菱形证明专题训练.docx
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菱形证明专题训练
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乐学教育菱形证明专题训练
1.已知：
如图，在四边形ABCD^,AB//CDE,F为对角线AC上两点，且AE=CFDF//BEAC平分
/BAD求证:
四边形ABCD为菱形.
【答案】•/AB//CD
•••/BAE=/DCF.
•••DF//BE
•••/BEF=ZDFE
•••/AE^ZCFD.
又•••AE=CF
•••△AEB^ZCFD
•AB=CD.
•/AB//CD
•四边形ABCDi平行四边形
•/AC平分ZBAD
•ZBAE=ZDAF.
又ZBAE=ZDCF
•ZDAf=ZDCF
•••At=CD
•••四边形ABC［是菱形.
2.如图，矩形ABC［中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接
BF交AC于点M连接DEB0若/COB6Q°,FO=FC
求证:
（1）四边形EBFD是菱形；
【答案】连接0D•••点0为矩形ABC啲对角线AC的中点,
•B,D,0三点共线且BD=D0=COA0
在矩形ABCDKAB//DCAB=DC:
丄FC0/EA0
在厶CFC^AEC中,
•••△CF0^AE0「・F0=E0
又•••B0=DQ•四边形BEFD是平行四边形.
•/BGC0/C0B6Q°,
•△C0B是等边三角形.0CB6Q°.
•••/FC（=ZDCB/0CB3Q°.
•/F0=FC,•••/F0（=ZFC03Q°.
•••/F0B=/F0CZC0B9Q°.
•EFLBD•平行四边形EBFD是菱形.
⑵MB：
0E=3:
2.
【答案】•/B（=BC•••点B在线段0Q的垂直平分线上.
•••FOFC,•••点F在线段0C的垂直平分线上.
•BF是线段0C的垂直平分线.
•••/FMO/OMB90°.
•••/OBIM300.•OF=BF
•••/FOC30°,「.FMfOF
•BMBHMF=2OFOF=OF
即FO=EQ•BMOE=3:
2.
3.如图，在厶ABC中,/ABC90。
，BD为AC边上的中线，过点C作CELBD于点E过点A作BD
的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取F（=BD连接BGDF求证：
四边形BGFD
是菱形.
【答案】•/FG//BDBD=FG•四边形BGFD是平行四边形
•/CFLBDAG/BD•-CF!
AG又AB（=90°,点D是AC的中点，•BD=DF=AC
•••平行四边形BGFD是菱形.
4.如图，点0是菱形ABCD寸角线的交点，DE//ACCE//BD连接0E
求证：
OE=BC
【答案】•••DE//ACCEBD
•四边形OCE是平行四边形.
•••四边形ABCDI菱形，
•ACLBDOB=OD
•••/BOC/COD90°,
•四边形OCE是矩形，
•••/ODE90°,•/OB=OD/BOC/OD=90°,
•BC=,OE=,
•••DE=OC
•O匡BC
5.[2015•兰州中考，25]（9分）如图,四边形ABCD中,AB//CtDAB^CDBD=AC.
（1）求证:
AD=BC
【答案】作BM/ACBM交DC的延长线于点M则/ACD==BMD.1分
•/AB//CDBM/AC
•••四边形ABM为平行四边形.2分
•••AC=BM.
•/BD=AC「・BM=BD.
•••/BDMMBMD.
•••/BDChACD.在厶BDC^ACC中,
•••△BDC^AACD.4分
•BC=AD.5分
（2）若E,F,GH分别是ABCDACBD的中点.求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分
【答案】连接EGGFFHHE.6分
•••E,H为ABBD的中点，•EH=AD.
同理FG=ADEG=B,CFH=BC.
•/BC=AD「.EG=FG=FH=EH.8分
•••四边形EGFI为菱形，
•••EF与GH互相垂直平分.9分
6.[2015•长春中考,18]（7分）如图，CE>^ABC外角/ACD勺平分线,AF//CD交CE于点
F,FG//AC交CD于点G求证：
四边形ACGF1菱形.
