分不等式
3.1.3设是Rn中之一开集，求极小值
2
.1|gradu|dx,uC1,R，
可证u满足变分不等式:
nuxvux[;-dx0,vK.
111|gradu*|22
上面的例子表明，可微函数的极小值问题可导出变分不等式问题，反之,
E*为E的对偶空间，.，表E和E*间的R是一Ganteaux可微的凸函数，其微分
如果下面命题成立且这一可微函数还是凸的，则其逆结论也成立。
命题3.1.1设E是一实赋空间，
配对，设K是E之一凸子集，f:
E
Df:
EE*定义为：
Dfv,wdfvtw|t
dt
o,w,v
E.
v,vu0,vK.
iK是f在K上的极小点，则对任意vK函数
futvuItoDfu,vudt
21.对任意的的wE及任一t（0,1］有
!
[futW
-ftuw1tufut
tfuw1tfufut
fuwfu
于上式左端令t0即得
fuwfuDfu,w,wE.
对任一vK,取wvu，代入即得
（3.1）
fvfuDfu,vu,vK.
因而结论
（1）由（3.1）直接可得。
23.在（3.1）换u与v的位置得
fufvDfv,uv,vK.（3.2）
（3.1）与（3.2）两式相加即得
DfuDfv,vu0,vK.
结论（3）得证。
32.于（3）中以utvu,t［0,1］代替v,得
Dfutvu,vu0,vK.
由实轴上可微凸函数的性质值，上式左端在t0处右连续。
让t0，即得
（2）。
证毕。
§3.2不可微函数的极值问题
命题3.2.1设H是一Hilbert空间，a
Jvav,vjv:
f,v.，
则下列结论等价：
H,使得JuminJv；
vH
H是下面的变分不等式的解:
（1）
（2）
的对称双线性,
（3.3）
故对任
一vH和任一t
0,1有
Ju
1
au,u
2
ju
>
f,u
Jutv
u
1+aut
2
vu
u
tvu
j（ut（v
u））f,ut（vu
1
t2
tau,vu
jutjvju
au,u
—av
u,vu
2
2
f,utf,v
u
化简后得
t
avu,v
2
u
a
u,vu
jvju
f,vu.
au,vu
2.设
（1）成立,
证明：
1
j（v）j（u）
由
f,vu,vH.
Ju的极小性和a,
让t0,结论
（2）得证。
21.设uH是变分不等式（3.3）
1
av,v
2
a
u,u
1au
2
v
u,uv
u
a（u,u）
au,v
u
1av
2
u,v
u
au,v
u,
vH
及（3.3）知任
」v
H有
1r[av,v
2
a
u,u]j
v
ju.f,vf,u0
的解,
由
即JvJu,vH。
故U是J在H上的极小点。
证毕
设H是一实Hilbert空间，K是H的一个非空闭凸集，uH是给定的一点，如果存在zK使得
||zu||miplluv||，
vK
则称z是u在K上的投影，记为zPK（u）。
现定义一函数f:
0,1R如下：
fz1vu,z1vu,0,1
其中v是K中任一给定的点，由上式知，f在1处取得极小值，于是由例3.1.1知f10，故得
-zu,vz0,vK.（3.4）
即zPku是上式变分不等式的解。
反之，如果zK是变分不等式的解，从而有
0zu,vz
z
u,vuz
u
zu,vu||zu||2
因而得知||zu||||v
u||，
vK,即z
Pk
u.
另外，对任给的
u1,u2
H，令z
Pk
ui,i1,2，由（3.4）有
0u1,v乙
0,z
2u2,vZ2
0,
vK.
在前一式中取vz2，
后一
式中取vzj
，相加得
乙Z2ZZ2
u1
比，乙Z2.
于是由Schwarz不等式知
||PkuPku||IUu2||.
综上所述，即得下列结论。
命题3.3.1[15]设H是一实Hilbert空间，K是H之一非空闭凸集，则下
列结论成立：
（1）zK是uH在K上的投影，当且仅当z是变分不等式（3.4）的解
（2）由H到K上的投影映像Pk是非扩的。
§3.4不动点问题
命题3.4.1设H是一实Hilbert空间，K是H的非空闭凸集。
（1）如果T:
KK是一自映像，则uK是T的不动点，当且仅当u是下面的变分不等式的解：
ITu,vu,0,vK；（3.5）
（2）如果T:
KH是一非自映像，而且对任一uK,存在vK和某
0，使得Tuuvu,则uK是T的不动点，当且仅当u是上式变分不等式的解；
（3）如果T:
KH是一非自映像，则uK是变分不等式
Tu,vu0,vK.（3.6）
的解当且仅当u为映像PkIT的不动点，其中0是任意正数，Pk是H到
K上的投影。
证明：
（1）必要性显然，现证充分性。
事实上，于（3.5）中取vTu，代入得
||uT（u）『0,即uTu；
（2）只证充分性。
设uK是变分不等式（3.5）的解。
由命题的条件，存
在vK和某一0,使得Tuuvu。
代入（3.5），并在（3.5）中取vv，化简得||vu『0,故vu。
于是uTu，结论得证。
（3）设uK是变分不等式（3.6）的解，即
Tuvu0,vK，
从而有
uuTu,vu0,vK,0.
由命题3.3.1得知
uPKuTu，
即u是映像PkIT的不动点。
反之，设uPKuTu，于是有
uuTu,vu-Tu
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