完整版高等数学不定积分例题思路和答案超全.docx
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完整版高等数学不定积分例题思路和答案超全
第4章不定积分
内容概要
名称
主要内容
不定
设f（x）,x
I,若存在函数F（x）,使得对任意xI均有F（x）f（x）
积分
或dF（x）f（x）dx,则称F（x）为f（x）的一个原函数。
的概
f（x）的全部原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记为
念
f（x）dxF（x）C
注：
（1）若f（x）连续，则必可积；
（2）若F（x）,G（x）均为f（x）的原函数，则
F（x）G（x）C。
故不定积分的表达式不唯一。
性
质
d
性质1:
——dx
f（x）dx"*）或~f（x）dxf（x）dx；
不
性质2：
F（x）dxF（x）C或dF（x）F（x）C;
定积
性质3：
[f（x）g（x）]dxf（x）dxg（x）dx,,为非零常数。
分
计算
第一换元
设f（u）的原函数为F（u）,u（x）可导，则有换元公式：
方法
积分法
（凑微分法）
f（（x））（x）dxf（（x））d（x）F（（x））C
第二类
换元积
设x（t）单调、可导且导数不为零，f[（t）]（t）有原函数F（t）,
分法
则f（x）dxf（（t））（t）dtF（t）CF（1（x））C
分部积分法
u（x）v（x）dxu（x）dv（x）u（x）v（x）v（x）du（x）
有理函数积
若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理
分
按情况确定。
本章
在下一章定积分中由微积分基本公式可知一求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；
的地
后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求
位与
解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中
作用
起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好
坏。
这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：
直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法
思路分析：
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分
★⑴
dx
x2.x
思路:
被积函数
由积分表中的公式
（2）可解。
解:
dx
x2-x
5
x2dx
★⑵
1
^=）dx
x
思路：
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
（
（x3x2）dx
1
x3dx
1
x2dx
3-1
3x32x2C
4
★（3）（2xx2）dx
思路：
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,
分别积分。
解：
（2xx2）dx2xdx
x2dx2
In2
1x3C3
★（4）.x（x3）dx
思路：
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,
分别积分。
解:
'x（x3）dx
3
x2dx
1
x2dx
53
22x2C
3x4
2
x
Jx
1
思路：
观察到
3x4
3x21x21
3x2
-后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积
1
分。
解:
42,
3x3x1
2,dx3xdx
.3
—dxxarctanxC
x
★★（6）
dx
思路：
注意到
2
x
1x2
根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
2
5x.
斛：
2dx
1x
dx2dx
1x
arctanxC.
注：
容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分
解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
/x
★⑺（
2
1+1-
4、4）dx
x
思路：
分项积分。
…/x
斛：
（一
2
——i
3
xx
4、
—）dx
12-x
4
In|x|
x
3x
2
2
4x
3
xdx
-dxx
3x3dx4x4dx
C.
3
★（8）（rv
2
-1"x2）dx
思路：
分项积分。
解:
2、，
）dx
1x2
-dx
1,cc.c
dx3arctanx2arcsinxC.
x2
★★（9）
xxxdx
思路:
?
看到:
x.xx
11
x24
7
x8
直接积分。
解:
■xxxdx
7
x8dx
15
C.
…、1
★★（10）--dx
x（1x）
思路：
裂项分项积分。
解:
1x12（1
x2）
dx
口dxx
dx
1-
一arctanxC.
x
2x
★（11）
e
x
e
（ex1）（ex1）
解:
dx
（ex1）dx
C.
★★（12）3xexdx
思路：
初中数学中有同底数嘉的乘法:
指数不变，底数相乘。
显然
.XX/、x（3e）-
解：
3edx（3e）dxC.
ln（3e）
2
★★（13）cotxdx
思路：
应用三角卜I等式“cotxcsc2x1"。
解：
cot2xdx（csc2x
1）dx
cotxxC
★★（14）
52x
-dx
3x
思路：
被积函数
23x52x
3
-2、x―八
5-）,积分没困难。
3
Tx3x
（2
2,5（-））dx2x5
3
C.
ln2ln3
★★（15）cos2-dx
2
思路：
若被积函数为弦函数的偶次方时,
一般地先降嘉，再积分。
52x,
解：
cos-d2
1
★★（16）dx
1cos2x
1sinxC.2
思路：
应用弦函数的升降嘉公式，先升寨再积分。
解：
——1——dx
1cos2x
―「dx
2cosx
se（2xdx1tanx
2
C.
