初一数学平行线的判定.docx
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初一数学平行线的判定
年级
七年级
学科
数学
版本
通用版
课程标题
平行线的判定
一、三线八角图析(同位角、内错角、同旁内角)
1.同位角:
在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角,叫做同位角。
上图中,同位角有4对:
∠1和∠2,∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8
2.内错角:
在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。
上图中,内错角有2对:
∠4和∠5,∠2和∠7
3.同旁内角:
在两直线被第三条直线所截,构成的八个角中,位于两被截线的内部,
且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。
上图中,同旁内角有2对:
∠4和∠7,∠2和∠5
技巧归纳:
同位角是F形状;
内错角是Z形状;
同旁内角是U形状。
二、平行线的判定方法
如
(1)如图,下列条件不能判定直线a∥b的是( )
A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠1+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
解:
A.∵∠1=∠2,∴a∥b(内错角相等,两直线平行);
B.∵∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行);
C.∠1+∠4=180°与a、b的位置无关;
D.∵∠2+∠4=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。
故选C。
(2)图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。
由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2( )
A.∠2+∠4=180°B.∠3+∠8=180°C.∠5+∠6=180°D.∠7+∠8=180°
解:
∵∠3+∠8=180°,而∠4+∠8=180°,
∴∠3=∠4,
∴L1∥L2。
(内错角相等,两直线平行)。
故选B。
(3)如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是( )
A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠5
解:
A.根据∠1=∠2不能推出l1∥l2,故本选项错误;
B.∵∠5=∠3,∠1=∠5,
∴∠1=∠3,
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2,故本选项错误;
C.∵∠1+∠3=180°,
∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行),故本选项正确;
D.根据∠3=∠5不能推出l1∥l2,故本选项错误;
故选C。
例题1如图,在△ABC中,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且EF∥AB,要使DF∥BC,只需满足下列条件中的( )
A.∠1=∠2B.∠2=∠AFDC.∠1=∠AFDD.∠1=∠DFE
解析:
要使DF∥BC,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角,选项中∠1=∠DFE,根据已知条件可得∠1=∠2,所以∠DFE=∠2,满足关于DF、BC的内错角相等,则DF∥BC。
解:
∵EF∥AB,∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。
∵∠1=∠DFE,
∴∠2=∠DFE(等量代换),∴DF∥BC(内错角相等,两直线平行),所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE,故选D。
答案:
D
点拨:
解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。
本题是一道探索性条件开放性题目,其中牵涉“等量代换”这一解题思想,能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。
例题2如图所示,已知直线AB、CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ∥NP。
为什么?
解析:
由已知结合等式的性质,可得∠PNF=∠QMN,根据同位角相等,两直线平行可得MQ∥NP。
答案:
证明:
∵∠BMN=∠DNF,∠1=∠2(已知),∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠QMN=∠PNF∴MQ∥NP(同位角相等,两直线平行)。
点拨:
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行。
例题3如图所示,已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2。
(1)AB与CD平行吗?
为什么?
(2)DF与AE平行吗?
为什么?
解析:
(1)根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°,根据平行线的判定推出即可;
(2)根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°,推出∠3=∠4,根据平行线的判定推出即可。
答案:
解:
(1)AB∥CD。
理由是:
∵CD⊥DA,DA⊥AB,∴∠CDA=∠BAD=90°,
∴CD∥AB;
(2)DF∥AE,理由是:
由
(1)知,∠2+∠3=90゜,∠1+∠4=90゜,∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴DF∥AE。
点拨:
灵活选用平行线的判定的应用,以及等式的性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行。
找准第三条直线,如果两个角不是被同一条直线所截得到的,那一定不是同位角、内错角或同旁内角。
满分训练如图,A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上,且∠D=∠C,∠1=∠3
求证:
∠A=∠F(要求:
写出证明过程中的主要依据)
错解:
证明:
∵∠C=∠D,
∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
错解分析:
错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角,以致误用平行线的判定定理。
正解:
证明:
∵∠1=∠3,
∴DB∥CE(同位角相等,两直线平行),
∴∠C=∠DBA(两直线平行,同位角相等),
∵∠C=∠D,
∴∠D=∠DBA(等量代换),
∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
(答题时间:
45分钟)
一、选择题
1.如图,能判定EB∥AC的条件是( )
A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE
2.如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中,相互平行的线段有( )
A.4组B.3组C.2组D.1组
*3.如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法,其依据是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.两直线平行,同位角相等
**4.学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图
(1)~(4)),从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行。
A.①②B.②③C.③④D.①④
**5.如图,给出下列四个条件:
①AC=BD;②∠DAC=∠BCA;③∠ABD=∠CDB;④∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件是()
A.①②B.③④C.②④D.①③④
二、填空题.
