实数教案附实数练习题.docx

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实数教案附实数练习题

实数教案

一、本章学习目标

1.了解算数平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数是平方根，会用立方根运算求某些数的立方根。

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应，有序实数对与平面上的点是一一对应的；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念运算等的一致性。

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

二、本章知识结构

基础知识

1．算术平方根。

（1）定义：

如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.

记为，读作“根号a”,a叫做被开方数。

（2）规定：

0的算术平方根是0

（3）性质：

算术平方根具有双重非负性：

①被开方数a是非负数，即a≥0.

②算术平方根本身是非负数，即≥0。

也就是说，任何正数的算术平方根是一个正数，

0的算术平方根是（0），

负数没有算术平方根。

2．平方根

（1）定义：

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根或二次方根

（2）非负数a的平方根的表示方法:

（3）性质：

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。

0只有一个平方根，它是0。

负数没有平方根。

说明：

平方根有三种表示形式：

±，，－，它们的意义分别是

：

非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：

≠±。

3.平方根与算术平方根的区别与联系：

区别：

①定义不同算术平方根要求是正数

②个数不同平方根有2个，算术平方根1个

③表示方法不同：

算术平方根为，平方根为±

联系：

①具有包含关系：

②存在条件相同：

③0的平方根和算术平方根都是0。

4．a2的算术平方根的性质

a（a≥0）

=│a│=

-a（a<0）

从算术平方根的定义可得：

=a（a≥0）

5．立方根

（1）定义：

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根

（2）数a的立方根的表示方法:

（3）互为相反数的两个数的立方根之间的关系：

互为相反数

（4）两个重要的公式

6．开方运算：

（1）定义：

①开平方运算：

求一个数a的平方根的运算叫做开平方。

②开立方运算：

求一个数立方根的运算叫做开立方

（2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。

7．无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数

8．有理数与无理数的区别

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。

9.常见的无理数类型

（1）一般的无限不循环小数，如：

1.41421356¨···

（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。

（3）有特定意义的数，如：

π=3.14159265···

（4）开方开不尽的数。

如：

。

10．实数

（1）概念：

有理数和无理数统称为实数。

（2）分类按定义

正整数

整数0

负整数

有理数有限小数或无限循环小数

正分数

实数分数

负分数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

按大小正实数

实数零

负实数

（3）实数的有关性质

①a与b互为相反数〈=〉a+b=0

②a与b互为倒数〈=〉ab=1

③任何实数的绝对值都是非负数，即≥0

④互为相反数的两个数的绝对值相等,即=

⑤正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.

⑥一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

（4）实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点是一一对应的关系

实数的大小比较

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于零；零大于负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。

（5）实数中的非负数及其性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数

我们已经学过的非负数有如下三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即≥0

②任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0

非负数有以下性质

①非负数有最小值零

②有限个非负数之和仍然是非负数

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

三、本章重点难点

1.本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。

本章重点是算数平方根和平方根的概念和求法，它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础.

2.本章的难点是平方根和实数的概念。

四、本章中考考试内容和考试要求

1.了解算数平方根、平方根、立方根、实数的概念；会用根号表示算数平方根、平方根、立方根；会求无理数的相反数、绝对值。

2.知道实数与数轴上的点是一一对应关系，会有理数估计无理数的大致范围，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会进行简单的实数运算，会借助数轴比较有理数的大小。

