专题11抛体运动模型解析版届高考物理热点题型归纳与变式演练.docx
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专题11抛体运动模型解析版届高考物理热点题型归纳与变式演练
2021届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练
【专题导航】
专题11
抛体运动模型
热点题型一平抛运动规律的基本应用1
命题角度一分解思想的应用2
命题角度二斜抛运动4
命题角度三基本物理量的计算5
热点题型二有约朿条件的平抛运动模型6
模型一对着竖直墙壁平抛6
模型二斜而上的平抛问题8
模型三半圆内的平抛问题13
热点题型三平抛运动中临界问题的分析方法15
热点题型四生活中的平抛运动（STS问题）19
热点题型五类平抛运动问题22
【题型归纳】
热点题型一平抛运动规律的基本应用
【题型要点】1.平抛（或类平抛）运动所涉及物理量的特点
物理量
公式
决定因素
飞行时间
取决于下落髙度力和重力加速度g，与初速度VO无关
水平射程
由初速度W、下落高度力和重力加速度g共同决泄
落地速度
谯+謠=寸諒+2g〃
与初速度V0、下落髙度力和重
力加速度g有关
速度改变量
Av=gAr,方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔
△F共同决泄
2.关于平抛（或类平抛）运动的两个重要推论
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中J
点和b点所示，即小=¥・
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任意位置处，设英末速度方向与水平方向的夹角为s位移与水平方向的夹角为0,则tana=2tan0.
命题角度一分解思想的应用
【例1】（多选）（2020-山东师大附中二模）以巾的速度水平抛岀一物体，当其水平分位移与竖直分位移大小相
等时，下列说法正确的是（）
C.竖直分速度大小等于水平分速度大小D.运动的位移是晋旦
【答案】ABD.
【解析】：
物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上：
x=vQt.竖直方向上：
h^gt2当其水平
分位移与竖直分位移大小相等时，即x=h,所以v0/=^解得纽，故B正确：
平抛运动竖直方向上的
-S
速度为Vy=gt=g—=2vQ,故C错误；此时合速度的大小为小刑=书比，故A正确：
由于此时的水平分g
位移与竖宜分位移相等，所以口=血=比呼=乎所以此时运动的介位移的大小为&^=0=普旦故D正确.
【规律总结】“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将英转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：
（1）水平方向的匀速直线运动。
（2）竖直方向的自由落体运动。
【变式1]（2020-河北唐山三模）如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，2、B为其运动轨迹上的两点。
小球经过/点时，速度大小为10m/s、与竖直方向夹角为60。
；它运动到E点时，速度方向与竖直方向夹角为30。
，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。
下列说法中正确的是（）
A.小球通过E点的速度为12m/sB.小球的抛出速度为5诅3
D.A.E之间的距离为gpm
C.小球从/点运动到2点的时间为1s
【答案】C
【解析】由'I'•抛运动规律知vo=xsin6O。
，vo=vjsin30°.解得vo=5书rn-'s.vb=10>/3m's.选项A、B错误：
竖直速度叱赧=v』cos60。
，i®=vbcos30。
，吃,=%+g/,解得r=ls,选项C正确；由疡一爲=2gv,x=vof,解得s=5*m・选项D错误。
命题角度二斜抛运动
【例2]（2020-河南郑州一模）甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持舶的拍而与水平方向成45。
角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30。
角，如图所示.设乒乓球击打舶而时速度方向与拍而垂直，且乒乓球每次击打球拉前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度"与乒乓球击打乙的球拍的速度巾之比为（）
【答案】C.
【解析】：
由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向
的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍而时速度与拍面垂直，在甲处：
沪沁45。
，在乙处：
汩沁30。
：
所以：
斜罟¥，故C正确，A、B、D错误.
sin30。
【变式1】•有念B两小球，B的质量为/的两倍•现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不汁空气阻力・图中匚为2的运动轨迹，则B的运动轨迹是（）
【答案】A.
【解析】：
由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出.在竖直方向做竖直上抛运动•水平方向做匀速宜线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与d球的一样，A正确.
