立体几何平行证明题.docx
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立体几何平行证明题
立体证明题
(2)
1•如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是正方形,AE=EBF为CE上的点,且BF丄
平面ACE
(1)求证:
AE丄平面BCE
(2)求二面角B-AC-E的余弦值.
2•等腰△ABC中,AC=BC=r,AB=2,E、F分别为ACBC的中点,将△EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥P-ABFE且AP=BP*.
(1)求证:
平面EFP1平面ABFE
(2)求二面角B-AP-E的大小.
02
PADL底面ABCD且
3•如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是正方形,侧面
PA=PD=2AD,若E、F分别为PCBD的中点.
(I)求证:
EF//平面PAD
4•如图:
正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且/
(1)求证:
AB丄CD
ABCD
BCD=90°,ZCBD=30°
5•如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PADL平面ABCD^PAD是等边三角形,四边形
(1)求证:
平面PADL平面PBD
是平行四边形,/ADC=120,AB=2AD
6•如图,在直三棱柱ABC-AiBQ中,/ACB=90°,AC=CB=CC2,E是AB中点.
(I)求证:
AB丄平面AiCE
(H)求直线AG与平面AiCE所成角的正弦值.
7•如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD/DAB为直角,AB//CD,AD=CD=2AB=2
E,F分别为PC,CD的中点.
(I)证明:
AB丄平面BEF;
(H)若PA=丄,求二面角E-BD-C.
8•如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足
AB丄AD,BC//AD且BC=4,点M为PC中点.
(1)求证:
DM丄平面PBC;
be
(2)若点E为BC边上的动点,且一一,是否存在实数人使得二面角P-DE-B的
EC
2
余弦值为-?
若存在,求出实数入的值;若不存在,请说明理由.
3
9•如图,ABED是长方形,平面ABEDL平面ABCAB=AC=5BC=BE=6且M是BC的中点
(I)求证:
AML平面BEC
(H)求三棱锥B-ACE的体积;
(川)若点Q是线段AD上的一点,且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.
(2)求二面角C-BE-D的余弦值.
£
D
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,/ADC=90°,平面PADL
底面ABCDO为AD中点,M是棱PC上的点,AD=2BC
(1)求证:
平面POBL平面PAD
12.如图,三棱柱ABC-ABC中,侧棱AA丄平面ABC△ABC为等腰直角三角形,/
BAC=90,且AB=AA,E、F分别是CC,BC的中点.
(1)求证:
平面ABF丄平面AEF;
(2)求二面角B1-AE-F的余弦值.
13.如图,在菱形ABCD中,/ABC=60°,AC与BD相交于点QAE丄平面ABCDCF/AE,
AB=AE=2
(I)求证:
BD丄平面ACFE
(II)当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B-EF-D的余弦角.
14.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,
ADLAF,AE=AD=2
(1)证明:
平面PADL平面ABFE
(2)求正四棱锥P-ABCD的高h,使得二面角C-AF-P的余弦值是二Ln
3
A
15.如图,已知斜三棱柱ABC一ABC,/BCA=90°,AC=BC=2A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA丄AC.
(I)求证:
AC丄平面AiBC;
(H)求二面角A-AiB-C的平面角的余弦值.
试卷答案
1.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.
【分析】
(1)由已知中直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是正方形,且BF丄平面ACE我们可以证得BF丄AECB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!
平面BCE
(2)连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义,可得/BGF是二面角B-AC-E的平面角,解Rt△BFG即可得到答案.
【解答】证明:
(1)vBF丄平面ACE
•••BF丄AE…
•••二面角D-AB-E为直二面角,且CBLAB,
•CB丄平面ABE
•CB丄AE…
•AE丄平面BCE…
解:
(2)连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,
•BG丄AC,BG=],…
•/BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGLAC
•ZBGF是二面角B-AC-E的平面角…
由
(1)AE!
平面BCE得AE!
EB,
•••AE=EBBE=■':
.
•在Rt△BCE中,EC=丨「!
讦’=.:
,,…
由等面积法求得挖斗―:
则酹-B严
•在Rt△BFG中,
G0S^DUrGB<23
故二面角B-AC-E的余弦值为出.…
2.
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)用分析法找思路,用综合法证明•取EF中点0,连接OROC等腰三角形
CEF中有COLEF,即卩ORLEF.根据两平面垂直的性质定理,平面PEF和平面ABFE的交线
是EF,且POLEF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可
利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE
(2)根据第一问分析空间位置关系,可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法
向量的所成角,利用向量角和二面角关系,确定二面角大小.