★（17）
cos2x,dx
cosxsinx
2・2
思路：
不难，关键知道cos2xcosxsin
x（cosxsinx）（cosxsinx）'。
解:
★（18）
cos2xdx（cosxsinx）dxcosxsinx
cos2x,
22~2-dx
cosxsinx
sinxcosx
C.
思路：
同上题方法，应用“
cos2xcos2xsin
x”，分项积分。
〃cos2x
解：
——22
cosxsin
-dxx
…22
cosxsinx
…2_
cosxsin
dx
—12—dxsinx
1
2-xcosx
csc2xdx
secxdx
cotx
tanx
C.
★i）后
1x
\1x）dx
思路：
注意到被积函数
1x
\1x
1x
1x
1x
1x2
1x2
2…一r
.,应用公式（5）即可。
1x2
1
x
解：
（
1x
闩dx
==dx
x2
2arcsinx
C.
1
★★（20）
2cosxdx
1cos2x
思路：
注意到被积函数
1cos
cos2x
2
cosx
72
2cosx
12
-sec
2
1…
—,则积分易得。
2
cos2x
1sec2xdx工dx
22
tanx
C.
★2、设xf（x）dx
arccosxC,求f（x）。
知识点：
考查不定积分（原函数）与被积函数的关系
d
思路分析：
直接利用不定积分的性质1：
——[f（x）dx]f（x）即可。
dx
解：
等式两边对x求导数得：
xf（x）
1
f（x）
★3、设f（x）的导函数为sinx,求f（x）的原函数全体。
知识点：
仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：
连续两次求不定积分即可。
解：
由题意可知，f（x）sinxdxcosxCi
所以f（x）的原函数全体为：
（cosxC1）dxsinxC1xC2。
1x
★4、证明函数一e2x,exshx和exchx者B是的原函数
2chx-shx
知识点：
考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
只需验证即可。
ECe2xHd12x\rdrx,rdrx2x
解：
Qe,而一[（一e）]一[eshx]—[echx]e
chxshxdx2dxdx
2
★5、一曲线通过点（e,3）,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：
属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
“d.1
解：
设曲线方程为yf（x）,由题意可知：
——[f（x）]—,f（x）ln|x|C；dxx
又点（e2,3）在曲线上，适合方程，有3ln（e2）C,C1,
所以曲线的方程为f（x）ln|x|1.
2
★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t（m/s），问：
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2）物体走完360米需要多少时间？
知识点：
属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。
解：
设物体的位移方程为：
yf（t）,
则由速度和位移的关系可得:
d«2
汗⑴]3t
f（t）t3C,
又因为物体是由静止开始运动的,
f（0）0,C0,f（t）t3
3
（1）3秒后物体离开出发点的距离为：
f（3）3327米;
⑵令t3360t耳360秒习题4-2
★1、填空是下列等式成立。
知识点：
练习简单的凑微分。
思路分析：
根据微分运算凑齐系数即可。
112314
解：
（1）dx—d（7x3）;
（2）xdx-d（1x2）;（3）x3dx—d（3x42）;
7212
（4）e2xdx1d（e2x）;（5）dx1d（5ln|x|）;（6）dx1d（351n|x|）;
2x5x5
1-dx1dx1
⑺一dt2d（,t）;（8）—^-d（tan2x）;（9）1-d（arctan3x）.
Ucos22x219x23
2、求下列不定积分。
知识点：
（凑微分）第一换元积分法的练习思路分析：
审题看看是否需要凑微分。
直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
3t
★
（1）e3tdt
思路：
凑微分。
…3t13t13t
解：
edt-ed（3t）-eC
33
3
★
（2）（35x）dx
思路：
凑微分。
3131.
