立体几何平行证明题.docx

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立体几何平行证明题

立体证明题

（2）

1•如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE=EBF为CE上的点，且BF丄

平面ACE

（1）求证：

AE丄平面BCE

（2）求二面角B-AC-E的余弦值.

2•等腰△ABC中,AC=BC=r,AB=2,E、F分别为ACBC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥P-ABFE且AP=BP*.

（1）求证：

平面EFP1平面ABFE

（2）求二面角B-AP-E的大小.

PADL底面ABCD且

3•如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面

PA=PD=2AD,若E、F分别为PCBD的中点.

（I）求证：

EF//平面PAD

4•如图：

正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且/

（1）求证：

AB丄CD

ABCD

BCD=90°,ZCBD=30°

5•如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PADL平面ABCD^PAD是等边三角形，四边形

（1）求证：

平面PADL平面PBD

是平行四边形，/ADC=120,AB=2AD

6•如图，在直三棱柱ABC-AiBQ中，/ACB=90°,AC=CB=CC2,E是AB中点.

（I）求证：

AB丄平面AiCE

（H）求直线AG与平面AiCE所成角的正弦值.

7•如图，在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD/DAB为直角，AB//CD,AD=CD=2AB=2

E,F分别为PC,CD的中点.

（I）证明：

AB丄平面BEF;

（H）若PA=丄，求二面角E-BD-C.

8•如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足

AB丄AD,BC//AD且BC=4，点M为PC中点.

（1）求证：

DM丄平面PBC；

（2）若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角P-DE-B的

余弦值为-?

若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.

9•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABCAB=AC=5BC=BE=6且M是BC的中点

（I）求证：

AML平面BEC

（H）求三棱锥B-ACE的体积；

（川）若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.

（2）求二面角C-BE-D的余弦值.

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,/ADC=90°,平面PADL

底面ABCDO为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC

（1）求证：

平面POBL平面PAD

12.如图，三棱柱ABC-ABC中，侧棱AA丄平面ABC△ABC为等腰直角三角形，/

BAC=90，且AB=AA,E、F分别是CC,BC的中点.

（1）求证：

平面ABF丄平面AEF;

（2）求二面角B1-AE-F的余弦值.

13.如图，在菱形ABCD中，/ABC=60°,AC与BD相交于点QAE丄平面ABCDCF/AE,

AB=AE=2

（I）求证：

BD丄平面ACFE

（II）当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B-EF-D的余弦角.

14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,

ADLAF,AE=AD=2

（1）证明：

平面PADL平面ABFE

（2）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是二Ln

15.如图，已知斜三棱柱ABC一ABC,/BCA=90°,AC=BC=2A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA丄AC.

（I）求证：

AC丄平面AiBC;

（H）求二面角A-AiB-C的平面角的余弦值.

试卷答案

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.

【分析】

（1）由已知中直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，且BF丄平面ACE我们可以证得BF丄AECB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!

平面BCE

（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得/BGF是二面角B-AC-E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案.

【解答】证明：

（1）vBF丄平面ACE

•••BF丄AE…

•••二面角D-AB-E为直二面角，且CBLAB,

•CB丄平面ABE

•CB丄AE…

•AE丄平面BCE…

解：

（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,

•BG丄AC,BG=］，…

•/BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGLAC

•ZBGF是二面角B-AC-E的平面角…

由

（1）AE!

平面BCE得AE!

EB,

•••AE=EBBE=■'：

•在Rt△BCE中,EC=丨「！

讦’=.：

，,…

由等面积法求得挖斗―：

则酹-B严

•在Rt△BFG中,

G0S^DUrGB<23

故二面角B-AC-E的余弦值为出.…

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.

【分析】

（1）用分析法找思路，用综合法证明•取EF中点0,连接OROC等腰三角形

CEF中有COLEF,即卩ORLEF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线

是EF,且POLEF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可

利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE

（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法

向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.

【解答】解：

（1）证明：

在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.

由AC=BC='.,AB=2

•••E、F分别为ACBC的中点，

•••EF为中位线，得C0=0D=1COLEF

•••四棱锥P—ABFE中，POLEF,…2分

•••OC丄AB,AD=OD=1•AO=?

