期权价值敏感性希腊字母汇总.docx
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期权价值敏感性希腊字母汇总
第三章 期权敏感性（希腊字母）
顾名思义，期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感
程度，本章主要介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、
波动率和无风险利率）的敏感性指标，这些敏感性指标也称作希腊值（Greeks）。
每一个希腊值刻画了某个特定风险，如果期权价格对某一参数的敏感性为
零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。
实际上，当我们
运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时，一种较常用的方法就是分
别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、
时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量
的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动
能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就
能起到消除相应风险的套期保值的目的。
本章将主要介绍 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 五个常用希腊字母。
符号风险因素量化公式
Delta∆标的证券价格变化权利金变化/标的证券价格变化
GammaΓ标的证券价格变化Delta 变化/标的证券价格变化
Vegaν波动率变化权利金变化/波动率变化
ThetaΘ到期时间变化权利金变化/到期时间变化
Rhoρ利率变化权利金变化/利率变化
本章符号释义：
T 为期权到期时间
S 为标的证券价格， S0 为标的证券现价， ST 为标的证券行权时价格
K 为期权行权价格
σ 为标的证券波动率
r 为无风险利率
π t 为资产组合在 t 时刻的价值
N（） 为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机（如 Excel）求得
1
''
2
2π
第一节 Delta （德尔塔， ∆ ）
1.1 定义
Delta 衡量的是标的证券价格变化对权利金的影响，即标的证券价格变化一
个单位，权利金相应产生的变化。
新权利金=原权利金+Delta×标的证券价格变化
案例3.1有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073
元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元。
无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
Delta为0.4255。
在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的价格变为1.810 元，即增
加了0.010元，则期权理论价格将变化为：
0.073 + 0.4255⨯ （1.810 -1.800） = 0.073 + 0.4255⨯ 0.010 = 0.077元
1.2 公式
从理论上，Delta 准确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导。
∆=
∂期权价值
∂S
根据 Black-Scholes 期权定价公式，欧式看涨期权的 Delta 公式为：
∆ = N （d1 ）
（3.1）
看跌期权的 Delta 公式为：
∆ = N （d1 ） - 1
（3.2）
其中
d1 =
ln（S K ） + （r + σ 2 2）T
σ T
（3.3）
N（） 为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机（如 Excel）求得。
显然，看涨期权与看跌期权的 Delta 只差为 1，这也正好与平价关系互相呼
2
应。
案例3.2有两个行权价为1.900的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
波动率为20%。
则：
ln（S K ） + （r + σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035 + 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Delta看涨期权 =N （d1）=N （-0.1879）=0.4255
1.3 性质看跌期权 =N （d1） -1=N （-0.1879） -1=-0.5745
1） 期权的Delta取值介于-1到1之间。
也就是说标的证券价格变化的速度快于期
权价值变化的速度。
2） 看涨期权的Delta是正的；看跌期权的Delta是负的。
对于看涨期权，标的证券价格上升使得期权价值上升。
对于看跌期权，标的证券价格上升使得期权价值下降。
图 3-1
3） 随标的价格的变化：
对于看涨期权，标的价格越高，标的价格变化对期权价值的影响越大。
对于看跌期权，标的价格越低，标的价格变化对期权价值的影响越大。
3
也就是说越是价内的期权，标的价格变化对期权价值的影响越大；越是价外
的期权，标的价格变化对期权价值的影响越小。
图 3-2
4） Delta 随到期时间的变化：
看涨期权：
价内看涨期权（标的价格>行权价）Delta收敛于1
平价看涨期权（标的价格=行权价）Delta收敛于0.5
价外看涨期权（标的价格<行权价）Delta收敛于0
看跌期权：