【变式2K2020•江苏苏州联考）某电视综艺右目中有一个“橄榄球空中击剑”游戏:
宝剑从空中B点自由下落，
同时橄榄球从/点以速度巾沿-0方向抛岀，恰好在空中C点击中剑尖，不计空气阻力。
关于橄榄球，下列说法正确的是（）
A.在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度
B.若以大于代的速度沿原方向抛岀，一立能在C点上方击中剑尖
C.若以小于代的速度沿原方向抛出，一立能在C点下方击中剑尖
D.无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
【答案】B
【解析】：
由于橄榄球和宝剑在空中只受重力作用，故加速度均为g，4错误：
若要击中剑尖，需满足水平方向x=voFcos&,竖直方向H=*gF+vofsin&—+gF=vorsin&,若以大于w的速度沿原方向抛出，此时『变小，相遇时宝剑下落的高度减小，则一泄能任C点上方击中剑尖，B正确；若以小于V0的速度沿原方向抛出，若速度过小，则橄榄球可能不能运动到宝剑的正下方就落地，故不一定能在C点下方击中剑尖，C、D错误。
命题角度三基本物理量的计算
【例3]（2020-陕西汉中市下学期模拟）如图所示，x轴在水平地而上，轴在竖直方向.图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球cb和c的运动轨迹.不计空气阻力，下列说法正确的是（）
【解析】根据尸\岸可知a和b在空中运动的时间之比为返二1：
根据卩=¥可知a和b的初速度大小之比为1二返，选项A、B错误.根据『=寸才可知a和c在空中运动的时间之比为血二1：
根据巧可知a和c的初速度大小之比为农二1,选项C正确，D错误.
【变式】（2020大庆实验中学模拟）水平抛出的小球，『秒末的速度方向与水平方向的夹角为01，t+tQ秒内位移方向与水平方向的夹角为&2,重力加速度为g，忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为（）
g5—g（r+2『o）
热点题型二有约束条件的平抛运动模型
模型一对着竖直墙壁平抛
【题型要点】如图所示，水平初速度比不同时，虽然落点不同,但水平位移d相同，吒
【例1]（2020-安徽淮南市第二次模拟）如图所示，将一小球从水平而上方J点以初速度勺向右水平抛出，经过时间"打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与/点等髙的P点以初速度叱向右水平抛出，经过时间沧落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是（）
A・vi>V2B・力v\々
C.ti>tiD・t\=ti
【答案】A
【解析】小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据、岸可知，"勺2：
在水平方向上为匀速直线运动,根据V=p因X1>X2，则V1>V2，故选A.
【变式】（多选）从竖直墙的前方2处，沿20方向水平发射三颗弹丸4、b、C,在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa=ab=bc,则a、b、c三颗弹丸（不计空气阻力）（）
A.初速度大小之比是&匚萌二也
B.初速度大小之比是1二辺二羽
C.从射岀至打到墙上过程速度增量之比是1二农二羽
D.从射岀至打到墙上过程速度增量之比是&二萌二返
【答案】AC
【解析】水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa=ab=bc,即OaZObZOc=1Z2Z3,由人=赫可知心》=1二住二羽・由水平方向x=吋可得必》产1寻二击=&二羽二迈，故选项A正确，B错误；由亦=刃，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1二返二羽，故选项C正确，D错误.
【题型要点】⑴顺着斜面平抛（如图）
方法：
分解位移.
x=vx）6
tan0=J
x
□士如，2votan3可求得t=—-—.
（2）对着斜面平抛（如图）
方法：
分解速度.
八『0V0
tan
Xrgf
可求得住
【例21（2020洞南信阳一模）如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出,经过3s落到斜坡上的/点。
已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角0=37。
，不计空气阻力（sin37。
=06cos37°=0.8,g取则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角卩满足（）
【答案】C
【解析】运动员落到斜坡上的瞬间，对英速度进行分解，如图所示。
竖直分速度vy=gt.与水平分速度y0的比值tan0=鲁=静竖直分位移尸务2,与水平分位移x=vot的比值tan&=三=寰，可见tan卩=2tan0=1.50,选项C正确。
【变式1]（2020-山西晋城市模拟）如图所示，斜而体MC固泄在水平地而上，斜而的髙肿为返m,倾角
【答案】D
为0=37。
，且D是斜而的中点，在*点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能
落在地而上的同一点，则落地点到C点的水平距离为（sm37°=0.6,cos37。
=0.8,gTOinZ,不计空气阻力）（）
D.
|m
【解析】设,购的髙度为儿落地点到C点的距离为x.
