◎弟形2SySabe22ab2"，化简
得证
一.典型例题
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在RtAABC中，/090°
（1）已知a=6,c=10，求b,
（2）已知a=40,b=9,求c;（3）已知c=25,b二15,求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先1
写上在哪个直角二角形中，注意勾股定
理的变形使用。
c
丫举一反三
【变式】：
如图/B=zACD90°,AD二13,CD二12,BC=3,则AB的长是多少？
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在山死中，养6少,一70,恥劲.求：
BC的长.
60o
思路点拨：
由条件二°。
。
，想到构造含卿角的直角三角形，为此作血丄西于D则有〃皿=30o,比飞朋〃，再由勾股定理计算出ADDC的长，进而求出BC的长.
举一反三【变式1】如图，已知：
打AM=CMMPAB于p求证••沪勺刀+EC'・
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了：
L到达B点，然后
再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求/C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2・5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB,与地面交于H.
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前
正在全国各地农村进行电网改
造，某地有四个村庄AB、C、D,且正好位于一个正方形的四
个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.
举_反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm高AE为4cmEC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
解:
如图，在RtAABC中，EC二底面周长的一半二10cm根据
勾股定理得
（提冋：
勾股定理）
=2伤〜1°.77
AC二厂'+Q二曲+1。
2
（cm）（勾股定理）.
答：
最短路程约为10.77cm.
类型四：
利用勾股定理作长为亦■的线段
5、作长为庞、击、击的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于屁,直角边为血和1的直角三角形斜边长就是巧，类似地可作亦。
举一反三【变式】在数轴上表示颍的点。
解析：
可以把伍看作是直角三角形的斜边，（Vfc/=io
为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使0A=3作彳CIOA且截取AC二1以0C为半径，
以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为烦。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1•原命题：
猫有四只脚.（正确）
2•原命题：
对顶角相等（正确）
3•原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）
4•原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
解析：
1•逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2.逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3.逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上•？
（正确）
4.逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分
线上.（正确）
总结升华：
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果△ABC勺三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断△ABC勺形状。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用至U。
举一反三【变式1】四边形ABC冲，/B二90。
，
AB=3BC=4CD=12AD=13求四边形ABCD
的面积。
【变式2】已知：
△ABC勺三边分别为mx—n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且mt>n），判断△ABC是否为直角三角形.
分析：
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：
a2+b2=c2即可
证明:
（启-呼）2+（加朗术5*-2wi小4『+4删如'
Of）,
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCDE为BC中点，F2
为AB上一点，且BF二AB
请问FE与DE是否垂直？
请说明
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积
思路点拨：
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数,
然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【变式2】直角三角形周长为12cm斜边长为
5cm求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长
分别是n+1,n+2,n+3,求n。
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,
10D、8,39,40
解析：
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行
判断,
【变式5】四边形ABC冲，/B=90°,AB=3BC=4CD=12
AD=13求四边形ABCD勺面积。
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P、/处交汇,
且/QPN=30°，点A处有一八所中学，AP=160m
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学
校。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那
么，AD=100（m）,BD二60（m）,
・•・CD=120（m）o
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120妣八5m/s=24so
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24
秒。
总结升华：
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条
“路”。
他们仅仅少走了步路（假设2步为In）,却踩伤
了花草。
解析：
他们原来走的路为3+4二7（m）设走“捷径〃的路长为xm贝：
：
故少走的路长为7-5=2（m）
又因为2步为lm所以他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD勺面积是多少?
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）o
类型三：
数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC
的中点，E、F分别是ABAC边上的点，且DELDF,若BE=12
CF=5求线段EF的
长
思路点拨：
现已知BECF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定
理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，/090°,ZA=60°,m+“3+右，求©的值。
思路点拨：
由+二3+侖，再找出*、3的关系即可求出4和b的值。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边
是斜边的一半。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一
边AR使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cmBC=10crp求EF的长。
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