完整word版初中的圆题型总结doc.docx
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圆的基本题型
纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形
式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。
一、圆的性质及重要定理的考查
基础知识链接：
（1）垂径定理；
（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关
系.（3）圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质
【例1】（江苏镇江）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H．
（1）OCD的平分线CE交⊙O于E，连结OE．求证：
E为弧ADB的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，CD3，
①求O到弦AC的距离；
②填空：
此时圆周上存在个点到直线AC的距离为1．
2
【解析】
（1）OCOE，EOCE
C
又OCEDCE，EDCE．
OE∥C．D
AB
OHED
又CD
AB，
AOE
BOE
90．
E为弧ADB的中点．
（2）①
CD
AB，AB为⊙O的直径，CD
3，
1CD
3．又OC
CH
3
3．
CH
1，sinCOB
2
2
2
OC
1
2
COB60，
BAC
30．
作OP
AC于P，则OP
1OA
1．
2
2
②3.
【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的
能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.
几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中
解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂
径定理和勾股定理结合起来解题
.如图,⊙O的半径为r,弦心距为d,弦长a之间
d2a
2
的关系为r2
.根据此公式,在a、r、d三个量中,知道任何两个量就可
2
以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.
【例】（安徽芜湖）如图，已知点
E是圆O上的点，
2
B、C分别是劣弧AD的三等分点，
BOC46，
则AED的度数为
．
【解析】由
B、C分别是劣弧
AD
的三等分点知，圆心角∠∠∠
AOB=BOC=COD,
又BOC
46，所以∠AOD=138o.
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
从而有AED＝69o.
点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。
【强化练习】
【1】.如图，⊙O是ABC的外接圆，BAC60，AD，CE分别是BC，AB上的高，且AD，CE交于点H，求证：
AH=AO
1
（1）如图，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足为E，求证：
OE=CD2
1
22
（2）如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且ACBD，⊙O的半径为，求AB＋CD的值。
2
【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
二、直线与圆的位置关系
基础知识链接：
1、直线与圆的位置关系有三种:
⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.
⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此
时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.
⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时
这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.
2、直线与圆的位置关系的判定；
3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
4.和圆有关的比例线段
（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；
（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
5.三角形的内切圆
（1）有关概念：
三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；
6、圆的切线的性质与判定。
【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE
CD，
垂足为E，DA平分
BDE．
A
E
（1）求证：
AE是⊙O的切线；
D
（2）若DBC
30，DE1cm，求BD的长．
O
B
C
【解析】
（1）证明：
连接OA，
DA平分
BDE，BDAEDA．
OA
O，D
ODA．
OAD
EDA．
OA∥
．
CE
AE
D，E
AED
90，OAE
DEA90．
AE
O．AAE是⊙O的切线．
A
E
（2）
BD是直径，
BCD
BAD
90
D
．
O
DBC30，
BDC6，0
BDE
120．
DA平分
BDE，
BDA
EDA
60．
ABD
EAD30．
BC
在Rt△AED中，
AED
90，EAD
30，AD
2DE
．
在Rt△ABD中，
BAD
90，ABD
30，BD
2AD
4DE．
DE的长是1cm，
BD的长是4cm．
【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且
垂直于这条半径的直线是圆的切线.
】（广东茂名）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且ABAC，点D在弧BC上运
【例2
=
动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．
A
（1）求证：
∠
ADB∠E；
=
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？
请说明理由．B
（）当AB，BC
时，求⊙O的半径．（
4
分）
E
3
=5
=6
【解析】
（1）在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，
E
∠C．
B
∴∠=
又∵∠
ADB∠C，
E
=
∴∠ADB=∠E．
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．
理由是：
当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．
又∵DE∥BC，∴AD⊥ED．
A
O
C
D
A
O
C
D
∴DE是⊙O的切线．
（）连结BO、AO，并延长
AO交BC于点F，
O
3
B
1
C
则AF⊥BC，且BF=
BC=3．
F
2
AB，∴AF
又∵
．
=5
=4
设⊙
O的半径为r
，在
Rt
△OBF中，OF－r，OBr，BF
，
=4
==3
∴r2＝32＋（4－r）2
解得r＝25，∴⊙O的半径是25．
88
【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓
住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.