【解答】解:
(1)证明:
在厶ABC中,D为AB中点,0为EF中点.
由AC=BC='.,AB=2
•••E、F分别为ACBC的中点,
•••EF为中位线,得C0=0D=1COLEF
•••四棱锥P—ABFE中,POLEF,…2分
•••OC丄AB,AD=OD=1•AO=?
又AP=.';,OP=1,
•四棱锥P-ABFE中,有AF^aO+oP,即卩OPLAQ…4分
又AOHEF=QEF、AO?
平面ABFE
•OP丄平面ABFE…5分
又OF?
平面EFP,
•平面EFP!
平面ABFE…6分
(2)由
(1)知ODOF,OP两两垂直,以0为原点,建立空间直角坐标系(如图):
则A(1,-1,0),B(1,1,0),E(0,」专,0),P(0,0,1)-7分
二恥二°,-心,帚(1,T,-1)',
设矗仗,丹以,1=(/,)分别为平面AEP平面ABP的一个法向量,
X■
厂
1八
EA_Lm
_-?
■FAlm
K■
-y-z=Q
取x=1,得y=2,z=-1
则
同理可得n-
由于m・n=lXl+2X0+(-1)X!
=0,
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】证明题.
【分析】对于(I),要证EF//平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可,而E、F分别为PCBD的中点,所以连接AC,EF为中位线,从而得证;
对于(H)要证明EF丄平面PDQ由第一问的结论,EF/PA只需证PA!
平面PDC即可,
V2
已知PA=PD=_AD,可得PA丄PD,只需再证明PA丄CD,而这需要再证明CDL平面
PAD
由于ABCD是正方形,面PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明,从而得证.
£
0e
【解答】证明:
(I)连接AC则F是AC的中点,在△CPA中,EF//PA(3分)
且PA?
平面PADEF?
平面PAD
•••EF//平面PAD(6分)
(H)因为平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=AD
又CDLAD所以CDL平面PAD
•CD丄PA(9分)
42
又PA=PD=一AD,
2
所以△PAD是等腰直角三角形,且/
即PA丄PD(12分)
而CDAPD=D
•PA丄平面PDC又EF//PA所以EF丄平面PDC(14分)
【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定,而其中的转化思想的应用值得注意,将线面平行转化为线线平行;证明线面垂直,转化为线线垂直,在证明线线垂直时,往往还要通过线面垂直来进行.
4.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】
(1)利用平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利
用线面垂直的性质,可得DCLAB;
(2)过C作CE!
AB于E,连接ED,可证/CED是二面角D-AB-C的平面角.设CD=a则
【解答】
(1)证明:
TDCLBC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC
•DC丄平面ABC
又AB?
平面ABC
•DCLAB.…
(2)解:
过C作CELAB于E,连接ED,
•/AB丄CDAB丄EC,CDHEC=C•••AB丄平面ECD
又DE?
平面ECD•-AB丄ED,
•••/CED是二面角D-AB-C的平面角,
设CD=a则BC=一「」,
tan30
•••△ABC是正三角形,
•EM®60-厉
DC
a
2
在Rt△DEC中,tan/DEC=
"3a"
2
"3
5.
【考点】MT二面角的平面角及求法;LY:
平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)令AD=1,求出BD=■:
从而AD±BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面
PADL平面PBD
(2)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值.
【解答】证明:
(1)在平行四边形ABCD中,令AD=1,
则BD=»一,|-■口「:
,心r=.;,
在厶ABD中,AD+B[i=AB,•AD丄BD
又平面PADL平面ABCD
•BD丄平面PADBD?
平面PBD
•平面PADL平面PBD
解:
(2)由
(1)得AD丄BD,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,
过D作垂直于平面ABCD勺直线为z轴,建立空间直角坐标系,
令AD=1,则A(1,0,0),B(0,.;,0),C(-1,:
;,0),P(丄,0,..),
由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角,
面角A-PB-C的余弦值为-上
5
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
【分析】(I)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,可知CC丄AC,CC丄BC/ACB=9°,ACL
BC建立空间直角坐标系C-xyz.则A,B1,E,A,可得,AB[,ES,匚织可知,根据CE二0,CA]二0,推断出AB丄CEAB丄CA,根据线面垂直的判定
定理可知AB丄平面ACE
(H)由(I)知’」!