价内看跌期权（标的价格<行权价）Delta收敛于-1
平价看跌期权（标的价格=行权价）Delta收敛于-0.5
价外看跌期权（标的价格>行权价）Delta收敛于0
4
图 3-3
第二节 Gamma（伽马， Γ ）
2.1 定义
在第一节里我们用Delta度量了标的证券价格变化对权利金的影响，当标的
证券价格变化不大时，这种估计是有效的。
然而当标的证券价格变化较大时，
仅仅使用Delta会产生较大的估计误差，此时需要引入另一个希腊字母Gamma。
Gamma 衡量的是标的证券价格变化对 Delta 的影响，即标的证券价格变化
一个单位，期权 Delta 相应产生的变化。
新 Delta=原 Delta+Gamma×标的证券价格变化
Gamma 同时也间接度量了标的证券价格变化对权利金的二阶影响。
新权利金=原权利金+Delta×标的价格变化+1/2×Gamma×标的价格变化 2
案例3.3有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073
元，还有6个月到期，此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
Delta为0.4255，Gamma为1.540。
在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的价格变为1.850 元，即增
加了0.050元，则
Delta将变化为
0.4255 +1.540 ⨯ （1.850 -1.800） = 0.4255 +1.540 ⨯ 0.05 = 0.5025
期权价格将变化为
1
2
2.2 公式
从理论上，Gamma 的定义为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导。
Gamma =
∂2期权价值
∂2S
Gamma 衡量了 Delta 关于标的资产价格的敏感程度。
当 Gamma 比较小时，
5
Delta 变化缓慢，这时为了保证 Delta 中性所做的交易调整并不需要太频繁。
但
是当 Gamma 的绝对值很大时，Delta 对标的资产变动就很敏感，为了保证 Delta
中性，就需要频繁的调整。
根据 Black-Scholes 公式，对于无股息的欧式看涨与看跌期权的 Gamma 公
式如下：
Γ =
N ' （d1）
Sσ T
（3.4）
其中， d1 由式（3.3）给出， N ' （∙） 为标准正态分布的密度函数。
在参数相同时，看涨期权、看跌期权的 Gamma 是相同的。
案例3.4有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，
离期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为
3.5%，上证50ETF波动率为20%。
则
ln（S K ） + （r + σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035 + 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Gamma看涨期权看 Gamma
=
N ' （d1）
Sσ T
=
2 2
= = 1.540
S0σ 2πT 1.800 ⨯ 0.20 ⨯ 2π ⨯ 0.5
2.3 性质
1） 期权的Gamma是正的。
标的证券价格上涨，总是使期权的Delta变大。
6
图 3.4
2） Gamma随标的价格的变化：
当 S = Ke-（r+3σ
2
2）T
时，Gamma取得最大值
Ke
1
-（r+σ 2 ）T
。
图 3.5
3）Gamma随到期时间的变化：
平价期权（标的价格等于行权价）的Gamma是单调递增至无穷大的。
非平
价期权的Gamma先变大后变小，随着接近到期收敛至0。
7
图 3.6
4） Gamma随波动率的变化：
波动率和Gamma最大值呈反比，波动率增加将使行权价附近的Gamma减
小，远离行权价的Gamma增加。
图 3.7
第三节Vega （维嘉, υ ）
3.1 定义
Vega衡量的是标的证券波动率变化对权利金的影响，即波动率变化一个单
位，权利金应该产生的变化。
新权利金=原权利金+Vega ⨯ 波动率变化
案例3.5有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073
元，还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
Vega为0.4989。
在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的波动率变为21%，即增加了
1%，则期权理论价格将变化为
0.073 + 0.4989 ⨯ （0.21- 0.20） = 0.073 + 0.4989 ⨯ 0.01 = 0.078元
3.2 公式
8
从理论上，Vega准确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导。
Vega =
∂期权价值
∂σ
根据Black-Scholes理论进行定价，则
Vega = S T N ' （d1）
（3.5）
其中， d1 由式（3.3）给出， N ' （∙） 为正态分布的密度函数。
在参数相同时，看涨期权、看跌期权的 Vega 是相同的。
案例3.6 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
则
ln（S K ） + （r + σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035 + 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Vega看涨期权看 Vega
=S T N ' （d1）
22
= = = 0.4989
