2微分中值定理
2.1罗日(Rolle)中值定理
若函数f(x)满足如下条件:
(i)f(x)在闭区间a,b】上连续。
(ii)f(x)在开区间a,b内可导。
(iii)f(a)二f(b),则在a,b内至少存在一点,使得f()=0
2.2拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数f(x)满足如下条件:
(i)f(x)在闭区间a,b1上连续。
(ii)f(x)在开区间a,b内可导,则在a,b内至少存在一点,使得「()=f(a)-f(b)
a—b
注:
拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式,它有几种常用的等
价形式。
可根据不同问题的特点,在不同场合灵活选用:
1f(b)-f(a)二f()b-a]--ia,b
2f(b)-f(a)=farb-ab-a0VY1
3f(ab)-f(a)二f(arh)h0V二V1
2.3柯西(Cauchy)中值定理
设函数f(x)和g(x)满足:
(i)在a,b1上都连续。
(ii)在a,b内都可导。
(iii)f(x)和g(x)不同时为零。
(iv)g(a)=g(b),则存在匚三ia,b使得亠小)")。
gV)g(b)-g(a)
3.微分中值定理的证明
3.1罗日(Rolle)中值定理的证明
证法一:
根据条件在闭区间a,b】上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理,若函数f(x)在闭区间上连续,则函数f(x)在闭区间〔a,b1上能取到最小值m和最大值M.既在区间上存在两点x1和x2,使f(xj=m,f(x2)=M,且对任意xa,b有m一f(x)一M。
F面分两种情况讨论:
⑴如果m=M,则f(x)在a,b上是常数,所以对-xw[a,b有f(x^0,既a,b内任意一点都可以作为•,使「()=0
⑵如果mVM,由条件f(a)二f(b)有f(x)在a,b1上两个端点a与b的函数值f(a)与f(b)不能同时一个取最大值一个取最小值,既在开区间
a,b内必定至少存在一点',函数f(x)在点•取最大值或最小值,所以f(x)在点•必取局部极值,由费马定理,有「()=0
证法二:
分三种情况讨论
⑴f(x)=k,(k是常数)图3.1.2(a)中「(X)=0,a,b中任何一点
都满足定理的要求。
⑵图3.1.2(b),(c)中,对于a,b中某些x,有f(x)>f(a)。
根据最大最小值定理,f(x)在区间a,b1中有最大值。
因为f(a)=f(b),所以
函数f(x)一定是在区间a,b中某一点c达到最大值。
因此f(x)在点c有
极大值。
由f(x)在点c可微的,根据费马定理可知「(c)=0
⑶图3.1.2(c),(d)中,对于a,b中某些x,有f(x)Vf(a)。
根据最大
最小值定理,f(x)在区间a,b】中有最小值。
因为f(a)=f(b),所以函数f(x)一定是在区间a,b中某一点c达到最小值。
因此f(x)在点c有极大值。
由f(x)在点c可微的,根据费马定理可知f(c)=0
3.2拉格朗日(Lagrange)中值定理的证明
证法一:
构造函数
构造辅助函数
F(x)=f(x)-kx.其中k二丄型.a—b
根据已知条件和连续函数的性质,我们可以知道F(x)在闭区间l-a,b1上
是连续的,在开区间a,b内是可导的,并且还有F(a)=F(b),所以我
们可以根据罗尔定理就可以得到函数F(x)在开区间a,b内至少存在
一点三
八、、」’
使得F忙)
=f牡)—k=0
—
f牡)
=k:
f(a)-f(b)
—■a-b
证法二:
行列式法
构造
辅
助
函
数
F(x)=
f(a)f(b)
ab
11
f(x)
x
1
则
F(x)
=
f(a)
a
f(b)
b
-
f(a)
a
f(x)
x
+
f(b)b
f(x)
x
=
f(a)
f(b)
f(x)
f(a)
f(b)
f(x)
f(a)
f(b)
厂(x)
Fr(x)=
Fa
b
x
+
a
b
x
+
a
b
Fx
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bf(a)-af(b)-xf(a)af(x)xf(b)-bf(x)二a-bf(x)-x〔f(a)-f(b)L:
;'bf(a)-af(b)1
a-bf(x)「f(a)-f(b)丨。
f(a)
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
f(b)
又由F(a)=
a
b
a
=0,F(b)=
=a
b
b
=0
1
1
1
1
1
1
由此可得F(x)在开区间a,b内可导。
可得
F(a)二F(b)=0.
