届高三第一次调研考试数学理试题江苏省苏北四市含答案.docx

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届高三第一次调研考试数学理试题江苏省苏北四市含答案

2018届高三第一次调研考试数学（理）试题（江苏省苏北四市含答案）

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　　数学试题

　　参考公式：

1.柱体的体积公式：

，其中是柱体的底面面积，是高．

　　2.圆锥的侧面积公式：

，其中是圆锥底面的周长，是母线长．

　　一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

　　．已知集合，，则

　　▲

　　．

　　2．已知复数（为虚数单位），则的模为

　　▲

　　．

　　3．函数的定义域为

　　▲

　　．

　　4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为

　　▲

　　．

　　5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，则成绩在[250，400）内的学生共有

　　▲

　　人．

　　6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

　　▲

　　．

　　7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为

　　▲

　　．

　　8．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是

　　▲

　　．

　　9．若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为

　　▲

　　．

　　0．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为

　　▲

　　．

　　1．已知等差数列满足，，则的值为

　　▲

　　．

　　2．在平面直角坐标系中，若圆

　　上存在点，且点关于直线的对称点在圆

　　上，则的取值范围是

　　▲

　　．

　　3．已知函数函数，则不等式的解集为

　　▲

　　．

　　4．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则EB·Ec的值为▲．

　　二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

　　5．

　　在中，角，，所对的边分别为，，，且,.

　　⑴求的值；

　　⑵若，求的面积.

　　16．（本小题满分14分）

　　如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.

　　求证：

⑴

　　；

　　⑵.

　　7．

　　某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆o及其内接等腰三角形ABc绕底边Bc上的高所在直线Ao旋转180°而成，如图2．已知圆o的半径为10cm，设∠BAo=θ，，圆锥的侧面积为Scm2．

　　⑴求S关于θ的函数关系式；

　　⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．

　　18．（本小题满分16分）

　　如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.

　　⑴求椭圆的标准方程；

　　⑵若，求的值；

　　⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

　　19．

　　已知函数．

　　⑴当时，求函数的极值；

　　⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．

　　20．（本小题满分16分）

　　已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.

　　⑴若，，（），求证：

数列是等比数列；

　　⑵若数列是等比数列，求，的值；

　　⑶若，且，求证：

数列是等差数列.

　　数学Ⅱ

　　21．【选做题】本题包括A、B、c、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

　　A．[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

　　如图，是圆的直径，弦,的延长线相交于点，垂直的延长线于点．

　　求证：

　　B．[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

　　已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．

　　c．[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

　　以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．

　　D．[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

　　已知都是正实数，且，求证:

　　．

　　【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

　　出文字说明、证明过程或演算步骤．

　　22．（本小题满分10分）

　　在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

　　⑴求异面直线与所成角的余弦值；

　　⑵求二面角的余弦值．

　　23．（本小题满分10分）

　　在平面直角坐标系xoy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．

　　⑴求曲线的方程；

　　⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．

　　数学参考答案与评分标准

　　一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

　　．2．3．4．5．750

　　6．7．8．

　　9．10．11．12．13．14．

　　二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

　　5．

（1）在中，由，得为锐角，所以，

　　所以，………………………………………………………………2分

　　所以.………………………………4分

　　…………………………………………………………6分

（2）在三角形中,由，

　　所以，

　　………………………………………………8分

　　由，…………………………10分

　　由正弦定理,得，………………………12分

　　所以的面积.…………………………14分

　　6．

（1）证明：

取的中点，连结

　　因为分别是的中点，

　　所以且

　　在直三棱柱中，，，

　　又因为是的中点，

　　所以且.

　　…………………………………………2分

　　所以四边形是平行四边形，

　　所以，………………………………………………………………4分

　　而平面，平面，

　　所以平面.