【答案】因为AF//CDFG/AC
所以四边形ACGF1平行四边形①，
又因为/ACENECG/ECGEAFC
所以/ACENAFC所以AC=A②，
由①②得四边形ACGF1菱形.
7.[2010•上海中考，23]已知梯形ABCDKAd/BCAB=AD如图所示），/BAD的平分线
AE交BC于点E,连结DE
BC
（1）在图中，用尺规作/BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是
菱形；
【答案】
•••/BAE=ZDAE
/DAE=ZBEA
•••/BAE=ZBEAAB=BE=AD
AD//BE•四边形ABED勺平行四边形，又AB=AD
•四边形ABED^菱形
⑵/ABC=60°,EC=2BE求证：
EDLDC
【答案】过D作DF//AE则DF=CF=1,
•••/C=30°,而/DEC=60°,
•••/EDC=90°,「.EDLDC
8.[2010•沈阳中考，19]如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD相交于O点E,F分别为边
ABAD的中点，连接EF,OEOF求证：
四边形AEOF1菱形.
【答案】•••点E,F分别为AB,AD的中点
•••AE=ABAF=AD2分）
又•••四边形ABC毘菱形
•AB=AD
•••AE=AF（4分）
又•••菱形ABCD勺对角线AC与BD相交于点0
•0为BD的中点
•0E0尸是厶ABD的中位线（6分）
•0曰ADOF/AB
•四边形AEO是平行四边形（8分）
•••AE=AF
•四边形AEO是菱形（10分）
9.[2010•安徽中考，20]如图，AD/FE,点BC在AD上，/1=72,BF=BC
（1）求证：
四边形BCEF是菱形；
【答案】•/AD//FE•/FEB=72.
•••/1=72,「.7FEB=Z1.
•BF=EF
•••BF=BC•BC=EF
•四边形BCEFi平行四边形
•/BF=BC
•四边形BCEFi菱形（5分）
⑵若AB=BC=CD求证：
△ACF^ABDE
【答案】TEF=BCAB=BC=CDAD/FE,
•••四边形ABEF四边形CDEF均为平行四边形，•••AF=BEFC=ED（8分）
又•••AC=2BC=BD（9分）
•△ACF^ABDE（10分）
10.[2013•长沙中考，24]如图，在？
ABC曲,MN分别是ADBC的中点，/AND=
90°,连接CM交DN于点Q
（1）求证：
△ABN^ACDIM
【答案】I/ABN=ZCDMAB^CD
BN=BC=AD=DM
•△ABNPACDMSAS）.
⑵过点C作CE!
MN于点E,交DN于点P,若PE=1,/1=/2,求AN的长.
【答案】•/MO分别为ADND的中点，
•AIN/MO且AN=2MO
•••/MOBZAND90°,即平行四边形CDM是菱形，
在Rt△MODIRt△NEC中,
•••/1=Z2,MD=NC•Rt△MO修Rt△NEC
•MDNE
根据菱形的性质可知，/MNDZCND/1=ZCND所以/MND/CNDZ2=30°，所
以在Rt△ENP中NE=PE-tan30°=,
即AN=2.
11.如图，在厶ABC中,/A=90°,AHLBC于点H/B的平分线交AC于点D交AH于点
EDFLBC于点F,求证：
四边形AEFD是菱形.
【答案】I/ABDNFBDBD=BDZBAD三DFB=0°,
•△ABD^AFBD•-AD=DFAB=FB.
又/ABE/FBEBE=BE
•△ABE^AFBE.
•••/BAE/BFE.
又/BAE：
90°-/ABC/C,
•••/BFE=/C,•EF//AD.
•••DHBC,AHLBC,•••AE//DF.
•••四边形AEFD是平行四边形.
又AD=DF「.四边形AEFD是菱形.