6.如图,请填写一个你认为恰当的条件________,使AB∥CD。
*7.如图所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件_________。
*8.设a、b、l为平面内三条不同直线。
①若a∥b,l⊥a,则l与b的位置关系是_______;②若l⊥a,l⊥b,则a与b的位置关系是_______;③若a∥b,l∥a,则l与b的位置关系是_______。
**9.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB、CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为________。
三、解答题
10.如图,一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗?
为什么?
11.你知道潜水艇吗?
它在军事上的作用可大呢。
潜水艇下潜后,艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况,如图①。
其实它的原理非常简单,(如图②,潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4。
你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗?
*12.如图所示,如果两个角满足某种关系,就可以判断AE∥BF。
请你将这样相关的角写出几组,并说明理由。
**13.如图,直线AB与CE交于D,且∠1+∠E=180°。
求证:
AB∥EF。
**14.当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了改变,即水中的光线与原来空气中的光线不在一条直线上,这是光线在水中的折射现象。
同样,水中的光线射入空气中也会发生这种现象。
如图所示,是光线从空气射入水中,再从水中射入空气中的示意图。
由物理学知识知,∠1=∠4,∠2=∠3。
请你用学过的知识来说明光线c与光线d是否平行。
1.D解析:
A和B中的角不是三线八角中的角;
C中的角是同一三角形中的角,故不能判定两直线平行。
D中内错角∠A=∠ABE,则EB∥AC。
故选D。
2.B解析:
∠B=∠DCE,则AB∥EC(同位角相等,两直线平行);
∠BCA=∠CAE,则AE∥DB(内错角相等,两直线平行);
∠ACE=∠DEC,则AC∥DE(内错角相等,两直线平行)。
互相平行的线有:
AE∥DB,AB∥EC,AC∥DE,共三组。
故选B。
3.A解析:
∵∠1=∠2,
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。
故选A。
4.C解析:
由作图过程可知,∠1=∠2,为内错角相等;∠1=∠4,为同位角相等;
可知小敏画平行线的依据有:
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行。
故选C。
5.C解析:
①AC=BD,不能判断两直线平行,故错误;
②∠DAC=∠BCA,根据内错角相等,两直线平行可得AD∥BC,故正确;
③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角,故可得AB∥CD,故错误;
④∠ADB=∠CBD,根据内错角相等,两直线平行可得AD∥BC,故正确。
故选C。
6.∠FCD=∠FAB(或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°)
解析:
根据同位角相等,两条直线平行,可以添加∠FCD=∠FAB;
根据内错角相等,两条直线平行,可以添加∠CDA=∠DAB;
根据同旁内角互补,两条直线平行,可以添加∠BAC+∠ACD=180°。
7.∠DCE=∠A(或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°)
解析:
能判定CE∥AB的一个条件是:
∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°
8.l⊥b;a∥b;l∥b解析:
①根据如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它和另一条平行线也垂直,知l⊥b;
②根据垂直于同一条直线的两直线平行,知a∥b;
③根据平行于同一条直线的两直线平行,知l∥b。
9.平行解析:
根据题意,∠1与∠2是三角尺的同一个角,
所以∠1=∠2,
所以,AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
故答案为:
平行。
10.解:
说管道AB∥CD是对的。
理由:
∵∠ABC=120°,∠BCD=60°
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
11.解析:
∵∠1=∠2=45°,∠3=∠4=45°,
∴∠5=180°-45°×2=90°,
∠6=180°-45°×2=90°,
∴∠5=∠6,
故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。
12.解析:
满足条件的两个角有:
①∠B=∠7(内错角相等,两直线平行);
②∠B=∠6(同位角相等,两直线平行);
③∠B+∠BAE=180°(同旁内角互补,两直线平行);
④∠1=∠5(内错角相等,两直线平行);
⑤∠1+∠CAG=180°(同旁内角互补,两直线平行);
⑥∠3=∠E(内错角相等,两直线平行);
⑦∠BCE+∠E=180°(同旁内角互补,两直线平行);
⑧∠ACF=∠CAG(内错角相等,两直线平行);
⑨∠ACF+∠5=180°(同旁内角互补,两直线平行)。
13.证明:
方法一:
∵∠1+∠E=180°,∠1=∠4,
∴∠4+∠E=180°,
∴AB∥EF;
方法二:
∵∠1+∠E=180°,∠1+∠2=180°
∴∠2=∠E,
∴AB∥EF;
方法三:
∵∠1+∠E=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠3=∠E,
∴AB∥EF。
14.解:
c∥d,
理由:
∵∠1+∠5=180°,∠4+∠6=180°,
又∵∠1=∠4,
∴∠5=∠6,
∵∠2=∠3,
∴∠2+∠5=∠6+∠3,
∴c∥d。