2π2π
3.3 性质
1） 期权的 Vega 是正的。
波动率增加将使得期权价值更高，波动率减少将降低期权的价值。
9
图 3.8
2） Vega 随标的价格的变化：
当 S = Ke
-（r-σ 2 2）T
时，Vega 取得最大值
Ke-rT T
2π
。
在行权价附近，波动率对期权价值的影响最大。
图 3.9
3） Vega 随到期时间的变化：
Vega 随期权到期变小。
期权越接近到期，波动率对期权价值的影响越小。
10
图 3.10
第四节 Theta（西塔， Θ ）
4.1 定义
Theta 衡量的是到期时间变化对权利金的影响，即到期时间过去一个单位，
权利金应该产生的变化。
新权利金=原权利金+Theta ⨯ 流逝的时间
案例3.7有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073
元，还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
Theta为-0.1240。
在其他条件不变的情况下，如果离行权日只有5个半月了，即流逝了半个
月的时间（0.0833），则期权理论价格将变化为
0.073 - 0.1240 ⨯ （0.0833） = 0.073 - 0.010 = 0.063元
4.2 公式
从理论上，Theta 的定义为期权价值对于到期时间变化的一阶偏导。
Theta = -
∂期权价值
∂T
根据 Black-Sholes 理论进行定价，则
11
Theta看涨期权 = -- rKe-rT N （d2 ）
2 T
（3.6）
Theta看跌期权 = -+ rKe-rT N （-d2 ）
2 T
（3.7）
其中， d1 =
ln（S K ） + （r + σ 2 2）T
σ T
， d2 =
ln（S K ） + （r-σ 2 2）T
σ T
， N （∙） 为标准正态
分布的累积密度函数， N ' （∙） 为标准正态分布的密度函数。
案例3.8 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
则
ln（S K ） + （r + σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035 + 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
ln（S K ） + （r-σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035- 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Theta看涨期权
1.8⨯ N ' （-0.1879） ⨯ 0.2
2 0.5
= -0.1240
1.8⨯ N ' （-0.1879） ⨯ 0.2
2 0.5
= -0.0587
4.3 性质
1）看涨期权的 Theta 是负的；看跌期权的 Theta 一般为负的，但在价外严重的
情况下可能为正。
因此通常情况下，越接近到期的期权 Theta 值越小。
12
图 3.11
2）随标的价格的变化：
在行权价附近，Theta的绝对值最大。
也就是说在行权价附近，到期时间
变化对期权价值的影响最大。
图 3.12
3）Theta随到期时间的变化：
平价期权（标的价格等于行权价）的Theta是单调递减至负无穷大。
非平价
期权的Theta将先变小后变大，随着接近到期收敛至0。
因此随着期权接近到
13
期，平价期权受到的影响越来越大，而非平价期权受到的影响越来越小。
图 3.13
第五节 Rho（柔， P ）
5.1 定义
Rho衡量的是利率变化对权利金的影响，即利率变化一个单位，权利金
相应产生的变化。
新权利金=原权利金+Rho ⨯ 利率变化
案例3.9有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073
元，还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，
上证50ETF波动率为20%。
Rho为0.3463。
在其他条件不变的情况下，如果利率变为4.00%，即利率增加了0.50%，
则期权理论价格将变化为
0.073 + 0.3463⨯ （0.005） = 0.073 + 0.00173 = 0.075元
5.2 公式
从理论上，Rho 的定义为期权价值对于利率的一阶偏导。
14
Rho =
∂期权价值
∂r
根据 Black-Sholes 理论进行定价，则
ρho看涨期权 = KTe-rT N （d2 ）
Rho看跌期权 = -KTe-rT N （-d2 ）
（3.8）
（3.9）
其中， d2 =
ln（S K ） + （r-σ 2 2）T
σ T
， N （∙） 为标准正态分布的累积密度函数。
案例3.10有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权，一个看涨一个看跌，
离期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为
3.5%，上证50ETF波动率为20%。
则
ln（S K ） + （r-σ 2 2）Tln（1.8 1.9） + （0.035- 0.202 2） ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
ρho看涨期权 = KTe-rT N （d2 ）=1.9 ⨯ 0.5⨯ e-0.035⨯0.5 N （-0.3293） = 0.3463
ρho看跌期权 = -KTe-rT N （-d2 ）=-1.9 ⨯ 0.5⨯ e-0.035⨯0.5 N （0.3293） = -0.5872
5.3 性质
1）看涨期权的 Rho 是正的；看跌期权的 Rho 是负的。
对于看涨期权，利
率上升使得期权价值上升。