f(a)-f(b)
a,b使得
f()二a-bf()-〔f(a)-f(b)」0故F()
证法三:
积分法
把需证之式变式f(b)一f(a)I一b一af(J=0对应改写成
〔f(b)—f(a)Lb-af(x)=0(把换成x)
证明上述方程在a,b内存在根,将上式左边对x积分,有
[f(b)-f(a)-:
;.b-af(x)]dx
=f(b)-f(a)x-b-af(x)c故取F(x)f(b)-f(a)x-b-af(x),则
F(x)在a,b1上连续,在a,b内可导且
F(a)=F(b)二af(b)-bf(a)。
由罗尔中值定理知,至少存在一点'(aV
Vb)使F(x)=0
既f(b)-f(a)Lb-af()=0
3.3柯西(Cauchy)中值定理的证明
证法一:
构造函数
构造辅助函数L(x)=f(x)—kg(x)其中k」(b)—f(a)
g(b)-g(a)
根据已知条件和连续函数的性质,我们可以知道L(x)在闭区间la,b1上
是连续的,在开区间a,b内是可导的,并且还有L(a)二L(b),所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数L(x)在开区间a,b内至少存在
一点,使得L「)二f()-kg「)=0=k二丄^故证得g(®
f(X)_f(b)-f(a)
g(x)g(b)-g(a)
证法二:
行列式法
f(a)f(b)f(x)
构造辅助函数G(x)=g(a)g(b)g(x),则
111
F(x)二
f(a)
g(a)
f(b)
g(b)
f(a)f(x)+f(b)
g(a)g(x)g(b)
f(x)f(x)
g(b)f(a)-g(a)f(b)-g(x)f(a)g(a)f(x)g(x)f(b)-g(b)f(x)二g(a)-g(b)f(x)一g(x)〔f(a)-f(
由
此可得在
闭
区
间
a,b】
上
连
f(a)f(b)f(x)
f(a)
fH(b)
f(x)
f(a)
f(b)
f(x)
G(x)
=g(a)g(b)g(x)
+
g(a)
g(b)
g(x)
+
g(a)
g(b)
g\x)
111
1
1
1
1
1
T
续
f(b)g(x)-g(b)f(x)-f(a)g(x)g(a)f(x)
g(a)-g(b)f(x)-〔f(a)-f(b)g(x)。
可得G(a)=G(b)=0.综上所述,可知G(x)满足罗尔中值定理的条件,
则至少存在一点:
a,b使得
G()=g(a)-g(b)】f()-f(a)-f(b)g()=0故牛二出字gC)g(b)-g(a)
证法三:
积分法
把需证之式变式f(b)-f(a)g()-g(b)-g(a)f()=0
对应改写成〔f(b)-f(a)g(x)-g(b)-g(a)】f(x)=0(把•换成x),证明上
述方程在a,b内存在根,将上式左边对x积分,有fIf(b)—f(a)g(x)—E(b)—g(a)f(x)dx=
f(b)—f(a)g(x)-g(b)-g(a)f(x)c
故取F(x)=f(b^f(a)g(x)-g(b)-g(a)f(x),贝SF(x)在>a,b1上连续,在a,b内可导且F(a)二F(b)二g(a)f(b)-g(b)f(a)。
由罗尔中值定理知,至少存在一点.(a<
〔f(b)-f(a)b()-lg(b)-g(a)f()=0;
通过以上证明可知,“积分法”的关键步聚也是构造辅助函数,其基础方法是:
⑴将需证之式整理,使等式右边为零,左边的•改写成x;⑵对等式左边关于x积分;⑶对应积分值写成F(x);这种方法最大优点在于其规律性,不需要过多的考虑步聚。
而只需根据规律就可步步得出证明,已掌握和运用。
4.微分中值定理的几何解释
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,
则至少存在一条水平切线。
(图4-1)尸八
*占
图4-1
在满足定理条件的曲线y二f(x)上至少存在一点p(',f())设曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB(图4-2)
4.3柯西(Cauchy)中值定理的几何解释
aVxVb)存在一点,使曲线过该点
在曲线x・(x)(其中x为参数,y=g(x)
的切线平行于过曲线两端点
Af(a),g(a),Bg(a),g(b)的弦
图4-3
综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:
在区间〔a,b1上
连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征y二f(x)在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线。
5•微分中值定理之间的关系及其深层阐述
5.1微分中值定理之间的关系
从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系,利用推广和
收缩的观点来看这三个定理。
在拉格朗日中值定理中,如果f(a)=f(b)则变成罗尔中值定理。
在柯西中值定理中,如果F(x)=x则变成拉格