【变式2]（2020-河南省八市重点高中联盟第三次模拟）如图所示，小球从斜而的顶端A处以大小为巾的初速度水平抛出，恰好落到斜而底部的B点，且此时的速度大小沪E空气阻力不计，该斜面的倾角为（）
【答案】B
【解析】根据平行四边形立则知，小球落到底端时竖直分速度为：
Vy=V^7Z^=2vo，
则运动的时间为」=¥=普，
gg
设斜而的倾角为。
则有taiii9=—=f-=l.voF2vo
解得0=45。
，B正确.
【变式3】•（多选）（2020-山东日照市上学期期末）如图，在斜而顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有
小球均落在斜而上•忽略空气阻力，下列说法正确的是（）
A・所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等
B.小球的运动时间与初速度的平方成正比
C.所有小球落到斜而上时的速度方向都相同
D・小球从抛出到离斜而最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半
【答案】AC
【解析】所有小球都落在斜而上.所以所有小球的位移方向相同，设斜而的倾角为*所有小球的竖直位移与水平位移之比都等于tan*故A正确：
小球水平方向做匀速直线运动:
x=vQt,竖直方向做自由落体运动：
『=务卢，所以*解得：
尸组严，故B错误：
平抛运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜而上时
的速度方向都相同，故C正确；小球在竖直方向的总位移为尸如（进^）2=2；",小球从抛出z-gS
到离斜而最远时，速度方向与斜而平行，此时竖宜方向的速度vr=votan^位移为”=舊=:
旦夢，所以小球从抛出到离斜而最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的事故D错误.
【例3】.（2020•安徽江淮十校三模）如图所示，长木板肿倾斜放置，板而与水平方向的夹角为0，在板的J端上方P点处，以大小为vo的水平初速度向右抛出一个小球，结果小球恰好能垂直打在板面上；现让板绕A端顺时针转过一个角度到图上虚线的位置，要让球从P点水平抛岀后仍能垂直打在板而上，则抛岀的水平速度v（不计空气阻力）（）
A.一泄大于巾B.—能小于w
【答案】B
【解析】：
设板与水平方向的夹角为将速度进行分解如图所示,
根据几何关系可得:
vx>=vrtan0~gttan&二水平方向有：
x=VQt9则r=yZ
将二代入二整理可得：
让板绕4端顺时针转过一个角度到图上虚线的位置，0减小，由图可知x减小、故初速度內减小，即v【变式1】・（2020-河北衡水中学高三二调）如图所示，可视为质点的两个小球乩E从坐标为（0,2_yo）、（0,.vo）的两点分別以速度©和切水平抛岀，两个小球都能垂直打在倾角为45。
的斜面上，由此可得血二也等于（）
A.y/221B・2J1C・4Z1D・8Z1
【答案】A.
【解析】：
设抛出点距O点髙度为爪水平初速度为比，末速度的竖直分量为运动时间为人小球垂直
力=豪尸+盘尹联立以上各式可得：
力=|^二前，根据题意，小球』、E从坐标分别为（0,2円）、（0,爪）的
两点平抛，可得加=2>shB=ys故力二也=低二换=迈二1,A正确，B、C、D错误.
【变式2】（2019湖南永州市第二次模拟）如图所示，在斜而顶端a处以速度％水平抛出一小球，经过时间沧恰好落在斜面底端c处.今在c点正上方与a等高的b处以速度必水平抛岀另一小球，经过时间％恰好落在斜而的三等分点〃处.若不计空气阻力，下列关系式正确的是（）
怙=乐,故A、B错误：
因为a、b两球水平位移之比为3二2,由“斗得：
巾=芈阪故C正确，D错误.