对于看跌期权，利率上升使得期权价值下降。
15
图 3.14
2）随标的价格的变化：
Rho 随标的证券价格单调递增。
对于看涨期权，标
的价格越高，利率对期权价值的影响越大。
对于看跌期权，标的价格越低，利
率对期权价值的影响越大。
越是价内（标的价格>行权价）的期权，利率变化对
期权价值的影响越大；越是价外（标的价格<行权价）的期权，利率变化对期权
价值的影响越小。
图 3.15
3）Rho 随时间的变化：
Rho 随着期权到期，单调收敛到 0。
也就是说，期
权越接近到期，利率变化对期权价值的影响越小。
16
影响因素
看涨期权空头
看跌期权空头
融入标的证券
Delta
标的证券价格
-N （d1）
-N （d1） +1
-1
Gamma
标的证券价格
'
- N （d1）
Sσ T
'
- N （d1）
Sσ T
0
Vega
波动率
'
-S T N （d1）
'
-S T N （d1）
0
Theta
到期时间
'
SN （d1）σ
2 T
-rT
+rKe N （d2 ）
'
SN （d1）σ
2 T
-rT
-rKe N （-d2 ）
0
Rho
利率
-rT
-KTe N （d2 ）
-rT
KTe N （-d2 ）
0
影响因素
看涨期权多头
看跌期权多头
买入标的证券
Delta
标的证券价格
N （d1）
N （d1） -1
1
Gamma
标的证券价格
'
N （d1）
Sσ T
'
N （d1）
Sσ T
0
Vega
波动率
'
S T N （d1）
'
S T N （d1）
0
Theta
到期时间
'
- SN （d1）σ
2 T
-rT
-rKe N （d2 ）
'
- SN （d1）σ
2 T
-rT
+rKe N （-d2 ）
0
Rho
利率
-rT
KTe N （d2 ）
-rT
-KTe N （-d2 ）
0
图 3.16
第六节 希腊字母应用
6.1 期权的希腊字母
前文中分别介绍了五个最常用的希腊字母
Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho。
17
6.2 资产组合的希腊字母
一个同标的资产组合的希腊字母为其各个部分的希腊字母之和。
当一个资
产组合的希腊字母为0，组合将不受相应市场因素的影响，损益是被锁定的，
可以认为组合在这个因素上是无风险的。
案例3.11上证50ETF现价为1.800元，行权价为1.900元，六个月后到期的看
涨期权，权利金为0.073元。
行权价格为1.900元，六个月后到期的看跌期
权，权利金为0.140元。
无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。
构建资产组合A：
买入一手看跌期权，卖空一手看涨期权，买入10000股
上证50ETF
则组合A的希腊字母如下：
Delta0-4255-574510000
Gamma0-15398153980
Vega0-498949890
Theta6531240-5870
Rho-9335-3463-58720
组合A的成本由看涨期权多头、看跌期权空头、ETF构成
成本=10000 ⨯ [-0.073+0.140+1.8]=18670元
组合A的到期收益由看涨期权多头、看跌期权空头、ETF构成
到期收益=10000 ⨯[- max（ST - K , 0） + max（K - ST , 0） + ST ]
= 10000 ⨯ K = 19000元
组合A的价值为到期收益现值
价值元=10000 ⨯ Ke-rT = 19000 ⨯ e-3.5%⨯0.5 = 18670
和上面计算的希腊字母结果一致，组合A的价值不受50ETF的价格的影
响，也不受波动率的影响，单受利率和到期时间的影响。
利率上升，组合A的
价值将下降；到期时间越近，组合A的价值越高。
18
6.3 风险管理
五个希腊字母分别度量了标的证券的价格、标的证券波动率、期权到期
时间、市场利率对期权价格的影响，是管理期权风险的主要指标。
一个资产组合在 t1 时刻的价值，可以用下面这个公式来近似
1
1010101010
其中主要需要考虑的是Delta、Gamma及Vega三个字母，只要管理好这些
希腊字母就能有效的控制资产组合的风险。
在目前的国内市场，缺乏合适的
工 具来对冲Gamma和Vega，但可以利用标的现货来管理Delta。
案例3.12上证50ETF现价为1.800元，行权价为1.900元，六个月后到期的看
跌期权，权利金为0.140元。
无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。
现在投资者手中持有一手看跌期权，则可计算期权的Delta为-5745。
如果投资者希望能够避免资产受上证50ETF价格变化的影响，则可以通
过买入50ETF现货来中和Delta。
构建投资组合B：
一手看跌期权，买入5700股上证50ETF（股票一手为
100股）。
则组合B的希腊字母如下：
Delta-45-57455700
Gamma15398153980
Vega498949890
Theta-587-5870
Rho-5872-58720
组合B的Delta为-45，组合B的成本由看跌期权多头，ETF构成
成本=10000 ⨯ 0.140+5700 ⨯ 1.800=11660元
19
模拟上证50ETF价格变化时，组合价值的变化
+0.200+291-850
+0.100+75-490
-0.100+83+650
-0.200+300+1440
对冲了Delta后，组合B受标的价格影响大大减少。
案例中提到的对冲Delta的方法成为Delta中性策略，是最常用的对冲资产
组合风险的方法。
20
本章问题：
期权行情中能看到希腊字母吗？
能在交易软件上看到吗？
答：
由于希腊字母是对于期权价格变化的一种估计，没有一定的参数和计算
公式，交易所不会提供相关数据。
至于在交
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