朗日中值定理。
因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
反之,拉格朗日中值定理是
柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。
总
的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系。
从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗
日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用。
5.2微分中值定理的深层阐述
⑴罗尔中值定理
1罗尔中值定理结论:
符合罗尔中值定理条件的函数在开区间(a,b)内必存在最大值或最小值;在开区间a,b内使f(x)=0的点不一定是极值点;
3
例如:
函数f(x^—5-3X在闭区间1-1,2]上满足罗尔定理的三个条件,
4
由f(x)=3x25-x显然x=0有f(xH0。
但x=0不是f(x)的极值点。
\.4丿
如果加强条件,可得如下定理:
定理i如函数在闭区间a,b】上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间a,b内只有唯一的一个点使f(x^0成立,则点x必是f(x)的极值点。
完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使「(x)=0成立的唯
一一一点x就是f(x)在a,b内的最值点,当然是极值点。
2逆命题不成立
罗尔中值定理的逆命题:
设函数y二f(x)在闭区间a,b】上连续,在开区间a,b内可导。
若在点x在a,b处有f(x)=0,则存在p,q•[a,b]使得f(pHf(q);
例如:
函数y=x3,x•[―a,a](a>0)显然y=x3在[-a,a]上连续,在-a,a内可导,f(x)=0。
但是不存在p,q・[―a,a],pVq使得f(p)二f(q)。
如果加强条件,下述定理成立:
定理2设函数y=f(x)在闭区间bb】上连续,在开区间(a,b)内可导,且导函数f(x)是严格单调函数,则在点
a,b处有f(x)=0的充分必要条件是存在p,q・[a,b],pVq使得
f(p)二f(q)。
⑵拉格朗日中值定理
①拉格朗日中值定理结论中的点x不是任意的;
例:
若函数f(x)在a,•:
:
(a为任意实数)上可导,且limf(x)=c(c
为常数)则limf(x)=0这一命题正确吗?
x—jpc
证明:
设x为任意正数,有题设f(x)在闭区间l-x,2x]上连续,在开区间
而这时就不能由f()趋于0推出limf(x)"了。
不会成立。
②条件补充
若函数f(x)在a,(a为任意实数)上可导,且limf(x)存
在,若limf(x)二c(常数)则limf(x)二0.
⑶柯西中值定理
柯西中值定理的弱逆定理:
设f(x),g(x)在la,b]上连续,在(a,b)内可
微,且f(),g()严格单调,g(x)=0则对于「二ia,b,%V得卄銖益成立。
证明:
对(a,b),作辅助函数F(x)=f(x)-f(;)g(x)显然f(x)在3C)丿
a,b】上连续,在a,b内可微,并且由f(x),g(x)严格单调知F(x)也严
格单调。
由拉格朗日定理知,「二i:
a,b,为F(X2)-F(xJ二F()X2-花成立。
而F()=f()
f()=f(X2)-f(xjg()g(x2)-g(xj
6.微分中值定理的应用
三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性,等式证明,不等式证明,
求近似值等;以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用。
⑴罗尔中值定理的应用
例1:
设a^Ri=1,2,3……n且满足a°鱼电……--an0。
证明:
方
23n+1
程a。
c^xa2X2……-anXn=0在0,1内至少有一个实根。
证:
作辅助函数F(x)二a°x且x2•电x3•……•旦xn1则F(0)=0,
23n+1
F
(1)=a°•1•2……n=0,F(x)在0,1〕上连续,在0,1内可导,故
23n+1
满足罗尔中值定理条件。
因此存在:
0,1,使「()=0又F(x)=氏a1xa2x2……-anXn=0由此即知原方程在0,1内至少有一个实根。
例2:
设函数f(x)在la,b1上连续,在a,b内可导,且f(a)=f(b)=0。
试证:
在a,bl(a>0)内至少存在一点三使f()=f「);证:
选取辅助函数F(x)二f(x)e」,贝卩F(x)在在a,b】上连续,在a,b内可导,F(a)二F(b)=0。
由Rolle定理知,至少存在一点二[a,b使
F()二f()e「-f()e「-f()一f()e」;=0e,>0即
f()一f()=0二f()二f()。
1
0X-二在指定区间内是否存在
x=0
111f(x)=sin-cosxxx
=0二f(0)故f(x)在0丄上连续,且
!