是平面AQE的法向量,「严.一—一'二■,,进而利用向量数量积求得直线AC与平面ACE所成角的正弦值
【解答】(I)证明:
TABC-AB0是直三棱柱,
•••CC!
AC,CC!
BC,
又/ACB=9°,
即ACLBC
如图所示,建立空间直角坐标系C-xyz.A(2,°,°),B1(°,2,2),E(1,1,0),
A(2,0,2),
•••Re;二(-2,2・2),爲=,q),CA;二②0,2)
又因为AB[・CE>0,AB[・CA]二Q,
•AB丄CEAB丄CA,AB丄平面AiCE
•|cos
设直线
1
1cd
AB;
3
AQ与平面ACE所成的角为B,则
73
—
3
所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为
7.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
(n)以
A为原点,以AB,ADAP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系,
求出平面
CDB的法向量为□[二心OpD,
平面EDB的法向量为■■
设二面角
E-BD-C的大小为0,则
COS6—1COS^--F7jpn.AI—■
【解答】解:
(1)证:
由已知DF//AB且/DAB为直角,故ABFD是矩形,
从而AB丄BF.
又PA丄底面ABCD二平面PADL平面ABCD
•/AB丄AD,故AB丄平面PAD•AB丄PD
在厶PCD内,E、F分别是PCCD的中点,EF//PD,•AB丄EF.
由此得AB丄平面BEF…
(n)以A为原点,以AB,ADAP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系,
则BD=(-1,齧陽乔®I李)
设平面CDB的法向量为石二00.1),平面EDB的法向量为匹二(富7-2),
口2"BD=O
-‘*—r
:
齢戈尸0
可取
n2=(2,lr
n2*BE=O
1^=°
则
设二面角E-BD-C的大小为B,则
cos6二18吕<“],n2
Vs
l^Vio
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】
(1)取PB中点N,连结MN,AN•由三角形中位线定理可得四边形ADMN为
平行四边形•由AP丄AD,AB丄AD,由线面垂直的判定可得AD丄平面PAB•进一步得到AN丄MN.再由AP=AB,得AN丄PB,贝UAN丄平面PBC.又AN//DM,得DM丄平
面PBC;
•/M是PC中点,•MN//BC,MN=£bC=2.
又•••BC//AD,AD=2,
•••MN//AD,MN=AD,•••四边形ADMN为平行四边形.
•/AP丄AD,AB丄AD,APAAB=A,
•AD丄平面PAB.
•/AN?
平面PAB,•AD丄AN,贝AN丄MN.
•/AP=AB,•AN丄PB,又MNAPB=N,•AN丄平面PBC.
•/AN//DM,•••DM丄平面PBC;
(2)解:
存在符合条件的入以A为原点,「■方向为x轴的正方向,頁]方向为y轴的正方向,方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设E(2,t,0)(OWt制4,P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0),
则一,正二—•:
.
故其一个法向量为'=(0,0,1),
nrn2
解得t=3或t=1,
•入=3或入
9.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(I)推导出BE丄AMBC丄AM由此能证明AML平面BEC
(H)由Vac=Ve—abc,能求出三棱锥B-ACE的体积.
(川)在平面QEC内作QNLECQN交CE于点NQN与AM共面,设该平面为a,推导出四边形AMN健平行四方形,由此能求出AQ
【解答】证明:
(I):
平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=AB
BE!
AB,BE?
平面ABED
•••BE丄平面ABC又AM?
平面ABC二BEXAM又AB=AQM是BC的中点,•BC丄AM又BOABE=BBC?
平面BECBE?
平面BEC
•AM!
平面BEC
解:
(n)由(I)知,BE丄平面ABC•-h=BE=6
在Rt△ABM中,f,-叮-1,
X12X6二24
又3iASC^-XBCXAfflux6X2
VB-ACE-“E-JiBC亏XSAAECX
(川)在平面QEC内作QN丄ECQN交CE于点N
•••平面QECL平面BEC平面QE6平面BEC-EC
•QN!
平面BEC又AML平面BEC•QN/AM
•QN与AM共面,设该平面为a,•/ABED是长方形,•AQ//BE
又Q?
平面BECBE?
平面BEC•AQ//平面BEC
又AC?
a,aA平面BEC=MN•AQ//MN又QN/AM
•四边形AMNd平行四方形.•AQ=MN
•/AQ//BE,AQ//MN•MIN/BE,又M是BC的中点.•二3,
•AQ=MN=,3
10.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理即可证明EA丄平面EBC
(2)求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
【解答】
(1)•••平面ABE!
