圆锥曲线知识点小结.docx
《圆锥曲线知识点小结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线知识点小结.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线知识点小结
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视括号”内的限制条件
定点F1（^,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是（）
A•PFi+|PF2=4
B.PFi|-|PF2=6
C.|PF^H|PF2=10
r>22
D•PFi+PF2=12
（2）方程J（x_6）2+y2_J（x+6）2+y2=8表示的曲线是
（3）利用第二定义
2
已知点Q（2j2,0）及抛物线y=・上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_
4—
2.圆锥曲线的标准方程
22
（1）已知方程=1表示椭圆，贝Vk的取值范围为
3+k2-k
（2）若x,y^R，且3x2+2y2=6，则x+y的最大值是—,x2十y2的最小值是
（3）双曲线的离心率等于
22
—，且与椭圆-1有公共焦点，则该双曲线的方
294
程
（4）设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e=、2的双曲线C
过点P（4,J0），则C的方程为
3.圆锥曲线焦点位置的判断：
22
椭圆：
已知方程-^―=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
m-12—m
4.圆锥曲线的几何性质：
22
（1）椭圆若椭圆—•丄=1的离心率
5m
10e二
则m的值是
（2）
1时，则椭圆长
以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为轴的最小值为
（3）双曲线的渐近线方程是3x二2y=0，则该双曲线的离心率等于
（4）双曲线ax2「by2=1的离心率为•一5,则a:
b=
22
（5）设双曲线冷-厶=1（a>0,b>0）中，离心率e€[-..2,2],则两条渐近线夹角0
ab
的取值范围是
2
（6）设a^0,a^R，则抛物线y=4ax的焦点坐标为
22
5、点P（x0,y0）和椭圆笃爲=1（ab0）的关系:
ab
6•直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围
是
22
（2）直线y—kx—仁0与椭圆0+厶=1恒有公共点，则m的取值范围是
5m
22
（3）过双曲线D1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若丨AB|=4,
12
则这样的直线有条.
22
（4）过双曲线务-呂=1外一点P（x0,y0）的直线与双曲线只有一个公共点的情
ab
况如下：
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一
条平行于对称轴的直线。
（6）过点（2,4）作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有__
22
（7）过点（0,2）与双曲线—-y1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为
2
（8）过双曲线x2-刍=1的右焦点作直线I交双曲线于A、B两点，若AB=4，贝V
满足条件的直线I有条
（9）对于抛物线C:
y2=4x，我们称满足y02:
:
：
4x0的点M（x°,y°）在抛物线的内
部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线I:
y°y=2（x沧）与抛物线C的位置关系
是
（10）过抛物线y2=4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ
的长分别是p、q，则1+1=
pq
22
（11）设双曲线-y1的右焦点为F，右准线为I，设某直线m交其左支、
169
右支和右准线分别于P,Q,R，则NPFR和NQFR的大小关系为倾大于、
小于或等于）
（12）求椭圆7x24y2=28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距离
（13）直线y二ax1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。
1当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
2当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
7、焦半径
22
（1）已知椭圆—•乂1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距
2516
离为
（2）已知抛物线方程为y2二&,若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于—；
（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为__
22
（4）点P在椭圆xy1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则
259
点P的横坐标为
（5）抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴
的距离为
22
（6）椭圆H1内有一点P（1,—1）,F为右焦点，在椭圆上有一点M,使
43
MP+2MF之值最小，则点M的坐标为
8、焦点三角形
（1）短轴长为、.5,离心率的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆
3
于A、B两点，贝V.：
ABF2的周长为
（2）设P是等轴双曲线x2_y2=a2（a0）右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
PF2F1F2=0，|PFi|=6，则该双曲线的方程为
22
（3）椭圆乞+厶=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点，当PF2PF1<0时,
94
点P的横坐标的取值范围是
J6
（4）双曲线的虚轴长为4,离心率e=-,F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直
2
线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB
（5）已知双曲线的离心率为2,Fi、F2是左右焦点，P
为双曲线上一点，且
-F1PF2=60,SPFf-123•求该双曲线的标准方程
F1F2
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质
10、弦长公式：
（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（xi,yi）.
B（X2,y2）两点，若
Xi+X2=6，那么|AB|等于
（2）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,
已知|AB|=10，O为坐
标原点，则AABC重心的横坐标为
11、圆锥曲线的中点弦问题:
22
（1）如果椭圆—1=1弦被点A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
369
22
（2）已知直线y=—x+1与椭圆笃2_“（a.b■0）相交于A、B两点，且线段
ab
AB的中点在直线L:
x—2y=0上，则此椭圆的离心率为
22
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆—y1上有不同的两点关于直线
43
y=4x•m对称
特别提醒：
因为厶•0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦
长、对称问题时，务必别忘了检验.：
0!
12.你了解下列结论吗？
22
与双曲线乞_—=1有共同的渐近线，且过点（-3,2韶）的双曲线方程为
916
13.动点轨迹方程：
（1）已知动点P到定点F（1,0）和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.
（2）线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m•0），端点A、B到x轴距离之
积为2m,以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为
220
（3）由动点P向圆xy=1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,ZAPB=60，则
动点P的轨迹方程为
（4）点M与点F（4,0）的距离比它到直线I：
X，5=0的距离小于1，则点M的轨迹方程是
2222
（5）—动圆与两圆OM:
xy=1和ON:
xy-8xT2=0都外切，则动圆
圆心的轨迹为
2,、
（6）动点P是抛物线y=2x-1上任一点，定点为A（0,-1），点M分PA所成的比为2,
则M的轨迹方程为
（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a,M为圆上一动点，作MN丄AB，垂足为N,
在OM上取点P，使|OP|=|MN|，求点P的轨迹。
（8）若点P（X1,yJ在圆x2+y2=1上运动，则点Q（x1y1,x<^y1）的轨迹方程是—
（9）过抛物线x?
=4y的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点
M的轨迹方程是
22
（10）已知椭圆冷•与=1（a■b■0）的左、右焦点分别是
ab
Fi（-c,0）、F?
（c,0）,Q是椭圆外的动点,
P是线段
FiQ与该椭圆的交点，点T在线段
PTTF2
=0,|TF2|7.
c
（1）设X为点P的横坐标，证明IRPFa-x；
a
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：
在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在,
求/F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由
1.（答：
C）;（答：
双曲线的左支）（答：
2）
11LX2
2.
（答：
2-尹（-2,2）小答:
岳2答:
匸7―）；（答:
x—）
4.
5.
25
（答:
3或）
3
（答：
2迈）（答:
亟或逅）;（答：
4或1）;（答：
匸,丄］）;（答：
23432
（话）;
*15
6.（答：
（-^,-1））;（答：
［1,5）U（5,+旳）；（答：
3）;（答：
①P点在
3
两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线
两支相切的两条切线，共四条；
2p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和
只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
3p在两条渐近线上但非原点，只有两条：
一条是与另一渐近线平行的直线，一条
是切线；
4p为原点时不存在这样的直线；）
I44亦I
（答：
2;（答：
旨一，土亠'）；（答：
3）;（答：
相离）；（答：
1）;
［33J
（答:
等于）;（答：
m）（答：
①-'、3八3•，②a=「1）；
13
7.（答：
35）；（答：
7,（2,±4））;（答：
15）;（答：
2）（答：
（警，-心
8.（答：
6）（答：
x2-y2=4）；（答：
（-35,35））（答:
8・2）;
55
22
（答:
冬-丘=1）;
412
10.（答:
8）;（答:
3）;
11.（答
x2y-8=0）;（答:
普）;（答：
严5
1313
）;
12.（答
（答:
y2
--12（x-4）（3_x_4）或y2=4x（0_x：
：
3））;
2
y=2x）；（答
2
（答：
y=16x）；
（答：
双曲线的一支）；
（答:
x2y2
=a|y|）;（答：
21y=2x1（|x|违））;
（答：
x2=2y-2）
（答：
（1）
略；
（2）x2y2
=a2;（3）当-a
c
b2
时不存在；当—_a时存在，此时/F1MF=2）
c
升级会员 