兀」
0,1i,f(0Hf(1H0从而f(x)在\0,~I上满
足罗尔定理的条件,即韭Ef0,-使f徉)=0;J兀丿
⑵拉格朗日中值定理的应用例1:
设f(x)为a,b1上二阶可导函数,f(a)二f(b)=0,并存在8a,b使
得fc>0,试证:
至少存在一点]三ia,b使得f…V0;
证:
由f(x)为a,b上二阶可导函数,则f(x)在'a,bl,0,di上均二阶可导。
由Lagrange中值定理得0,
2c,b使得f「2)=f(b八f(c)V0而f(x)在打,{二〔a,b,同样推得b—c
“f牡2)_厂(3)c
f=—122V0;
-2一-1
例2:
应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
⑴口vlnbV口其中0VaVb⑵亠VInVxV
baa1+x
x其中x>0
证:
⑴设f(x)=lnxx・a,bl显然f(x)在a,b1上满足拉格朗日中值定
理条件,且f(x)」故-a,b使f(b)-f(a)=f()Jxb—a-
b-ab-abb-a11
=f(b)-■f(a)|nb-1naInV—V—故:
aba
b-ab-ab-a
有〒V—V盲"
⑵设f(x)=ln1,则f(x)在0,x1上满足拉格朗日中值定理条件,
0,x
In1x[-In10_In1x
x-0x
——x
VIn1xVx;
1x
例3:
求,0.97的近似值;
x=X。
x=0.97
解:
0.97是f(x)—x在x=0.97处的值,令怡=1贝则3二x-x=0.97-1二一0.03
由Lagrange中值定理,存在一点,〔0.97,1f()=f
(1)-f(0.97)可0.03
F
取'1近似计算得.0.97:
一1•X•-0.03=1丄•-0.03=0.985;
2
⑶柯西中值定理的应用
例1:
设0VV1V—,证明:
存在〔m使得sin〔—sin一二coD;
2cos卩-cosa
证:
设f(x)=sinxg(x)=cosx贝卩f(x),g(x)在la,bl上满足柯西
中值定理条件,故使得空空上二竺cob
coco敦g\6)—sine
sin二一sin:
即cot二,":
•,:
;
cos:
-cos二
例2:
设函数f(x)在a,b1上连续,在a,b上可导,试证:
存在,[a,b
使得f(b)-f(a)二f()lnb;
a
证:
设g(x)=lnx显然它在a,b1上与f(x)一起满足柯西中值定理条件,
所以存在:
a,b使得f(b)-f(a)二斗整理后既得
Inb-1na丄
E
f(b)-f(a)=f()lnb;
a
例3:
设x>0对0V:
V1的情况,求证X’-:
x_1-:
;
证:
当x=1时结论显然成立;当x=1时,取〔x,11或1,x】,在该区间设
f(x)二x:
f(x)二dx由Cauchy定理得丄凶⑷.x,1或
F(X)-F
(1)F牡)
xa_4辰口」^-1
1,x即1;当x>1时,;x,1―>1即>
o(x-aa«x-a
1
又〉x「7x-1V0故X〉-1>〉X-〉即x〉-1V1-:
;当x>1时
:
-11,x,■:
4V1即〉x—〉=:
x-