平面ABCD且AB丄BC,
•BC丄平面ABE
•/EA?
平面ABE•EALBC,
•/EALEB,EBABC=B
•EA丄平面EBC
(2)取AB中0,连接EQDO•/EB=EA二EQLAB.
•••平面ABEL平面ABCD
•••EO丄平面ABCD•/AB=2CDAB//CD,AB丄BC,
•DOLAB,
建立如图的空间直角坐标系O-xyz如图:
设CD=1,则A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),E(0,
由
(1)得平面EBC的法向量为.=(0,1,-1),
m*BE=0
设x=1,则y=—1,z=1,则
=(1,—1,1),
则|cosV
IT,
|EApm
=戈]
lEAlIml
i[
故二面角C-BE-D的余弦值是二
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】
(1)证明四边形BCDQ1平行四边形,得出OBLAD再证明BOL平面PAD从而证明平面POBL平面PAD
円[
(2)解法一:
由征■二1,M为PC中点,证明N是AC的中点,MIN/PAPA//平面BMO
口|[
解法二:
由PA//平面BMO证明N是AC的中点,M是PC的中点,得匚丄二.
【解答】解:
(1)证明:
TAD//BC,BG令疝,O为AD的中点,
•四边形BCDO^平行四边形,
•••CD//BQ
又•••/ADC=90,
•••/AOB=90,即OBLAD
又•••平面PADL平面ABCD且平面PADA平面ABCD=A,
•BO丄平面PAD
又:
BO?
平面POB
•平面POBL平面PAD
(2)解法一:
農二:
L,即M为PC中点,以下证明:
Ml
连结AC,交BO于N连结MN
•/AD//BC,O为AD中点,AD=2BC
•N是AC的中点,
又点M是棱PC的中点,•MN/PA
•/PA?
平面BMOMN平面BMO
•PA//平面BMO
解法二:
连接AC,交BO于N,连结MN
•/PA//平面BMO平面BMOA平面PAC=MN
•PA//MN
又•••AD//BCO为AD中点,AD=2BC
•N是AC的中点,
•M是PC的中点,则器二:
L
12.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)连结AF,由已知条件推导出面ABCL面BBCC,从而AF丄BiF,由勾股定理得BF丄EF.由此能证明平面ABF丄平面AEF
(2)以F为坐标原点,FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系,利用向量法能求出二面角
B-AE-F的余弦值.
【解答】
(1)证明:
连结AF,vF是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点,
•AFLBC.
又•.•三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
•面ABCL面BBCC,
•AF丄面BBGC,AFLBF.…
衍酹+盼◎•••BiF丄EF.
又AFnEF=F,•BF丄平面AEF.
而BiF?
面ABF,故:
平面ABF丄平面AEF.
(2)解:
以F为坐标原点,FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系如图,
设AB=AA=1,
1)
则F(0,0,0),A(!
0i0),
(—
由
(1)知,BF丄平面AEF,取平面AEF的法向量:
:
1-I=(0,
设平面BiAE的法向量为丘=(氛齐Z),
取x=3,得T,2^2).
由
设二面角Bi-AE-F的大小为0,
贝Ucos0=|cosv
|=.
由图可知0为锐角,
Bi-AE-F的余弦值为
•所求二面角
13.
【考点】MT二面角的平面角及求法;LW直线与平面垂直的判定.
【分析】(I)只需证明DB丄AC,BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE
(II)取EF的中点为M以0为坐标原点,以0A为x轴,以0B为y轴,以0M为z
轴,建立空间直角坐标系,则■/=):
D(0,-.;0),F(-1,0,h),E
(1,0,2,则二]、;.):
,一「1../,利用向量法求解
【解答】(I)证明:
在菱形ABCD中,可得DB丄AC,
又因为AE!
平面ABCD-BDLAE,
且AEnAC=ABD丄平面ACFE
(II)解:
取EF的中点为M以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,以OM为z
轴,建立空间直角坐标系,
则|:
口寸0门,,D(0,--.,0),F(-1,0,h),E(1,0,2),则
DB=(OS2阿0),DE=C1,2),
乔(占0.1)1,
故F(-1,0,3),;厂.-./<.•;,J•,设平面BFE的法向量为
,可取■■:
--・1‘,
巴・BE二曰飞垢b十k二0n2・BF"-a-'/sb+3c=0
吓」工■/;
'■_5-;-3设平面DFE的法向量为'-一
口$*