如图所示，由半径和儿何关系制约时间f：
匸詁
R±yjR2—Jr=VQt.
联立两方程可求t.
【例4】（2020-四川宜宾市第二次诊断）如图所示，一竖直圆弧形槽固左于水平地而上，O为圆心,4B为沿水平方向的直径.若在2点以初速度W沿■毎方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点刀点：
若/点小球抛出的同时，在C点以初速度巾沿BJ方向平抛另一相同质量的小球并也能击中Q点，已知二COD=
60%且不计空气阻力，贝IJ（）
C.两小球落到D点时的速度方向与O刀线夹角相等D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为迈二1
【答案】B
【解析】由于C两点到D点的竖直髙度不同，两球在空中运动时间不同，A选项错误；设圆弧形槽半
V1ZV2
对C点抛出的小球，Rsin60。
=吹，化=寸~~烝卷型三=寸£则V2=鲁星\贋=p*gR，=&二3,B选项正确:
设在D点速度方向与OD线夹角为0竖直分速度为巾，水平分速度为M，则tan6=^
由力二卩2=&二3
yriZy）-2=t4-/c=V2Z1
tan0\^tan02，C选项错误；
设2、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为VAxvetVA=yJvr-I-l2=yJ^gR,vc=\jv22+v>-22=•则vA-vc=y[16-yj7,D选项错晁
【变式1】如图所示，薄半球壳MCE的水平直径为肋，C为最低点,半径为R—个小球从2点以速度比水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是（）
A・只要比足够大，小球可以击中B点
B.代取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C.代取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D.无论巾取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【答案】D
【解析】：
小球做平抛运动，竖直方向有位移，vo再大也不可能击中P点，2错误：
vo不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和2点的连线与Z1E的夹角卩不同，由推论tane=2tancp可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角e也不柿同，若小球垂宜撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与.13的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确.
【变式2]（2020•兰州一中期中）如图所示，在竖直放宜的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度Vi.v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的/点和E点，已知OJ与OE互相垂直，且0/与竖直方向成a角，则两小球初速度之比为（）
A・tanaB・sinaC・tanay/tanaD・cosa
【答案】C
【解析】：
两质点抛出后都做平抛运动，设容器的半径为凡
两质点运动的时间分別为"B.
联立得：
斜tan°耐’故选C.
热点题型三平抛运动中临界问题的分析方法
【题型要点】在平抛运动中，由于时间由高度决左，水平位移由髙度和初速度决泄，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况.
1.若题目中有“刚好曲恰好““正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.
2.若题目中有“取值范用以多长时间I多大距离“等词语，表明题述的过程中存在着“起止点“，而这些“起止点''往往就是临界点.
3.若题目中有“最大“最小",至多以至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点・
【解题方法.规律】求解平抛运动临界问题的一般思路
（1）确龙临界状态。
⑵找出临界状态对应的临界条件。
（3）分解速度或位移。
（4）若有必要，画出临界轨迹。
【例1】（2020-新课标二卷）如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向
的水平宽度为3儿英左边缘a点比右边缘b点髙0.5/7o若摩托车经过a点时的动能为它会落到坑内c
点0
沾词水平距离脈度差均以若经过讪的动能沁该摩托车恰能越过坑到达浊曽等
于（
）
【答案】B
【解析】有题意可知半在a点动能为E】时，有E^-mvf，根据平抛运动规律有h=-gtf,h=v&,'片
22
在a点时动能为E时，有E2=-mv},很据平抛运动规律有Lh=Lgtl，3h=v2t2,联立以上各式可解乙厶乙
得字=18,故选B。
£i
【变式1】（2015-新课标全国二・18）—带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台而的长和宽分别为Lt和£2,中间球网髙度为力•发射机安装于台而左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台而高度为％.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率、，在某范用内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台而上，则v的最大取值范囤是（）
【答案】D
【解析】：
发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v最小时，球沿中线恰好过网,
有：
3/z-7»=yC
联立二二两式，得
当速度卩最大时，球斜向右侧台而两个角发射，有
3力pg*口
联立二二两式，得"=苏卩驾西
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范国为牛J|【变式2】（2020•福建泉州市第一次质量检査）某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道■毎上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小惮丸.圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上（）
A.位于B点时，只要禅丸射出速度合适就能过关B.只要髙于E点，弹丸射出速度合适都能过关
C.只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关D.有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
【答案】C
【解析】根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于E点时，不管速度多大，弹丸都不可能沿OP方向从P点射出，故A错误：
如图所示，
根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：
EN=*R（1+cosa）,则竖宜位移PN=ENtana=*R（l+cosa）tana,弹射器离B点的髙度为y=PN^Rsina=^（tana—sina）.所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射岀才能过关，故B、D错误，C正确.