解：
（35x）dx-（35x）d（35x）—（35x）4C
1,
★（3）dx
32x
思路：
凑微分
1
——d（32x）
2x
1八
-ln|32x|C.
.1.
解：
dx
32x
1.
★（4）dx
353x
思路：
凑微分
1
—（53x）3d（53x）3
-（53xFC.
2
.1.11,,八、
解：
..dx—d（53x）
353x3353x
x
★（5）（sinaxeb）dx
思路：
凑微分
解:
XX
1x、
（sinaxeb）dxsinaxd（ax）bebd（-）ab
1
一cosaxa
x
beb
★★（6）cos.tdt
思路：
如果你能看到d（Jf）
dt,凑出d（JF）易解
r
解：
COs-1dt2cos而（式）2sin4C
10___2
★⑺tanxsecxdx
思路:
凑微分
102101.
解：
tanxsecxdxtanxd（tanx）—tan
11
11
C.
★★（8）
dx
xlnxlnlnx
思路:
连续三次应用公式
⑶凑微分即可。
〃dx
解：
xlnxlnlnx
d（ln|x|）
lnxlnlnx
d（ln|lnx|）
lnlnx
ln|lnlnx|C
★★（9）tan、1x2—xdx—；1x2
是什么，是什么呢？
就是
d1x2!
这有一定难度!
xdx
思路:
本题关键是能够看到।
Jx2
解：
tan。
1x2
xdx
1x2
tan.1x2dJx2
ln|cos.1
x2|C
★★（10）——dx——sinxcosx
思路：
凑微分。
解:
方法一：
倍角公式sin2x2sinxcosx。
dx
2dx
sinxcosxsin2x
csc2xd2xIn|csc2x
cot2x|C
方法二：
将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
dx
sinxcosx
cosx.
-dxsinxcosx
—se（2xdxtanx
1-
——dtanx
tanx
ln|tanx|C
22
方法二：
三角公式sinxcosx
然后凑微分。
dx
sinxcosx
..22
sinxcosxdx
sinxcosx
sinxdx
cosx
cosx
dxsinx
dcosx
dsinx
cosx
sinx
In|cosx|In|sinx|C
In
|tanx|
★★（11）-e
dx
xe
思路：
凑微分:
dx
xe
exdx
2xe
dex
1e2x
dex
x2
1（e）
dx
解：
-x
ee
exdx
dex
2xe
x、2
1（e）
arctanexC
2、.
★（12）xcos（x）dx
思路：
凑微分。
2.
解：
xcos（x）dx
cosx
1.-sin
2
x2C
xdx
★★（13）
23x2
思路：
由
xdx
dx2
1d（2
3x2）
23x2
223x2
凑微分易解。
解:
xdx
d（23x2）
23x2
6（2
1
3x2）^d（23x2）
2
★★（14）cos（t）sin（
t）dt
思路：
凑微分。
-2.
解：
cos（t）sin（
t）dt
2/
cos（
t）sin（
t）d
t-cos2（
t）dcos（t）
cos3（t）
C.
★★（15）3x4dx
1x
思路：
凑微分。
解:
4x3
1x4
★（16）cosx
思路：
凑微分。
加sinx.
解：
———dx
cosx
9x★★（17）——
2
=dx
20x
dx
—dx4x
—d（1xx
-In|14
x4|C,
1
3-（cosx
cosx
11
o2-
2cosx
C.
思路：
经过两步凑微分即可。
解:
.10
dx
9
x
^20
2x
1
d
10
10x
12
10
1•,x、-
一arcsin（^）C102
★★（18）xxdx
94x2
思路：
分项后分别凑微分即可。
51x,
解：
tdx
94x2
1
94x
2dx
2dx
12x
d——
2x）23
12
d4x
■.94x2
少）2
3
2x
2xd—
3
=d（94x2）4x2
…9）
arcsin（）
23
4、*
C.
思路：
裂项分项后分别凑微分即可。
解:
dx
dx
2x21（12x1）（\2x1）
1（_122x1
1
22
（2：
1J川区
1
2、2
1-
-d（行x
2x1
1）212
1-
d（-.2x
2x1
1）
2x1
2,2ln.2x1
C.