又AP=.';,OP=1,

•四棱锥P-ABFE中，有AF^aO+oP,即卩OPLAQ…4分

又AOHEF=QEF、AO?

平面ABFE

•OP丄平面ABFE…5分

又OF?

平面EFP,

•平面EFP!

平面ABFE…6分

（2）由

（1）知ODOF,OP两两垂直，以0为原点，建立空间直角坐标系（如图）：

则A（1,-1,0）,B（1,1,0）,E（0,」专，0）,P（0,0,1）-7分

二恥二°，-心,帚（1,T,-1）',

设矗仗，丹以，1=（/,）分别为平面AEP平面ABP的一个法向量，

X■

厂

1八

EA_Lm

_-?

■FAlm

K■

-y-z=Q

取x=1，得y=2,z=-1

则

同理可得n-

由于m・n=lXl+2X0+（-1）X!

=0,

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】证明题.

【分析】对于（I）,要证EF//平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PCBD的中点，所以连接AC,EF为中位线，从而得证；

对于（H）要证明EF丄平面PDQ由第一问的结论，EF/PA只需证PA!

平面PDC即可,

已知PA=PD=_AD,可得PA丄PD,只需再证明PA丄CD,而这需要再证明CDL平面

PAD

由于ABCD是正方形，面PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明，从而得证.

【解答】证明：

（I）连接AC则F是AC的中点，在△CPA中，EF//PA（3分）

且PA?

平面PADEF?

平面PAD

•••EF//平面PAD（6分）

（H）因为平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=AD

又CDLAD所以CDL平面PAD

•CD丄PA（9分）

又PA=PD=一AD,

所以△PAD是等腰直角三角形，且/

即PA丄PD（12分）

而CDAPD=D

•PA丄平面PDC又EF//PA所以EF丄平面PDC（14分）

【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时,往往还要通过线面垂直来进行.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】

（1）利用平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利

用线面垂直的性质，可得DCLAB;

（2）过C作CE!

AB于E,连接ED,可证/CED是二面角D-AB-C的平面角.设CD=a则

【解答】

（1）证明：

TDCLBC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC

•DC丄平面ABC

又AB?

平面ABC

•DCLAB.…

（2）解：

过C作CELAB于E,连接ED,

•/AB丄CDAB丄EC,CDHEC=C•••AB丄平面ECD

又DE?

平面ECD•-AB丄ED,

•••/CED是二面角D-AB-C的平面角,

设CD=a则BC=一「」,

tan30

•••△ABC是正三角形，

•EM®60-厉

在Rt△DEC中,tan/DEC=

"3a"

【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:

平面与平面垂直的判定.

【分析】

（1）令AD=1,求出BD=■:

从而AD±BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面

PADL平面PBD

（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值.

【解答】证明：

（1）在平行四边形ABCD中,令AD=1,

则BD=»一,|-■口「：

，心r=.；,

在厶ABD中,AD+B[i=AB,•AD丄BD

又平面PADL平面ABCD

•BD丄平面PADBD?

平面PBD

•平面PADL平面PBD

解：

（2）由

（1）得AD丄BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，

过D作垂直于平面ABCD勺直线为z轴，建立空间直角坐标系，

令AD=1,则A（1,0,0）,B（0,.；,0）,C（-1,:

;,0）,P（丄，0,..）,

由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角,

面角A-PB-C的余弦值为-上

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.

【分析】（I）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，可知CC丄AC,CC丄BC/ACB=9°,ACL

BC建立空间直角坐标系C-xyz.则A,B1,E,A,可得，AB［，ES，匚织可知，根据CE二0,CA］二0，推断出AB丄CEAB丄CA,根据线面垂直的判定

定理可知AB丄平面ACE

（H）由（I）知’」！

是平面AQE的法向量，「严.一—一'二■，，进而利用向量数量积求得直线AC与平面ACE所成角的正弦值

【解答】（I）证明：

TABC-AB0是直三棱柱，

•••CC!

AC,CC!

BC,

又/ACB=9°,

即ACLBC

如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz.A（2,°,°）,B1（°,2,2）,E（1,1,0）,

A（2,0,2）,

•••Re；二（-2,2・2）,爲=,q）,CA；二②0,2）

又因为AB[・CE>0,AB[・CA]二Q,

•AB丄CEAB丄CA,AB丄平面AiCE

•|cos

设直线

1cd

AB；

AQ与平面ACE所成的角为B,则

—

所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.