【变式3]（2020-福建莆田市5月第二次质检）如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球
落在小桶的前方.不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以（）
【解析】设小球平抛运动的初速度为抛岀点离桶的高度为力，水平位移为x,根据h=\gt~,可得平抛运动的时间为：
尸、/号，则水平位移为：
•增大抛出点高度，冋时增大初速度，则水平位移X增大，不会抛进小桶中，故A错误.减小抛出点髙度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确.保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误.保持初速度不变，增大抛岀点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误.
热点题型四生活中的平抛运动（STS问题）
【题型要点】平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞镖、射击、飞机投弹模型等。
这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界、飞镖是否能中靶心、飞机投弹是否能命中口标等。
解题的关键在于能准确地运用平抛运动的规律分析对应的运动特征。
【例1】（2019-河北衡水市重点名校四模）在公园里我们经常可以看到大人和小孩都喜欢玩的一种游戏——“套圈假设某小孩和某大人从同一条竖直线上距离地而不同高度处分别水平抛岀两个小圆环，大人抛岀圆环的高度为小孩抛出圆环高度的2.25倍，结果两圆环恰好都套中地而上的同一物体.不计空气阻力，则大人和小孩所抛出的圆环（）
A.运动时间之比为9匚4B.速度变化率之比为4二9
C.水平初速度大小之比为2口3D.落地时速度大小之比为3二2
【答案】C
【解析】平抛运动竖直方向上的运动为自由落体运动，竖直方向上有办=护，解得/=、y严，设大人和小孩抛出圆环的高度分别为加、加，圆环的运动时间分别为“、勺，则大人和小孩所抛出的圆环运动时间之比f口2=血二扳=适二护=3二2,选项A错误：
圆环只受重力作用，英加速度为g,由g=爭，可知大人和小孩所抛出的圆环的速度变化率相等，即速度变化率之比为1二1，选项B错误：
设大人和小孩所抛出圆环的初速度大小分别为力、V2,圆环在水平方向上做匀速直线运动，且水平位移相等，由x=vt,可得大人和小孩所抛出的圆环的水平初速度大小之比为力＞2=『2二/1=2二3,选项C正确：
圆环落地时的竖直速度令=gh故大人和小孩所抛出的圆环落地时竖直方向上的速度大小之比为3二2,再结合C选项的分析可知，大人和小孩所抛岀的圆环落地时速度大小之比不是3二2,选项D错误.
【变式1】.（2020•东北三省四市教研联合体模拟）2022年冬奥会将在中国举办的消息吸引了大量爱好者投入到冰雪运动中.若跳台滑雪比赛中运动员在忽略空气阻力的情况下，在空中的运动可看成平抛运动.运动员甲以一立的初速度从平台末端水平飞出，轨迹如图1中实线二所示，运动员乙以相同的初速度从同一点水平飞出，且质量比甲大，则乙运动轨迹应为图中的（）
【答案】A
【解析】平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，在竖直方向上有=茲2,在水平方向上有x=v^解得，=盘"，说明以相冋初速度从同一点做平抛运动，其运动轨迹方程-与质量无关，故乙的运动轨迹仍是实线二，故选A.
【变式2】.（2019浙江稽阳联谊学校3月模拟）如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌而上，可绕竖直转轴00
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