【例4】已知：
如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：
PC＝1：
2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。
图7
证明：
连结CB
∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB
∴AC：
BC＝PA：
PC
∴
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°
又∵CD⊥AB
∴
∴AB＝AD＋DB＝5
∵
∴
【例5】已知：
如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。
求证：
（1）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC
分析：
（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。
因此要作DF⊥AC于F
（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。
证明：
（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF
∴点D到AC的距离等于圆D的半径∴AC是⊙D的切线
（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF
∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC
∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC
小结：
有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。
此例题属于后一类
【例6】已知：
如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切
于点E，C为
中点，连CE交AB于点F。
求证：
分析：
由已知可得
2
2
＝PA·PB，只要证PE＝PF。
PE＝PA·PB，因此要证PF
即证∠PFE＝∠PEF。
证明一：
如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，
∴∠CED＝90°
∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D
∵PE为⊙O切线，E为切点
∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG
∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
22
∵PE＝PA·PB，∴PF＝PA·PB
证明二：
如图9－1，连结AC、AE
图9－1
∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC
∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C
∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC
∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
22
∵PE＝PA·PB，∴PF＝PA·PB
【例7】
（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O
于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD
图10图10－1求证：
①∠BAD＝∠CAG；
②AC·AD＝AE·AF
（2）在问题
（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。
①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；②问题
（1）中的两个结论是否成立？
如果成立，请给出证明；如果
不成立，请说明理由。
证明：
（1）①连结BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠AGC＝∠ADB＝90°
又∵ACDB是⊙O内接四边形
∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG
②连结CF
∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB
∴∠DAE＝∠FAC
又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC
∴，∴AC·AD＝AE·AF
（2）①见图10－1
②两个结论都成立，证明如下：
①连结BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠AGC＝90°
∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC
∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）
②连结CF
∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，
∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE
∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴
2
∴AC＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）
说明：
本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。
【强化练习】
【1】（第22题）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【2】（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：
AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：
CD=HF．
【3】（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：
△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
【4】（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且
∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=2，求BD的长．
【5】（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：
DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
三、圆与圆的位置关系的考查
基础知识链接：
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图
（1）、
（2）、
（3）所示．其中
（1）又叫做外离,
（2）、（3）又叫做内含．（3）中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图（4）、（5）所示．其中（4）
又叫做外切,（5）又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图（6）所示．
【例1】（甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮
所在圆的位置关系是（）
A．内含B．相交C．相切D．外离
【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.
【点评】圆与圆的位置关系有五种:
外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定,也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：
如果设两圆的半径为r1、r2,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系
如下表
【例2】（赤峰市）如图
（1），两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，
且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，
连结NA，NB．
（1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图
（2），若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么
（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
N
N
O1
O2
O1
O2
A
M
B
A
M
图
（1）
图
（2）
【解析】解：
（1）O2在O1上
证明：
∵⊙O2过点O1，O1O2
r．
又⊙O的半径也是
r
，
点O2
在⊙O上．
1
1
（2）△NAB是等边三角形
证明：
MN
AB，
NMB
NMA90．
BN是⊙O2的直径，AN是⊙O1的直径，
即BNAN
2r，O2在BN上，O1在AN上．
连结O1O2，则O1O2是△NAB的中位线．
AB2O1O22r．
ABBN，A则△NAB是等边三角形．
B
N
O1O2
AMB
图
（1）
N
O1O2
B
AM
图
（2）
（3）仍然成立．
证明：
由
（2）得在⊙O中弧MN所对的圆周角为
60
．
1
在⊙O中弧MN所对的圆周角为
60
．当点A，B在点M的两侧时，
2
在⊙O中弧MN所对的圆周角
MAN60
，在⊙O中弧MN所对的圆周角
1
2
MBN60，
△NA是B等边三角形．
注：
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．
【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙
O过点O1，构建对称性知，
2
⊙O1过O2，再证△NAB是等腰三角形；
（2）1是的基础上发散探究，具有一定的开放性．
四、圆与多边形的计算考查
基础知识链接：
1、圆与正多边形的关系的计算；
2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.
【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是
【解析】设圆的半径为
1，则圆的面积为
，易算得正方形的边长为
2，正方形
2
面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是.
【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.
【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为
【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半4.
【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.五、圆的综合性问题的考查
基础知识链接：
圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。
【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相
交于A8，0、B0，6两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向
下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设
（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点
P，使得
SPDE
1
SABC？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10
【解析】
（1）设AB的函数表达式为y
kx
b.
∵A
0
8k
b,
k
3,
8,0,B0,6,∴
b.
∴
4
6
b
6.
∴直线AB的函数表达式为y
3x
6．
4
（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。
又设对称轴与x轴相交于点
N，在直角三角形AOB中，
ABAO2OB2826210.
因为⊙M经过O、A、B三点，且AOB90,AB为⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．
设所求的抛物线为
yax2
bx
c
b
4,
a
1,
2a
2
则2
16a
4b
c,
b
4,
6
c.
c
6.
∴所求抛物线为y
1
x2
4x
6
1
2
（3）令
x
2
4
x
6.
0，得、
两点的坐标为
（
，）、（
，），所以
2
DE
D-6
0E-2
0
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