（n）以

A为原点，以AB,ADAP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系,

求出平面

CDB的法向量为□［二心OpD,

平面EDB的法向量为■■

设二面角

E-BD-C的大小为0,则

COS6—1COS^--F7jpn.AI—■

【解答】解：

（1）证：

由已知DF//AB且/DAB为直角，故ABFD是矩形,

从而AB丄BF.

又PA丄底面ABCD二平面PADL平面ABCD

•/AB丄AD,故AB丄平面PAD•AB丄PD

在厶PCD内，E、F分别是PCCD的中点，EF//PD,•AB丄EF.

由此得AB丄平面BEF…

（n）以A为原点，以AB,ADAP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，

则BD=（-1,齧陽乔®I李）

设平面CDB的法向量为石二00.1）,平面EDB的法向量为匹二（富7-2）,

口2"BD=O

-‘*—r

齢戈尸0

可取

n2=（2,lr

n2*BE=O

1^=°

则

设二面角E-BD-C的大小为B,则

cos6二18吕＜“],n2

l^Vio

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.

【分析】

（1）取PB中点N，连结MN,AN•由三角形中位线定理可得四边形ADMN为

平行四边形•由AP丄AD,AB丄AD，由线面垂直的判定可得AD丄平面PAB•进一步得到AN丄MN.再由AP=AB，得AN丄PB,贝UAN丄平面PBC.又AN//DM，得DM丄平

面PBC;

•/M是PC中点，•MN//BC,MN=£bC=2.

又•••BC//AD,AD=2,

•••MN//AD,MN=AD,•••四边形ADMN为平行四边形.

•/AP丄AD,AB丄AD,APAAB=A,

•AD丄平面PAB.

•/AN?

平面PAB,•AD丄AN，贝AN丄MN.

•/AP=AB,•AN丄PB，又MNAPB=N,•AN丄平面PBC.

•/AN//DM,•••DM丄平面PBC；

（2）解：

存在符合条件的入以A为原点，「■方向为x轴的正方向，頁］方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设E（2,t,0）（OWt制4,P（0,0,2）,D（0,2,0）,B（2,0,0）,

则一，正二—•：

故其一个法向量为'=（0,0,1）,

nrn2

解得t=3或t=1,

•入=3或入

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.

【分析】（I）推导出BE丄AMBC丄AM由此能证明AML平面BEC

（H）由Vac=Ve—abc,能求出三棱锥B-ACE的体积.

（川）在平面QEC内作QNLECQN交CE于点NQN与AM共面，设该平面为a，推导出四边形AMN健平行四方形，由此能求出AQ

【解答】证明：

（I）：

平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=AB

BE!

AB,BE?

平面ABED

•••BE丄平面ABC又AM?

平面ABC二BEXAM又AB=AQM是BC的中点，•BC丄AM又BOABE=BBC?

平面BECBE?

平面BEC

•AM!

平面BEC

解：

（n）由（I）知，BE丄平面ABC•-h=BE=6

在Rt△ABM中,f,-叮-1，

X12X6二24

又3iASC^-XBCXAfflux6X2

VB-ACE-“E-JiBC亏XSAAECX

（川）在平面QEC内作QN丄ECQN交CE于点N

•••平面QECL平面BEC平面QE6平面BEC-EC

•QN!

平面BEC又AML平面BEC•QN/AM

•QN与AM共面，设该平面为a,•/ABED是长方形，•AQ//BE

又Q?

平面BECBE?

平面BEC•AQ//平面BEC

又AC?

a,aA平面BEC=MN•AQ//MN又QN/AM

•四边形AMNd平行四方形.•AQ=MN

•/AQ//BE,AQ//MN•MIN/BE,又M是BC的中点.•二3,

•AQ=MN=,3

10.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.

【分析】

（1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA丄平面EBC

（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

【解答】

（1）•••平面ABE!

平面ABCD且AB丄BC,

•BC丄平面ABE

•/EA?

平面ABE•EALBC,

•/EALEB,EBABC=B

•EA丄平面EBC

（2）取AB中0,连接EQDO•/EB=EA二EQLAB.

