北师大版初二数学八年级下册第5章《分式与分式方程》全章教案设计.docx

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北师大版初二数学八年级下册第5章《分式与分式方程》全章教案设计

第五章　分式与分式方程

1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识.

2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力.

1.经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验.

2.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.

培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.

本章主要学习分式的概念、基本性质与运算,分式方程及其应用.分式是代数式的重要组成部分.分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据,是有关比例的学习基础.分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切,在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用.

根据《标准》的要求,本章教科书特别关注了下列几个方面:

（1）分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型.在学习分式、分式方程的概念时,教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系,丰富了分式、分式方程的实际背景,以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用,体会分式、分式方程与现实生活的密切联系.

（2）在学习分式的基本性质及其运算法则时,十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用.

（3）分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解.在分式运算的设计中,教科书适当降低了分式纯运算的难度,只对较简单的分式进行化简、求值与运算.

具体地,教科书设计了4节内容:

第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念,体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质,理解分式的基本性质.

第2节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则,获得分式乘除法的法则,并会用法则进行分式运算.

第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则,获得分式加减法的法则,并会用法则进行分式运算.

第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程,分析所列出方程的共同特征,理解分式方程的概念,进而学习怎样解分式方程,并会用分式方程解决简单的实际问题.

【重点】

1.分式的概念,正确理解分式的基本性质.

2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.

3.会进行简单的分式加减运算.

4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.

【难点】

1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.

2.分式乘除法法则的推导.

3.确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性.

4.列分式方程解应用题.

1.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,进一步发展符号感.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节,与以前用字母表示数量关系相比,本章表示量与量之间关系的代数式可以是分式.教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系,并运用符号进行表示.在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流.

2.让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则,发展学生的合情推理能力.教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材,教学时应将重点放在对法则的探索过程上,使学生充分活动起来,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中,发现法则、理解法则、应用法则.同时,还要关注学生对算理的理解,以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力.

3.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现这种“转化”的思想.另外,对分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程,教学过程中要注意把握这一要求.

4.列分式方程解决应用问题比列一元一次方程（组）要稍复杂一些.教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节.对于常用的数量关系,虽然学生以前大都接触过,但在本章的教学中仍要注意复习、总结,引导学生举一反三,进一步提高分析问题与解决问题的能力.此外,教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,注意检验、理解所获得结果的合理性.

1　认识分式

2课时

2　分式的乘除法

1课时

3　分式的加减法

3课时

4　分式方程

3课时

回顾与思考

1课时

1　认识分式

1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系.

2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.

3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形.

让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力.

培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度.

【重点】　分式的概念与基本性质.

【难点】　分式有意义和分式值为零的条件及其应用.

第

课时

1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.

2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别.

1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.

2.使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法.

1.通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性.

2.培养学生类比联想的思维习惯.

【重点】　分式的概念.

【难点】　理解和掌握分式有意义的条件.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.

导入一:

【问题】　下列式子中哪些是整式?

哪些是单项式?

哪些是多项式?

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.

解:

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.

[设计意图]　因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.

导入二:

【问题】　学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:

（1）面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.

如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要　　　　个月,实际完成造林任务用了　　　　个月. 

（2）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

【师生活动】　让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.

解:

（1）　　

（2）册.

[设计意图]　让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.

一、认识分式

思路一（针对导入一）

1.分式初探

　　[过渡语]　同学们刚才看到的式子都是整式,我们可以发现它们有这样的特点:

没有分母或者分母是数字,那么如同,等这样的式子和整式一样吗?

这就是我们本节课要研究的问题.

解决下列问题:

（1）一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为mkg,箱子的质量为nkg,则每千克苹果的售价是多少元?

（2）一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?

（3）文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

根据学生交流、讨论,可得出结果.

解:

（1）.　

（2）kg.　（3）册.

2.认识分式

问题1

刚才这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.

它们的共同特征:

（1）它们是由分子、分母与分数线构成的;

（2）分母中都含有字母.

它们与整式的不同点:

它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

问题2

分式中,字母可以取任意实数吗?

学生领会分式的概念并思考得出:

不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.