3.会利用绝对值的知识解决化简问题和非负数问题。

五、教学计划

课时

讲课内容

约授课时间/分钟

约练习时间/分钟

一个课时

平方根

平方根的相关概念

算术平方根

开平方

立方根

立方根的相关概念

开立方

实数

实数的定义

实数的运算

实数的有关性质

实数综合测试

六、教学过程

对学生的要求：

熟记1——20的平方数：

熟记1——20的平方数：

（一）平方根

1、平方根的相关概念

平方根：

如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根

用公式表示

平方根的性质：

①一个正数有两个平方根，一正一负，并且它们互为相反数

②零的平方根是零

③负数没有平方根

例1：

求下列各数的平方根：

（1）；

（2）0.81；（3）900；（4）361

解：

（1）因为，所以的平方根是

（2）因为，所以0.81的平方根是

（3）因为，所以900的平方根是

（4）因为，所以361的平方根是

2、算术平方根

算术平方根：

数a的正的那个平方根就叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0

算术平方根的性质：

①被开方数a是非负数

②算术平方根本身是非负数

例2：

求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）

解：

（1）由于表示10000的算术平方根，且，所以

（2）由于表示144的负的平方根，且，所以

（3）由于表示625的平方根，且，所以

3、开平方

开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方

开平方与平方互为逆运算

例3：

求使下列各式有意义的x的取值范围：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解：

（1）由，解得，当时，有意义

（2）由，解得，当时，有意义

（3）因为不论x取任何值时，，所以x取任何值时，总有意义

（4）由，解得；由于分母不能为0，所以

所以当时，有意义

例4：

求下列各式中x的值：

（1）；

（2）

解：

（1）因为，所以，所以

又因为，所以

（2）因为，所以

又因为，所以

当时，；当时，，所以或

4、立方根的相关概念

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；用式子表示为

立方根的性质：

①正数有一个正的立方根

②负数有一个负的立方根

③0有一个立方根，就是0本身

例5：

求下列各数的立方根：

（1）343；

（2）；（3）；（4）4

解：

（1）因为，所以

（2）因为，，所以

（3）因为，所以

（4）4的立方根为

例6：

求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）

解：

（1）

（2）（3）

例7：

求下列各式中的x的值：

（1）；

（2）；（3）

解：

（1）由题意得，所以

（2）由题意得，即

（3）由题意得，即，所以

6、实数

实数：

有理数和无理数的统称

无理数：

无限不循环小数

例8：

把下列各数分别填入相应的集合中：

，3.14159265，，0.6，0，-8，，，

有理数集合：

无理数集合：

例9：

计算

（1）

解：

=

实数的有关性质

⑴a与b互为相反数〈=〉a+b=0

⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1

⑶任何实数的绝对值都是非负数，即≥0

⑷互为相反数的两个数的绝对值相等,即=

⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.

例10：

若、互为相反数，、互为负倒数，则

解：

由题意可知a+b=0,cd=1

例11：

计算：

解：

=

例12：

，求的值

解：

由于

所以a+2=0,b-1=0,c+3=0

a=-2,b=1,c=-3

实数练习题

知识点一：

平方根

练习一：

1.判断下列数是否有平方根，若有，求出该数的平方根：

1、；2、；3、；

4、1000；5、0；6、；

7、121；8、；

2.的平方根是;3.和是_____________的平方根.

4.如果一个数的平方根是和，则这个数为；

知识点二：

算术平方根

练习二：

求下列各式的值

1、=_____________；2、=_____________；3、=_____________；

4、=_____________；5、=_____________；6、=_____________；

7、=_____________；8、=_____________

知识点三：

根式有意义

练习三：

1.求使下列各式有意义的x的取值范围：

1、；2、；3、；4、；

2.当m时，有意义.

3.若，则=；

知识点四：

开平方

练习四：

1.求下列各式中x的值：

1、；2、；3、；

4、（x+9）2=169；；5、6、

知识点五：

立方根的相关概念

练习五：

求下列各数的立方根：

1、64；2、-125；3、；4、1000；5、-1；

6、；7、；8、0.512

知识点六：

开立方

练习六

（1）：

求下列各式的值：

1、；2、；3、；4、；

5、；6、7、；8、

练习六

（2）：

求下列各式中的x的值：

1、；2、（x－1）3＝－0.125；3、；

4、；5、

知识点七：

实数

练习七

（1）：

1、写出下列数中得有理数：

，0.123333333……，0，0.123，29；

2、下列数中，无理数是：

3.141414，33%，9.0000000，，，

3、在，，3，，，中，

实数是：

练习七

（2）：

计算：

1、；2、；

3、4、；

5、；6、

知识点八：

实数的有关性质

练习八：

1.的相反数是（）A．B．C．D．

2.下列各组数中，互为相反数的是（　　）

A．2和B．-2和－C．-2和|-2|D．和

3.的倒数是（）A.B.C.D.

4.实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（）

A．－a＜a＜1B．a＜－a＜1

C．1＜－a＜aD．a＜1＜－a

5.若，b是a的倒数，c是a的相反数，求a+b-c的值

知识点九：

实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点是一一对应的关系

练习九：

1.比大的实数是（）

A．B．C．D．

2.比较大小: