高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案.docx

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高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案

高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案

学案36　基本不等式及其应用

导学目标：

1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．自主梳理

1．基本不等式ab≤a＋b2

（1）基本不等式成立的条：

____________

（2）等号成立的条：

当且仅当________时取等号．

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥________（a，b∈R）．

（2）ba＋ab≥____（a，b同号）．

（3）ab≤a＋b22（a，b∈R）．

（4）a＋b22____a2＋b22

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：

________________________________________________

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，>0，则

（1）如果积x是定值p，那么当且仅当________时，x＋有最____值是________（简记：

积定和最小）．

（2）如果和x＋是定值p，那么当且仅当________时，x有最____值是__________（简记：

和定积最大）．

自我检测

1．“a>b>0”是“ab<a2＋b22”的（　　）

A．充分而不必要条B．必要而不充分条

．充要条D．既不充分也不必要条

2．（2011•南平月考）已知函数f（x）＝12x，a、b∈（0，＋∞），A＝fa＋b2，B＝f（ab），＝f2aba＋b，则A、B、的大小关系是（　　）

A．A≤B≤B．A≤≤B

．B≤≤AD．≤B≤A

3．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）

A．＝x＋4x

B．＝sinx＋4sinx（0<x<π）

．＝ex＋4e－x

D．＝lg3x＋lgx81

4．（2011•大连月考）设函数f（x）＝2x＋1x－1（x<0），则f（x）有最________值为________．

．（2010•东）若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．探究点一　利用基本不等式求最值

例1　

（1）已知x>0，>0，且1x＋9＝1，求x＋的最小值；

（2）已知x<4，求函数＝4x－2＋14x－的最大值；

（3）若x，∈（0，＋∞）且2x＋8－x＝0，求x＋的最小值．

变式迁移1　（2011•重庆）已知a>0，b>0，a＋b＝2，则＝1a＋4b的最小值是（　　）

A72B．4

92D．

探究点二　基本不等式在证明不等式中的应用

例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

（1＋1a）（1＋1b）≥9

变式迁移2　已知x>0，>0，z>0

求证：

x＋zxx＋zxz＋z≥8

探究点三　基本不等式的实际应用

例3　（2011•镇江模拟）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为60＋48x（单位：

元）．

（1）写出楼房平均综合费用关于建造层数x的函数关系式；

（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？

最少值是多少？

（注：

平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）

变式迁移3　（2011•广州月考）某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每化妆品的售价定为其生产成本的10%与平均每促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

（1）将2012年的利润（万元）表示为促销费t（万元）的函数．

（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：

利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用）

1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条是ab>0，即a，b同号．

2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．

3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数＝ax＋bx，当a>0，b<0时，函数在（－∞，0），（0，＋∞）上是增函数；当a<0，b>0时，函数在（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数；当a>0，b>0时函数在－ba，0，0，ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：

＝－－ax＋－bx解决最值问题．

（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为（　　）

A．8B．4．1D14

2．（2011•鞍月考）已知不等式（x＋）1x＋a≥9对任意正实数x，恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

A．2B．4．6D．8

3．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是（　　）

A．2B．22．4D．

4．一批货物随17列货车从A市以a/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202，那么这批货物全部运到B市，最快需要（　　）

A．6hB．8h．10hD．12h

．（2011•宁波月考）设x，满足约束条3x－－6≤0x－＋2≥0x≥0，≥0，若目标函数z＝ax＋b（a>0，b>0）的最大值为12，则2a＋3b的最小值为（　　）

A26B83113D．4

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010•浙江）若正实数x，满足2x＋＋6＝x，则x的最小值是________．

7．（2011•江苏）在平面直角坐标系x中，过坐标原点的一条直线与函数f（x）＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

8．已知f（x）＝32x－（＋1）3x＋2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则的取值范围为__________________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）

（1）已知0<x<43，求x（4－3x）的最大值；

（2）点（x，）在直线x＋2＝3上移动，求2x＋4的最小值．

10．（12分）（2011•长沙月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系＝920vv2＋3v＋1600（v>0）．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？

最大车流量为多少？

（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

11．（14分）某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为003元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400千克不需要保管）．

（1）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用1关于x的函数关系式；

（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用最小，并求出这个最小值．

学案36　基本不等式及其应用

自主梳理

1．

（1）a>0，b>0　

（2）a＝b　2

（1）2ab　

（2）2　（4）≤

3a＋b2　ab　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数　4

（1）x＝　小　2p　

（2）x＝　大　p24

自我检测

1．A　2A　3

4．大　－22－1　[1，＋∞）

堂活动区

例1　解题导引　基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式（一般是凑和或积为定值的形式），构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条．

解　

（1）∵x>0，>0，1x＋9＝1，

∴x＋＝（x＋）1x＋9

＝x＋9x＋10≥6＋10＝16

当且仅当x＝9x时，上式等号成立，又1x＋9＝1，

∴x＝4，＝12时，（x＋）in＝16

（2）∵x<4，∴－4x>0

＝4x－2＋14x－＝－－4x＋1－4x＋3

≤－2－4x•1－4x＋3＝1，

当且仅当－4x＝1－4x，

即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ax＝1

（3）由2x＋8－x＝0，得2x＋8＝x，

∴2＋8x＝1

∴x＋＝（x＋）8x＋2＝10＋8x＋2x

＝10＋24x＋x

≥10＋2×2×4x•x＝18，

当且仅当4x＝x，即x＝2时取等号．

又2x＋8－x＝0，∴x＝12，＝6

∴当x＝12，＝6时，x＋取最小值18

变式迁移1　　[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1

∴1a＋4b＝（1a＋4b）（a＋b2）＝2＋（2ab＋b2a）≥2＋22ab•b2a＝92（当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立），故＝1a＋4b的最小值为92]