问题3

在什么情况下分式的值为0?

学生通过类比分数的性质得出:

分式的分子为0的时候,分式的值为0.

思路二（针对导入二）

1.分式初探

　　[过渡语]　刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢?

讨论目的:

以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义.

讨论内容:

（针对前面列出的三个代数式）这些代数式有什么共同特征?

它们与整式有什么不同?

老师提出思考问题:

（1）整式中的分母有没有字母?

（2）前面的三个代数式中,分母中有没有字母?

（3）前面的三个代数式是不是分数呢?

（4）前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?

（5）前面的三个代数式的值在什么情况下为零?

问题预设:

学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.

2.认识分式

根据学生的观察、讨论,老师进行总结:

这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.

[设计意图]　让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.

[知识拓展]　1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.

2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.

3.分式的概念包括3个方面:

（1）分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;

（2）分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;

（3）在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.

二、例题讲解

（教材例1）

（1）当a=1,2,-1时,分别求分式的值;

（2）当a取何值时,分式有意义?

〔解析〕　

（1）分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.

（2）只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.

解:

（1）当a=1时,==2.

当a=2时,==1.

当a=-1时,==0.

（2）当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.

由分母2a-1=0,得a=.

所以当a≠时,分式有意义.

[设计意图]　让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:

一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度,需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.

1.分式的概念.

一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

2.分式有意义的条件.

分式有意义的条件是分母不为0.

3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.

1.（2015·随州中考）若代数式+有意义,则实数x的取值范围是（　　）

A.x≠1B.x≥0

C.x≠0D.x≥0且x≠1

解析:

若代数式+有意义,则有解得x≥0且x≠1.故选D.

2.若分式有意义,则x的取值范围是　　　　. 

解析:

依题意得3x+5≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.

3.若分式的值为0,则x的值是　　　　. 

解析:

在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.

4.对于分式,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义.试求m,n的值.

解:

∵当x=-3时,分式的值为0,

∴即

又∵当x=2时,分式无意义,

∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.

解方程组得

第1课时

一、认识分式

1.分式初探

2.认识分式

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第109页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第109页习题5.1的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各式是分式的是（　　）

A.B.C.+yD.

2.（2015·金华中考）要使分式有意义,则x的取值应满足（　　）

A.x=-2B.x≠2

C.x>-2D.x≠-2

3.若分式的值为0,则（　　）

A.x=-2B.x=0

C.x=1或-2D.x=1

4.若分式有意义,则x的取值范围是（　　）

A.x≠3B.x=3C.x>3D.x<3

【能力提升】

5.使分式无意义的a的值为（　　）

A.2B.-2C.±2D.3

6.若分式的值为1,则x的值为（　　）

A.1B.-2C.±1D.2

7.一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时（t<6）能完成这项工作的（　　）

A.B.C.D.

8.下列各式中,可能取值为0的是（　　）

A.B.

C.D.

9.若的值为正数,则x的取值范围是（　　）

A.x<-2B.x<1

C.x>-2且x≠1D.x>1

10.要使分式的值为负,则x　　　　. 

11.当x　　　　时,分式有意义. 

【拓展探究】

12.把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为　　　　cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为　　　　. 

13.已知当x=1时,分式无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值.

【答案与解析】

1.B（解析:

由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母.故选B.）

2.D（解析:

分式有意义的条件是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2.故选D.）

3.D（解析:

分式值为0的条件是分子为0且分母不为0,所以有解之即可.故选D.）

4.A（解析:

分式有意义的条件是分母不为0,即3-x≠0,解之即可.故选A.）

5.C（解析:

分式无意义的条件是分母为0,即-2=0,解之即可.故选C.）

6.D（解析:

分式值为1的条件是分子等于分母,且分母不为0,即解之即可.故选D.）

7.C（解析:

乙单独做完这项工作需要（x+6）小时,则单独做t小时（t<6）能完成这项工作的.故选C.）

8.B（解析:

A中分子m2+1>0;B中当m=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;C中当m=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子m2+1>0.故选B.）

9.C（解析:

因为分式的分母x2-2x+1=（x-1）2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2且x≠1.故选C.）

10.>3（解析:

要使分式的值为负,需使分母3-x<0,即x>3.故填>3.）

11.≠±1（解析:

若分式有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.）

12.　