•••平面ABEL平面ABCD

•••EO丄平面ABCD•/AB=2CDAB//CD,AB丄BC,

•DOLAB,

建立如图的空间直角坐标系O-xyz如图：

设CD=1,则A（0,1,0）,B（0,-1,0）,C（1,-1,0）,D（1,0,0）,E（0,

由

（1）得平面EBC的法向量为.=（0,1,-1）,

m*BE=0

设x=1,则y=—1,z=1,则

=（1,—1,1）,

则|cosV

IT，

|EApm

=戈]

lEAlIml

故二面角C-BE-D的余弦值是二

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.

【分析】

（1）证明四边形BCDQ1平行四边形，得出OBLAD再证明BOL平面PAD从而证明平面POBL平面PAD

円[

（2）解法一：

由征■二1,M为PC中点，证明N是AC的中点，MIN/PAPA//平面BMO

口|[

解法二：

由PA//平面BMO证明N是AC的中点，M是PC的中点，得匚丄二.

【解答】解：

（1）证明：

TAD//BC,BG令疝,O为AD的中点，

•四边形BCDO^平行四边形,

•••CD//BQ

又•••/ADC=90,

•••/AOB=90，即OBLAD

又•••平面PADL平面ABCD且平面PADA平面ABCD=A,

•BO丄平面PAD

又：

BO?

平面POB

•平面POBL平面PAD

（2）解法一：

農二:

L,即M为PC中点，以下证明：

连结AC,交BO于N连结MN

•/AD//BC,O为AD中点，AD=2BC

•N是AC的中点，

又点M是棱PC的中点，•MN/PA

•/PA?

平面BMOMN平面BMO

•PA//平面BMO

解法二：

连接AC,交BO于N,连结MN

•/PA//平面BMO平面BMOA平面PAC=MN

•PA//MN

又•••AD//BCO为AD中点，AD=2BC

•N是AC的中点，

•M是PC的中点，则器二:

12.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定.

【分析】

（1）连结AF,由已知条件推导出面ABCL面BBCC,从而AF丄BiF,由勾股定理得BF丄EF.由此能证明平面ABF丄平面AEF

（2）以F为坐标原点，FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角

B-AE-F的余弦值.

【解答】

（1）证明：

连结AF,vF是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，

•AFLBC.

又•.•三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

•面ABCL面BBCC,

•AF丄面BBGC,AFLBF.…

衍酹+盼◎•••BiF丄EF.

又AFnEF=F,•BF丄平面AEF.

而BiF?

面ABF，故：

平面ABF丄平面AEF.

（2）解：

以F为坐标原点，FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系如图,

设AB=AA=1，

1）

则F（0，0，0），A（!

0i0），

（—

由

（1）知，BF丄平面AEF,取平面AEF的法向量:

：

1-I=（0，

设平面BiAE的法向量为丘=（氛齐Z），

取x=3,得T,2^2）.

由

设二面角Bi-AE-F的大小为0，

贝Ucos0=|cosv

|=.

由图可知0为锐角,

Bi-AE-F的余弦值为

•所求二面角

13.

【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.

【分析】（I）只需证明DB丄AC,BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE

（II）取EF的中点为M以0为坐标原点，以0A为x轴，以0B为y轴，以0M为z

轴，建立空间直角坐标系，则■/=）：

D（0,-.；0）,F（-1,0,h）,E

（1,0,2,则二］、；.）：

，一「1../,利用向量法求解

【解答】（I）证明：

在菱形ABCD中，可得DB丄AC,

又因为AE!

平面ABCD-BDLAE,

且AEnAC=ABD丄平面ACFE

（II）解：

取EF的中点为M以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z

轴，建立空间直角坐标系，

则|：

口寸0门，,D（0,--.,0）,F（-1,0,h）,E（1,0,2），则

DB=（OS2阿0）,DE=C1,2）,

乔（占0.1）1,

故F（-1,0,3）,；厂.-./<.•；,J•，设平面BFE的法向量为

，可取■■:

--・1‘,

巴・BE二曰飞垢b十k二0n2・BF"-a-'/sb+3c=0

吓」工■/；

'■_5-；-3设平面DFE的法向量为'-一

口$*

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