北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元测试题含答案.docx
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北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元测试题含答案
第一章勾股定理
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4
C.a=3,b=4,c=5D.a=4,b=5,c=6
2.如图1所示,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为( )
图1
A.5B.6
C.7D.8
3.下列结论中,错误的有( )
①在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5;②△ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°;③在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则△ABC是直角三角形;④若三角形的三边长之比为3∶4∶5,则该三角形是直角三角形.
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.如图2,将长为8cm的橡皮筋放置在地面上,固定两端点A和B,然后把中点C向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了( )
图2
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
5.将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放,则这两个正方形面积的和为( )
图3
A.16B.32C.8πD.64
6.若△ABC的三边长a,b,c满足
+
+
=0,则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
7.如图4所示,AC⊥BD,O为垂足,设m=AB2+CD2,n=AD2+BC2,则m,n的大小关系为( )
图4
A.m<nB.m=n
C.m>nD.不确定
8.如图5,点D在△ABC的边AC上,将△ABC沿BD翻折后,点A恰好与点C重合.若BC=5,CD=3,则BD的长为( )
图5
A.1B.2C.3D.4
9.如图6,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑甲壳虫从点A出发,白甲壳虫从点C1出发,它们以相同的速度分别沿棱向前爬行.黑甲壳虫爬行的路线是:
AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1→A1D1…,白甲壳虫爬行的路线是:
C1C→CB→BB1→B1C1→C1C→CB…,那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的最短路程的平方是( )
图6
A.2B.3C.4D.5
10.如图7所示,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
图7
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(每题3分,共18分)
11.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是________.
12.古希腊的哲学家柏拉图曾指出:
如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是____________.
13.木工师傅做了一个桌面,要求桌面为长方形,现量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线的长为68cm,则这个桌面________.(填“合格”或“不合格”)
14.一座垂直于两岸的桥长27米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头36米,则小船实际行驶了________米.
15.如图8所示,把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在AD边上的点P处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则BC边的长为________.
图8
16.我国数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图9,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=15,则S2的值是________.
图9
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图10,△ABC中,D是BC上的一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.
(1)判断AD与BC的位置关系,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
图10
18.(6分)如图11所示,在长方形ABCD中,AB=CD=24,AD=BC=50,E是AD上一点,且AE∶DE=9∶16,判断△BEC的形状.
图11
19.(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4m,又往北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向北走4.5m处往东一拐,仅走0.5m就到达了B处,则点A,B之间的距离是多少?
图12
20.(6分)如图13所示,有两根长杆隔河相对,一杆高3m,另一杆高2m,两杆相距5m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)
图13
21.(6分)如图14,河边有A,B两个村庄,A村距河边10m,B村距河边30m,两村平行于河边方向的水平距离为30m,现要在河边建一抽水站,需铺设管道抽水到A村和B村.
(1)求铺设管道的最短长度是多少,请画图说明;
(2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?
图14
22.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?
请画出它的爬行路线,并用箭头标注;
(2)试求小虫爬行的最短路程.
图15
23.(8分)如图16,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.
(1)如图①,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,连接三格和两格的对角线,求∠α+∠β的度数(要求:
画出示意图,并说明理由).
图16
24.(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是:
①如图17,先裁下一张长BC=20cm,宽AB=16cm的长方形纸片ABCD;②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据步骤①②解答下列问题:
(1)找出图中∠FEC的余角;
(2)求EC的长.
图17
答案
1.C 2.B 3.C 4.A5.D 6.C 7.B 8.D 9.D10.D
11.60°
12.答案不唯一,如20,99,101 13.合格 14.45
15.24 16.5
17.解:
(1)AD⊥BC.理由如下:
因为BD2+AD2=62+82=102=AB2,
所以△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,
所以AD⊥BC.
(2)在Rt△ACD中,因为CD2=AC2-AD2=172-82=152,所以CD=15,
所以S△ABC=
BC·AD=
(BD+CD)·AD=
×21×8=84.
18.解:
因为AD=50,AE∶DE=9∶16,所以AE=18,DE=32.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2=AB2+AE2=242+182=900.
在Rt△CDE中,由勾股定理,得CE2=DE2+CD2=322+242=1600.
在△BCE中,因为BE2+CE2=900+1600=2500=502=BC2,所以△BEC是直角三角形.
19.解:
如图,过点B作BC⊥AD于点C,由图可知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5(m),即点A,B之间的距离是6.5m.
20.解:
由题意可知AB=2m,CD=3m,BC=5m,AE=DE.
设BE=xm,则EC=(5-x)m.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2.
在Rt△DCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2.
所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,则5-x=2.
所以杆AB底部距小鱼3m,杆CD底部距小鱼2m.
21.解:
(1)如图,过点A作AC⊥CE于点C,延长AC至点D,使CD=AC,连接BD,交河边于点E,连接AE,则抽水站应建在点E处,可使铺设的管道最短,最短长度为AE+BE,即BD的长.
过点B作BF⊥AC于点F,
由题意得:
AC=10m,CF=30m,BF=30m,
所以CD=AC=10m,
所以DF=10+30=40(m).
在Rt△BDF中,BD2=302+402=502,
所以BD=50(m).
即铺设管道的最短长度是50m.
(2)最低费用为50×500=25000(元).
22.解:
(1)如图所示,AQ→QG为最短路线.
(2)因为AE=40cm,AA′=120cm,所以A′E=120-40=80(cm).因为EG=60cm,所以A′G2=A′E2+EG2=802+602=10000,所以A′G=100cm,所以AQ+QG=A′Q+QG=A′G=100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.
23.解:
(1)AB⊥BC.理由:
如图①,连接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°,所以AB⊥BC.
(2)∠α+∠β=45°.理由:
如图②,由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°.又因为AB=BC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,即∠α+∠γ=45°.由图可知∠β=∠γ,所以∠α+∠β=45°.
24.解:
(1)∠CFE,∠BAF.
(2)由折叠的性质,得AF=AD=20cm,EF=DE.设EC=xcm,则EF=DE=(16-x)cm.
在Rt△ABF中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以BF=12(cm),
所以FC=BC-BF=20-12=8(cm).
在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得x=6,
所以EC的长为6cm.