13.解:

因为当x=1时,分式无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+（-2）=-1.

在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.

对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.

在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.

随堂练习（教材第109页）

1.解:

（1）当x取1以外的任何实数时,分式都有意义.　

（2）当x取±3以外的任何实数时,分式都有意义.

2.解:

当x=0时,=-.当x=-2时,=.当x=时,=0.

3.提示:

kg.

习题5.1（教材第109页）

1.解:

（2）（4）是整式,

（1）（3）是分式.

2.提示:

（1）x=.　

（2）x=-2.

3.解:

当a=-1,b=时,==.

4.提示:

这箱橘子的零售价至少应定为元/kg.

5.提示:

（1）平均每公顷的棉产量是kg.　

（2）这种商品每件的成本是元.

易错点　考虑问题不全面导致错误

　已知分式的值为整数,求整数x的所有可能值.

错解:

若分式的值为整数,则x-1的值可为1,2,3,6.∴x=2,3,4,7.

错因分析:

忽略了分式的值为负整数时x的值,造成漏解.

正解:

若分式的值为整数,

则x-1的值可为±6,±3,±2,±1,

∴x=7,4,3,2,-5,-2,-1,0.

第

课时

1.能正确理解和运用分式的基本性质.

2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.

3.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力.

4.增强学生的代数推理能力与应用意识.

通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法.

通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.

【重点】　理解分式的基本性质,会进行分式的化简.

【难点】　灵活应用分式的基本性质将分式变形.

【教师准备】　预设学生学习过程中容易出错的地方.

【学生准备】　复习分数的基本性质.

导入一:

【问题】　有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?

这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗?

[设计意图]　创设故事情境导入新课,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.

导入二:

上节课我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:

问题1　如图

（1）所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部分的面积是多少?

问题2　如图

（2）所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影部分的面积是多少?

问题3　这两块阴影部分的面积相等吗?

这个问题同学们会很快说出答案,依据就是分数的基本性质,那么分式是否具有和分数一样的性质呢?

[设计意图]　提示学生运用类比的思想进行本课时的学习,为学生提供本课时学习方法方面的指导.

一、分式的基本性质

　　[过渡语]　下面我们来看看分式是否具有与分数类似的性质.

思路一

请看下面的问题.

（1）填空:

==;==.

（2）你认为分式与相等吗?

为什么?

与呢?

与同伴交流.

学生独立思考第

（1）题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第

（1）题解决第

（2）题.

类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?

学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质.

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变.

这一性质可以用式子表示为:

=,=（m≠0）.

思路二

　　[过渡语]　类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗?

请看下面的问题:

问题1　如图

（1）所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?

问题2　如图

（2）所示,两个图

（1）中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?

问题3　两图中长方形的宽相等吗?

问题4　通过怎样的变形可以由得到?

通过怎样的变形可以由得到?

变形的依据是什么?

问题5　若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢?

学生分析得出答案为.

教师进一步追问:

和,相等吗?

通过怎样的变形可以使它们相等呢?

问题6　若（m+1）个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?

追问:

和,相等吗?

通过怎样的变形可以使它们相等呢?

问题7　能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?

学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善.

总结:

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变.

这一性质可以用式子表示为:

=,=（m≠0）.

教师强调:

a,b,m均为整式,m≠0.

引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:

在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.

[设计意图]　一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解.

二、例题讲解

　　[过渡语]　利用分式的基本性质只是改变分式的形式,不改变分式的值.请看下面的例题.

（教材例2）下列等式的右边是怎样从左边得到的?

（1）=（y≠0）;　

（2）=.

处理方式:

引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.

〔解析〕　

（1）的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b也要乘y,才能得到.

（2）的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知,所以x≠0.

解:

（1）因为y≠0,所以==.

（2）因为x≠0,所以==.

（教材例3）化简下列分式:

（1）;　

（2）.

处理方式:

引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简.

〔解析〕　

（1）的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为ac.