一元函数积分学.ppt

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引引言言第三章第三章一元函数积分学一元函数积分学积分学分为积分学分为不定积分不定积分与与定积分定积分两部分。

两部分。

不定积分不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而是作为函数导数的反问题提出的，而定积分定积分是作为微是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。

却有着紧密的内在联系。

本章主要研究本章主要研究不定积分不定积分和和定积分定积分的概念的概念、性质性质及基本积分方法及基本积分方法，并揭示二者的联系并揭示二者的联系，从而着重论从而着重论证微积分学核心定理证微积分学核心定理（牛顿牛顿-莱布尼茨式公式莱布尼茨式公式），解决定解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及物理及医学等方面的应用医学等方面的应用，最后简单研究广义积分最后简单研究广义积分。

本章主要内容本章主要内容3.1不定积分不定积分3.2不定积分的计算不定积分的计算3.3定积分定积分3.4定积分的计算定积分的计算3.5广义积分广义积分3.3.11.1.1不定积分的概念不定积分的概念3.3.11.2.2不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和运算法则运算法则3.13.1不定积分不定积分微分法微分法:

积分法积分法:

互逆运算互逆运算3.1.13.1.1不定积分的概念不定积分的概念问题问题提出提出定义定义1若在某一区间上，若在某一区间上，F（x）=f（x），则在这个，则在这个区间上，函数区间上，函数F（x）叫做函数叫做函数f（x）的的一一个原函数。

个原函数。

一、不定积分的定义一、不定积分的定义定理定理11若函数若函数f（x）在某区间上连续在某区间上连续，那么那么f（x）在该区间上在该区间上的原函数一定存在的原函数一定存在。

定理定理22若函数若函数f（x）有原函数，那么它就有无数多个原函数有原函数，那么它就有无数多个原函数.定理定理33函数函数f（x）的任意两个原函数的差是一个常数的任意两个原函数的差是一个常数。

关于原函数，先研究三个问题：

关于原函数，先研究三个问题：

a.函数函数f（x）应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？

b.若函数若函数f（x）有原函数，那么原函数一共有多少个有原函数，那么原函数一共有多少个？

c.函数函数f（x）的任意两个原函数之间有什么关系的任意两个原函数之间有什么关系？

定理定理11：

若：

若F（x）是是f（x）的一个原函数，则的一个原函数，则f（x）的所有的所有原函数都可以表示成原函数都可以表示成F（x）+C（C为任意常数）为任意常数）。

思考思考：

如何证明？

：

如何证明？

定义定义22若若F（x）是是f（x）的一个原函数，则的一个原函数，则f（x）的所有的所有原函数原函数F（x）C称为称为f（x）的不定积分，记为的不定积分，记为x称为积分变量称为积分变量f（x）称为被积函数，称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式称为被积表达式其中其中称为积分号，称为积分号，C称为积分常数称为积分常数例例11求下列不定积分求下列不定积分

（1）

（2）解：

解：

（2）（3）（3）

（1）例例22用微分法验证等式：

用微分法验证等式：

证明：

证明：

因为因为是是cos（2x+3）的一个原函数，的一个原函数，所以所以即即几何意义：

几何意义：

不定积分不定积分表示积分曲线表示积分曲线y=F（x）沿沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线轴上下平移而得到的一族积分曲线。

二二、不定积分的几何意义不定积分的几何意义例例3求经过点求经过点（1,3），且其切线的斜率为，且其切线的斜率为2x的曲线方程。

的曲线方程。

解：

解：

由曲线切线斜率为由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知且不定积分定义可知得曲线簇得曲线簇y=x2+C,将将x=1,y=3代入，得代入，得C=2所以所以y=x2+23.1.23.1.2不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则一一、不定积分的基本公式不定积分的基本公式由不定积分的定义可知由不定积分的定义可知，不定积分不定积分就是就是微分微分运算的逆运算运算的逆运算。

因此因此，有一个导数或微分公式有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式就对应地有一个不定积分公式。

序号序号12345基本积分表基本积分表67891011例例44求下列不定积分求下列不定积分

（1）

（2）（3）解：

解：

（1）

（2）（3）例例55验证验证解：

解：

当当x0时，时，当当x0时，时，所以所以关于不定积分，还有如下等式成立：

关于不定积分，还有如下等式成立：

2.2.1.1.或或或或.不为零的常数因子，可移动到积分号前。

不为零的常数因子，可移动到积分号前。

.两个函数的代数两个函数的代数和和的的积分积分等于函数等于函数积分积分的代数的代数和和（k0）二、不定积分的运算法则二、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）例例66求求解：

原式原式=直接积分法：

直接积分法：

利用不定积分的运算性质和积分利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。

基本公式直接计算出不定积分的方法。

例例77求求解解：

原式原式例例88求求解解：

原式原式=例例99求求解解：

原式：

原式=说明：

说明：

以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。

才能使用基本积分公式。

课堂思考课堂思考不对，例如3.23.2不定积分的计算不定积分的计算利用基本积分公式及不定积分的性质直接计利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。