例2　解题导引　“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．

在不等式证明时，列出等号成立的条不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．

证明　方法一　因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba

同理1＋1b＝2＋ab

所以（1＋1a）（1＋1b）＝（2＋ba）（2＋ab）

＝＋2（ba＋ab）≥＋4＝9

所以（1＋1a）（1＋1b）≥9（当且仅当a＝b＝12时等号成立）．

方法二　（1＋1a）（1＋1b）＝1＋1a＋1b＋1ab

＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，

因为a，b为正数，a＋b＝1，

所以ab≤（a＋b2）2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，

因此（1＋1a）（1＋1b）≥1＋8＝9（当且仅当a＝b＝12时等号成立）．

变式迁移2　证明　∵x>0，>0，z>0，

∴x＋zx≥2zx>0，

x＋z≥2xz>0，

xz＋z≥2xz>0

∴x＋zxx＋zxz＋z

≥8z•xz•xxz＝8

当且仅当x＝＝z时等号成立．

所以（x＋zx）（x＋z）（xz＋z）≥8

例3　解题导引　1用基本不等式解应用题的思维程序为：

由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论

2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

（1）先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；（3）在定义域内求函数最值；（4）正确写出答案．

解　

（1）依题意得

＝（60＋48x）＋2160×100002000x

＝60＋48x＋10800x（x≥10，x∈N*）．

（2）∵x>0，∴48x＋10800x

≥248×10800＝1440，

当且仅当48x＝10800x，即x＝1时取到“＝”，

此时，平均综合费用的最小值为60＋1440＝2000（元）．

答　当该楼房建造1层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．

变式迁移3　解　

（1）由题意可设3－x＝t＋1，

将t＝0，x＝1代入，得＝2∴x＝3－2t＋1

当年生产x万时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3

当销售x（万）时，年销售收入为

10%323－2t＋1＋3＋12t

由题意，生产x万化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润＝－t2＋98t＋32t＋1（t≥0）．

（2）＝－t2＋98t＋32t＋1＝0－t＋12＋32t＋1

≤0－2t＋12×32t＋1＝0－216＝42（万元），

当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，ax＝42，

∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．

后练习区

1．B　[因为3a•3b＝3，所以a＋b＝1，

1a＋1b＝（a＋b）1a＋1b＝2＋ba＋ab

≥2＋2ba•ab＝4，当且仅当ba＝ab即a＝b＝12时，“＝”成立．]

2．B　[不等式（x＋）1x＋a≥9对任意正实数x，恒成立，则1＋a＋x＋ax≥a＋2a＋1≥9，

∴a≥2或a≤－4（舍去）．

∴正实数a的最小值为4]

3．　[因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab

＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b且1ab＝ab，

即a＝b＝1时，取“＝”号．]

4．B　[第一列货车到达B市的时间为400ah，由于两列货车的间距不得小于a202，所以第17列货车到达时间为400a＋16•a202a＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400，即a＝100/h时成立，所以最快需要8h．]

．A

6．18

解析　由x>0，>0,2x＋＋6＝x，得

x≥22x＋6（当且仅当2x＝时，取“＝”），

即（x）2－22x－6≥0，

∴（x－32）•（x＋2）≥0

又∵x>0，∴x≥32，即x≥18

故x的最小值为18

7．4

解析　过原点的直线与f（x）＝2x交于P、Q两点，则直线的斜率>0，设直线方程为＝x，由＝x，＝2x，得x＝2，＝2或x＝－2，＝－2，

∴P（2，2），Q（－2，－2）或P（－2，－2），Q（2，2）．

∴|PQ|＝2＋22＋2＋22

＝22＋1≥4

8．（－∞，22－1）

解析　由f（x）>0得32x－（＋1）•3x＋2>0，解得＋1<3x＋23x，而3x＋23x≥22，∴＋1<22，<22－1

9．解　

（1）∵0<x<43，∴0<3x<4

∴x（4－3x）＝13（3x）（4－3x）≤133x＋4－3x22＝43，（4分）

当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，“＝”成立．

∴当x＝23时，x（4－3x）的最大值为43（6分）

（2）已知点（x，）在直线x＋2＝3上移动，∴x＋2＝3

∴2x＋4≥22x4＝22x＋2＝223＝42

（10分）

当且仅当2x＝4，x＋2＝3，即x＝32，＝34时，“＝”成立．

∴当x＝32，＝34时，2x＋4的最小值为42

（12分）

10．解　

（1）＝920vv2＋3v＋1600＝920v＋1600v＋3≤

9202v×1600v＋3＝92083≈1108（4分）

当v＝1600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为1108千辆/小时（6分）

（2）据题意有920vv2＋3v＋1600≥10，（8分）

化简得v2－89v＋1600≤0，即（v－2）（v－64）≤0，

所以2≤v≤64

所以汽车的平均速度应控制在[2,64]这个范围内．

（12分）

11．解　

（1）每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400千克原材料需保管（x－1）天．

∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用

1＝400×003×[1＋2＋3＋…＋（x－1）]

＝6x2－6x（6分）

（2）由

（1）可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1×400x，

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为

＝1x（6x2－6x＋600）＋1×400＝600x＋6x＋94（9分）

∴≥2600x•6x＋94＝714，（12分）

当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取等号．

∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最小，且最小为714元．（14分）