12.[2012•南宁中考，25]如图，已知矩形纸片ABCDAD=2,AB=4,将纸片折叠，使顶点A与边
CD上的点E重合，折痕FG分别与ABCD交于点G,F,AE与FG交于点O
（1）如图1,求证：
AGE,F四点围成的四边形是菱形;
【答案】证法
证明：
在矩形ABCD中,CD/AB
由折叠可知：
AG=EG/1=Z2
•/2=Z3
•EF=EG2分）
•EF=AG
•四边形AGE是菱形（3分）
证法二：
证明：
连接AF,由折叠可知
OAOEAG=EG1分）
在矩形ABCD^,AB//CD
•••/AEF^ZEAG
•••/AOG=/EOF
•△AOQAEOfASA（2分）
•AG=EF
•四边形AGEF!
菱形（3分）
⑵如图2,当厶AED勺外接圆与BC相切于点N时，求证，点N是线段BC的中点;
【答案】证明：
连接ONO是Rt△ADE外接圆圆心•
TOO与BC相切于点N
•ONLBQ4分）
在矩形ABCD^,DCLBCA吐BC
•CD/ON/AB
•=（5分）
•/OA=OE•••CN=NB
即N为BC的中点（6分）
⑶如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.
【答案】解法一：
过点0作OMLAB于点M则四边形OMB是矩形
设OO半径为X,则OA0E=0N=x（7分）
•/AB=4,AD=2•AM=4—x
由第2问得,NB=OMk1
222
在Rt△AOM中,0A=AM+OM
222八
•x=（4—x）+1•x=（8分）
AM=4—=
•••/FEO=ZOAM
又•••/FOE=ZOM=90
•Rt△EF3Rt△AOM
••=•=（9分）
OF=二FG=20F=（10分）
解法
延长NO交AD于点M
•••四边形ABNI是矩形
二AM=BN=AD=1
•/O为Rt△ADE外接圆圆心
•OA=OE=ON
设ON为x,则OM=4—x（7分）
222
在Rt△AMO^,AM+OM=OA
222
即1+（4—x）=x
x=（8分）
OMb4—=
•/FGLAEMN/DC/-ZFEO=ZMOA/AM=ZEO=90°
•••△EOF^AOMA
/•=/•=（9分）
•OF=FG=2OF=（10分）
13.[2013•葫芦岛中考，20]（本小题满分8分）
如图，四边形ABC呼,AD/BCBALADBC=DC3E!
CD于点E.
（1）求证：
△ABD^AEBD
【答案】如图,
•/AD/BC
•••Zl=ZDBC.
•/BC=DCZ2=ZDBC.
/•Z1=Z2.2分
又•••/BADhBED=O°,
BD=BJD/.^ABD^EBD.4分
⑵过点E作EF//DA交BD于点F,连接AF.求证：
四边形AFED是菱形.
【答案】由第1问得，AD=EDZ1=Z2.
•「EF//DA二/1=Z3,a/2=Z3.
•••EF=ED.5分
•••EF=AD.6分
•四边形AFED是平行四边形.
又•••AD=ED.
•四边形AFED是菱形.8分
14.[2013•贵阳中考，20]
已知：
如图，在菱形ABCDKF为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E,连接
EC
⑴求证：
AE=EC
【答案】
证明：
连接AC
•••BD是菱形ABCD勺对角线,
•••BD垂直平分AC
•AE=EC
⑵当/ABC=60°,/CE&60°时，点F在线段BC上的什么位置说明理由
【答案】点F是线段BC的中点•
理由：
•••菱形ABCD中,AB=BC
又•••/ABC=60°.
•••△ABC是等边三角形，/BAC=60°.
•/AE=EC/CEF=60°,•/EAC=30°.
•人尸是厶ABC的角平分线.
•/AF交BC于点F,
•人尸是厶ABC的BC边上的中线
•••点F是线段BC的中点.