★（20）
xdx
（45x）2
思路：
分项后分别凑微分即可。
解：
一（4
xdx
5x）2
1,45x4
5（4
5x）2
dx
1
25
45x
4—（4
1、
才d（45x）
1
25
1
45x
d（45x）
4
25
（45x）
2d（4
5x）
Ln
25
|45x|
2545x
C.
x2dx
★（21）通
（x1）
思路：
分项后分别凑微分即可。
解：
一（x
x2dx
（x11）2dx
1）100
（x
1）100
（（x1）2
（x1）100
1）
24
100
（x1）
1、，
100）dx（x1）100
98
（x1）
1
（x1）99
1
/w\100
（x1）
）d（x1）
1111
97（x1）9749（x1）98
11C
99（x1）99
xdx
思路：
裂项分项后分别凑微分即可。
xdx
解：
-8一
x
xdx
（x4
—2
1）2x4
1、，
Edx
（一
x1
一）dx2
x1
[2（x2
———dx（x2）21
1
In|8
1
4
x
2x
-2-x
产2
1d（x2
1）
2
1d（x1）]
2
-arctanx
C.
★（23）cos3xdx
思路:
凑微分。
cosxdx
-F3.
斛：
cosxdx
2
cosxcosxdx
2
cosxdsinx
―・2、■.
（1sinx）dsinx
sinx1sin3xC
3
2
★★（24）cos（t）dt
思路：
降嘉后分项凑微分。
解：
cos2
（t）dt
1cos2（
2
jt
2dt
cos2（t）d2（t）
2t
sin2（t
★★★（25）
sin2xcos3xdx
思路：
积化和差后分项凑微分。
解：
sin2xcos3xdx
1
-（sin5xsinx）dx
—sin5xd5x10
1sinxdx
2
11c
—cos5x-cosxC
10
★★★（26）sin5xsin7xdx
思路：
积化和差后分项凑微分。
1
11八
—sin2x—sin12xC.
24
„.....11
解：
sin5xsin7xdx-（cos2xcos12x）dx-cos2xd2x
3
★★★（27）tanxsecxdx
思路：
凑微分tanxsecxdxdsecx。
3
解：
tanxsecxdx
tan2x
tanxsecxdx
tan2xdsecx
2
（secx1）dsecx
secxdsecx
dsecx
13
-secx
3
secxC
10arccosx
★★（28）dx
1x2
…...1.
思路：
凑微分一,dx
1x2
d（arccosx）。
10arccosx
解：
*dx
.1x2
arccosx
10darccosx
10arccosx
ln10
C.
★★（29）
dx
（arcsinx）2.1
-1.
思路:
凑微分一jdx,1x2
d（arcsinx）。
解:
dx
（arcsinx）2.1x2
darcsinx
（arcsinx）2
arcsinx
arctan、.x,
★★★★（30）dx
x（1x）
arctan、x,思路：
凑微分-f=dx
.x（1x）
2arctan.xd-
1（x）2.
2arctanVxd（arctanTx）。
后力arctanx.
解：
—j=dx
、x（1x）
2arctan，xdx
1（x）2x
2arctan\xd（arctanx）
（arctanx）2
…、lntanx」
★★★★（31）dx
cosxsinx
思路：
被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出
2
tanx,即被积函数中凑出secx,
lntanxdxcosxsinx
Intanx
2cos
xtanx
lntanx2,lntanx.
dxsecxdxdtanx
tanxtanx
12、
Intanxd（lntanx）d（-（lntanx））
解:
Intanx
cosxsinx
12
-（lntanx）
dx
★★★★（32）11nx（xlnxf
dx
思路：
d（xlnx）（1
-1lnx,
解：
初dx
（xlnx）
dx
★★★★（33）
1ex
解：
方法
lntanx,
——2dx
cosxtanx
lntanx-dtanxtanx
Intanxd（lntanx）
Inx）dx
1-,、
2d（xlnx）（xlnx）
—Cxlnx
x
思路：
将被积函数的分子分母同时除以e,则凑微分易得。
dxex
/xx
1ee
-d（ex）1
-d（e1
1）
ln|ex
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