下面介绍不定积分的两大积分方法方法和技巧。

下面介绍不定积分的两大积分方法:

换元积分法换元积分法与与分部积分法分部积分法3.2.13.2.1换元积分法换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分法）有一些不定积分，将有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量而新的积分表达式和新的积分变量可直接由可直接由基本积基本积分公式分公式求出不定积分来求出不定积分来。

例如例如想到基本积分公式想到基本积分公式若令若令u2x，把把2x看成一个整体看成一个整体（新的积分变量）新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来这个积分可利用基本积分公式算出来定理定理1设设f（u）具有原函数具有原函数F（u），u（x）可导可导则有则有第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）则有换元公式则有换元公式注意注意使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将第一类换元法又称为凑微分法。

第一类换元法又称为凑微分法。

例例1010求求解：

解：

原式原式=推广推广解解：

例例1111求求解解：

原式原式=例例1212求求解：

解：

原式原式=例例1313求求解：

解：

原式原式=同理可得同理可得例例1414求求解：

解：

说明说明：

正余弦三角函数积分的正余弦三角函数积分的偶次幂偶次幂时，一般应时，一般应先先降幂降幂。

例例1515求求解解说明说明：

正余弦三角函数积分正余弦三角函数积分奇次幂奇次幂，拆开拆开奇次奇次项去项去凑微分凑微分。

例例1616求求解解说明说明：

正余弦三角函数相乘积分时，拆开正余弦三角函数相乘积分时，拆开奇次奇次项去项去凑凑微分微分。

例例1717求求解：

解：

利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得例例1818求求解法一解法一解法二解法二解法三解法三凑微分常见类型凑微分常见类型二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用第一类换元积分法是利用凑微分凑微分的方法，把一的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。

个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。

但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换代换x（t），而积分而积分目的目的：

去根号或化为基本积分公式：

去根号或化为基本积分公式可用基本积分公式求解。

可用基本积分公式求解。

定理定理2设设f（x）连续，连续，x（t）是单调可导的连续是单调可导的连续函数，且其导数函数，且其导数（t）0，x（t）的反函数的反函数t=-1（x）存在且可导，并且存在且可导，并且则则根式代换根式代换例例1919求求解：

解：

考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故令令当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式时，时，可采用令可采用令x=tn（其中（其中n为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）例例2020求求解：

解：

令令例例2121求求解解:

令令则则原式原式三角代换三角代换例例2222求求解解:

令则则原式原式小小结结注意：

注意：

三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式。

三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令例例2323求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高例例2424求求令令解解倒数代换倒数代换小结小结两类积分换元法：

两类积分换元法：

（一）一）凑微分凑微分

（二）二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令考虑积分考虑积分解决思路解决思路利用分部积分法利用分部积分法问题的提出问题的提出3.2.23.2.2分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分的基本方法分部积分法分部积分法。

对此对此不等式两边求不定积分不等式两边求不定积分即即分部积分过程：

分部积分过程：

应用分部积分法时，可按下述步骤计算：

应用分部积分法时，可按下述步骤计算：

（凑微凑微：

定出：

定出）（分部分部：

利用分部积分公式：

利用分部积分公式）（积分积分）例例2525求积分求积分解解:

令令若令若令显然，显然，选择不当，积分更难进行。

选择不当，积分更难进行。

若若u和和dv选取不当，就求不出结果，所以应用选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取分部积分法时，恰当选取u和和dv是一个关键。

是一个关键。

选取选取u和和dv一般要考虑下面两点：

一般要考虑下面两点：

（1）v要容易求得；要容易求得；

（2）要比要比容易积出容易积出例例2626求积分求积分解解若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和对数函数对数函数的乘积，的乘积，就考虑设就考虑设对数函数对数函数为为u。

思考思考：

如何求：

如何求例例2727求积分求积分解解:

令令若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和反三角函数反三角函数的乘积，的乘积，就考虑设就考虑设反三角函数反三角函数为为u。

例例2626求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。

复原法在求不定积分时有着广泛的应用。

在计算方法在计算方法熟练后熟练后，分分部积分法的部积分法的替换过程可替换过程可以省略。

以省略。

被积函数类型及被积函数类型及u和和dv的选取法的选取法类型类型：

类型类型：

类型类型：

任意选取任意选取3.33.3定积分定积分（DefiniteIntegrals）定积分是积分学的一个重要概念，在科学研定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积平面图形面积、变力所作的功变力所作的功等均可归结为等均可归结为定积分问题定积分问题。

本节从求本节从求曲边梯形的面积曲边梯形的面积和和变速直线运动的变速直线运动的路程路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、