15.［2012•上海中考，23］已知：
如图，在菱形ABC［中，点EF分别在边BCCD上，/BAF=
/DAEAE与BD交于点G
（1）求证：
BE=DF；
【答案】•••四边形ABCD为菱形，
•AB=AD=BC=CD
/ABD=/ADB=/CBD=/CDB
/ABE=ZADF
•••/BAF=ZDAE
且/BAF=ZBAEFZEAF
/DAE=ZDAFbZEAF
•••/BAE=ZDAF
•••△ABE^AADFASA）.
•BE=DF
⑵当=时，求证：
四边形BEFG是平行四边形
【答案】在菱形ABCD^,ADBC
•••/DAE=ZBEA/ADB=ZEBD
•••△AGD^EGB
又•••=,BE=DF
•GF//BE
•••/DGF=ZDBC
•••/DBC=ZCDB
•••/DG—GDF
•••GF=DF,
•BE=GF
•BEGF
•四边形BEFG^平行四边形
16.[2013•乌鲁木齐中考，19]如图，在厶ABC中，/ACB=90°,CDLAB于D,AE平分/BAC分
别与BCCD交于E,F,EFUAB于H连接FH求证：
四边形CFHE^菱形.
ADHB
【答案】•/AE平分/BACCAE=ZEAH而/ACB=90°,CDLAB
•••/CEAFZCAE=ZAFDFZEAH=90°,又/APD=ZCFE
•••/CFE=ZCEF•CF=CE
又•••AE平分/BAC/AC申90°.EHLAB•-CE=EH
•CF=EH=CETCDLABEHLAB•CF//EH
•四边形CFHE!
菱形.
17.如图所示，在菱形ABCD中,CELAB于点ECF丄AD于点F,求证：
AE=AF.
【答案】证法1:
如图所示,连接AC
•••四边形ABCDI菱形，
•••AC平分/BAD即/BACMDAC.
在厶ACEmACF中,
/AECNAFC=0°,/BACNDACAC=ACAdACFAAS）,•AE=AF.
证法2:
•四边形ABCD1菱形，
•BC=DC=AD=,ABB=ZD.
又•••在△BCE^H^DCF中,/BECMDFC=0°,
•••△BCE^ADCFAAS）,•BE=DF「.AE=AF.
18.[2013•南宁中考，23]如图，在菱形ABCDKAC是对角线，点E,F分别是边BCAD
的中点.
AFD
REC
（1）求证：
△ABE^ACDF
【答案】在菱形ABC［中，AB=BC=CD=DA或AB=CDBC=DA・
/B=ZD
•••点E,F分别是边BCAD的中点，
•••BE=DF
•••△ABE^ACDF
⑵若/B=60°,AB=4，求线段AE的长.
【答案】解法一：
TAB=BC/B=60°,
•△ABC是等边三角形•
•••点E是BC边的中点•
•AELBC
在Rt△ABE中，sinB=.
•-AE=AB"sinB=4X=.解法二：
•••AB=BC/B=60°,•••△ABC是等边三角形.
•••点E是BC边的中点，•AE!
BC
•••/BAE=30°.
在Rt△ABE中，BE=AB^2.
•AE===
19.［2012•温州中考，19］（本题8分）
如图,△ABC中,/B=90°,AB=6cm,BC=8cm,将厶ABC沿射线BC方向平移10cm,得到
△DEFAB,C的对应点分别是DEF,连接AD求证：
四边形ACF［是菱形.
AD
【答案】法一：
I/B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
•AC=10cm.
由平移变换的性质得CF=AD=10cm,DF=AC
•AD-CF=AC=DF
•••四边形ACFD是菱形.
法二：
由平移变换的性质得AD//CF
AD^CF=10cm,
•四边形ACFD1平行四边形,
B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
•AC=10cm,
•AC=CF
•?
ACFD是菱形•20.[2011?