　　……………………………………………………6分

（2）证明：

因为三棱柱为直三棱柱，所以面，

　　又因为面，

　　所以面面，…………………8分

　　又因为，所以，

　　面面，，

　　所以面，

　　………………………10分

　　又因为面，

　　所以，即，

　　连结，因为在平行四边形中，，

　　所以，

　　又因为，且，面，

　　所以面，……………………………………………………………………12分

　　而面，

　　所以.……………………………………………………………………………14分

　　7．

（1）设交于点，过作，垂足为，

　　在中，，，

　　…………………………………………………………2分

　　在中，，

　　…………………………………………………………4分

　　所以

　　，……………………6分

（2）要使侧面积最大，由

（1）得：

　　…………8分

　　设

　　则，由得：

　　当时，，当时，

　　所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

　　所以在时取得极大值，也是最大值；

　　所以当时，侧面积取得最大值，…………………………11分

　　此时等腰三角形的腰长

　　答：

侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分

　　8．

（1）设椭圆方程为，由题意知：

……………2分

　　解之得：

，所以椭圆方程为：

……………………………4分

（2）若，由椭圆对称性，知，所以，

　　此时直线方程为，……………………………………………6分

　　由，得，解得（舍去），…………8分

　　故．…………………………………………………………………10分

　　（3）设，则，

　　直线的方程为，代入椭圆方程，得

　　　，

　　因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分

　　又在直线上，所以，

　　同理，点坐标为，，……………………………………………14分

　　所以，

　　即存在，使得．………………………………………………………16分

　　9．

（1）函数的定义域为

　　当时，，

　　所以………………………………………………2分

　　所以当时，，当时，，

　　所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，

　　所以当时，函数取得极小值为，无极大值；…………………4分

（2）设函数上点与函数上点处切线相同，

　　则

　　所以……………………………………6分

　　所以，代入得：

　　………………………………………………8分

　　设，则

　　不妨设则当时，，当时，

　　所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分

　　代入可得：

　　设，则对恒成立，

　　所以在区间上单调递增，又

　　所以当时，即当时,

　　……………12分

　　又当时

　　……………………………………14分

　　因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；

　　即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．

　　又由得：

　　所以单调递减，因此

　　所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分

　　20．

（1）证明：

若，则当,

　　所以，

　　即，

　　所以，……………………………………………………………2分

　　又由，，

　　得，，即，

　　所以，

　　故数列是等比数列．……………………………………………………………4分

（2）若是等比数列，设其公比为（），

　　当时，，即，得

　　　　，　　　　　①

　　当时，，即，得

　　　　，　　　②

　　当时，，即，得

　　　　　，　　③

　　②①，得

　　，

　　③②，得

　　，

　　解得．

　　代入①式，得．…………………………………………………………………8分

　　此时，

　　所以，是公比为１的等比数列，

　　故．……………………………………………………………………10分

　　（3）证明：

若，由，得，

　　又，解得．…………………………………………………12分

　　由，，，，代入得，

　　所以，，成等差数列，

　　由，得，

　　两式相减得：

　　即

　　所以

　　相减得：

　　所以

　　所以

　　，

　　……………………………………14分

　　因为，所以，

　　即数列是等差数列.………………………………………………………………16分

　　数学Ⅱ参考答案与评分标准

　　21．A．证明：

连接，因为为圆的直径，所以，

　　又，则四点共圆，

　　所以．　…………………………………………………………5分

　　又△∽△，

　　所以，即，

　　∴．…………10分

　　B．因为，………………………………………5分

　　所以．………………………………………………………10分

　　c.把直线方程化为普通方程为．

　　……………………………3分

　　将圆

　　化为普通方程为，

　　即．

　　………………………………………………………………6分

　　圆心到直线的距离，

　　所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分

　　D．证明：

因为

　　，

　　…………………………………………5分

　　又，

　　所以．…………………………………………10分

　　22．

（1）因为，则，

　　所以，，………………………………………2分

　　记直线和所成角为，

　　则，

　　所以直线和所成角的余弦值为．………………………………………4分

（2）设平面的法向量为，

　　因为，，

　　则，取得：

……………………………6分

　　设平面的一个法向量为，

　　因为，，

　　则，取得：

………………………8分

　　根据图形可知二面角为锐二面角，

　　所以二面角的余弦值为；……………………………………10分

　　23．

（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，

　　设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，

　　所以圆的半径为，点

　　，

　　则直线的方程为，即，………………………2分

　　所以，又，

　　所以，即，

　　所以的方程为

　　………………………………………………4分

（2）设，，，

　　由

（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，

　　由，所以，，

　　所以，，……………………………………………………6分

　　所以．……………………………………8分

　　令，，

　　则，

　　由得，由得，

　　所以在区间单调递减，在单调递增，

　　所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值

　　此时．……………………………………………………………10分