兰州中考，27]（本小题满分12分）
已知：
如图17所示的一张矩形纸片ABCDAD>AB，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F.分别连接AF和CE
（图17）
（1）求证：
四边形AFCE是菱形；
【答案】由题意可知OA=OCEF丄AO
BFC
〔第27题答图）
•••AD//BC•••/AEOZCFO/EAO=ZFCO
•••△AOHCOF•-AE=CF,又AE//CF
•四边形AECF是平行四边形（2分）
•••ACLEF,•四边形AECF是菱形.（4分）
2
⑵若AE=10cm△ABF的面积为24cm,求厶ABF的周长；
【答案】•••四边形AECF是菱形，
•AF=AE=10cm.
设AB=a,BF=b,
2,22
•/△ABF的面积为24cma+b=100,ab=48（6分）
2
（a+b）=196,a+b=14或a+b=—14（不合题意，舍去）（7分）
△ABF的周长为a+b+10=24cm（8分）
2
（3）在线段AC上是否存在一点P,使得2AE=ACAP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由•
【答案】存在，过点E作AD的垂线,交AC于点P，点P就是符合条件的点（9分）
证明：
•••/AEP=ZAOE=90°,/EA（=ZEAP
•••△AOE^AEP•=,
2
•••AE=AOAP（11分）
•••四边形AECF是菱形，
2
•AO=AC•AE=ACAR
2
•2AE=ACAR（12分）
21.[2013•营口中考，19]如图，△ABC中,AB=ACAD是厶AB—个外角的平分线,且
/BACMACD.
（1）求证：
△ABC^ACDA
【答案】•/AB=AC「./B=ZACB
又•••/FAC>AABC的一个外角,
•••/FACTB+ZACB
•••/FAC=ZACB2分
又•••AD是ZFAC的角平分线，•••/FAC=ZCAD
•ZACBZCAD3分
又•••AC=CAZBACZDCA
•••△ABC^ACDA4分
⑵若/ACB=0°,求证：
四边形ABCDI菱形.
【答案】•••/BACNACD
•AB/CD5分
又•••/ACBNCAD
•AD/BC.
•四边形ABCDI平行四边形.6分
•/AB=AC/ACB60°,
•等腰三角形ABC是等边三角形.7分
•AB=BC.
•四边形ABCDI菱形.8分
22.[2011?
宁波中考，23]（本小题满分8分）
如图13,在ABCD^,E,F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延
长线于点G
（图13）
⑴求证：
DE/BF
【答案】在ABCD^,AB//CDAB=CD
•/E,F分别为边ABCD的中点
•••DF=DCBE=AB
•DF//BEDF=B&2分）
•四边形DEBF为平行四边形（3分）
•DE/BF（4分）
⑵若/G=90°,求证：
四边形DEBF是菱形.
【答案】TAG/BD
•/G=ZDBC=90°
•△DBC为直角三角形（5分）
又•••F为边CD的中点
•••BF=DC=DE（7分）
又•••四边形DEBF为平行四边形
•四边形DEBF是菱形（8分）
23.[2013•黄冈中考，17]如图，四边形ABC毘菱形，对角线ACBD相交于点O,DHLAB
于H,连接OH,求证：
/DH8/DCO
【答案】四边形ABCD1菱形，
•OD=OB/COD=90°,
•••DHLAB于H,DHB=90°,
•••/OHB=ZOBH
又•AB//CDOBH=ZODC
•••/OHB=ZODC
在Rt△COD中,/ODC-ZOCD=90°,
在Rt△DHB中，/DHQ-ZOHB=90°,
•••/DHO=/DCO
24.[2013•锦州中考，20]如图，点O是菱形ABCD寸角线的交点，DE//ACCE//BED连接OE.
求证：
OE=BC.
【答案】IDE//ACCE//BD
•四边形OCE是平行四边形2分
又•••ACBD是菱形ABCD勺对角线
•ACLBD即/COD90°4分
•平行四边形OCEDI矩形6分
•OE=CD8分
又•••BC=CD9分
•OE=BC10分
（学生用其他方法证明，请参照评分标准酌情给分）
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