平面向量线性运算教案.docx
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平面向量线性运算教案
知识点
向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
适用学科
-
高中数学
适用年级
1
1
高
1
适用区域
苏教版区域
课时时长（分钟）
L
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
2课时
向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能
熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。
通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。
教学重点向量的加减法的运算。
〔!
教学难点
教学过程
」、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不
大，属于简单题
二、知识讲解
I考）向量加量加三法形法则
在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。
运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
（2）平行四边形法则
以同一点0为起点的两个已知向量A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:
互为相反向量。
于是-（-a）=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
一「4■+,44
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a（-a）二（-a）■a=0。
TH44H^4^4
所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a•b=0。
考点3实数与向量的积的运算律
设■,^为实数，那么
⑴，（七）=（」i）a；
（2）（I丄）a虫；」a；
（3）（ab）八a■b.
■.斗、-,4_斗屮.4
特别地，我们有（-’）a=，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。
■H屮4.
向量共线的等价条件是：
如果a（a=0）与b共线，那么有且只有一个实数•，使
■IJ
b—■a。
二、例题精析
类型一平面向量的坐标表示
例题知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和
uuivuuv
AB与AD的坐标.
【规范解答】由题知B、D分别是30°120角的终边与单位圆的交点.
设B（xi,y”，D（X2,y2）.
由三角函数的定义，得
3131
xi=cos30=专，yi=sin30=㊁，…B占,2）■X2=cos120角一2,y2=sin120=当，
【总结与反思】
（1）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
（2）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
类型二平面向量坐标运算
例题1
（1）已知三点A（2,—1）,B（3,4）,C（—2,0），则向量3AB+2CA=
BC
2AB
⑵已知向量a,
b的坐标分别是（一1,2）,（3,-5），求a+b,a—b,3a,2a+3b的坐标.
【规范解答】
（1）•/A（2,—1）,B（3,4）,C（—2,0）,
二AB=（1,5）,
CA=（4,—1）,
4）.
BC=（一5,—
•••3AB+2cA=3（1,5）+2（4,—1）
=（3+8,15—2）
=（11,13）.
BC—2AB=（—5,—4）—2（1,5）
=（—5—2,—4—10）
=（—7，—14）.
（2）a+b=（—1,2）+（3,—5）=（2,—3）,
a—b=（—1,2）—（3,—5）=（—4,7）,
3a=3（—1,2）=（—3,6）,
2a+3b=2（-1,2）+3（3,-5）
=（-2,4）+（9,-15）
=（7，-11）•
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的
直角坐标运算法则进行计算（直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相
应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积）.
类型三由向量相等求坐标
例题1
（1）若a=（-1,2）,b=（1,-1）,c=（3,-2），且c=pa+qb，贝Vp=,q
【规范解答】
（1）va=（-1,2）,b=（1,-1）,c=（3,-2）,
•••pa+qb=p（-1,2）+q（1,-1）=（-p+q,2p-q）.
vc=pa+qb,
C|=4.
-p+q=3,解得
2p-q=-2,
故所求p,q的值分别为1,4.
（2）由A（-2,4）,B（3,-1）,C（-3,-4）,
可得CA=（-2,4）-（-3,-4）=（1,8）,
CB=（3,-1）-（-3,-4）=（6,3）,所以CM=3cA=3（1,8）=（3,24）,
CN=2CB=2（6,3）=（12,6）.
设M（X1,y1）,N（x2,y2）,
则CM=（X1+3,yr+4）=（3,24）,X1=0,y1=20;
CN=（X2+3,y2+4）=（12,6）,X2=9,y2=2,
所以M（0,20）,N（9,2）,
MN=（9,2）-（0,20）=（9,-18）.
【总结与反思】
（1）坐标形式下向量相等的条件：
相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.
（2）应用：
利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的
值.
四、课堂运用
基础
1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|=4逅,/xOA=60°°
（1）求向量OA的坐标；
3.已知a=AB,B点坐标为（1,0）,b=（-3,4）,c=（—1,1）,且a=3b—2c,求点A的坐标.
即a=（-7,10）=AB.
又B（1,0），设A点坐标为（x,y）,贝UAB=（1—x,0-y）=（—7,10）,
巩固已知AB=（-2,4），则下面说法正确的是（）
A.A点的坐标是（一2,4）
B.B点的坐标是（一2,4）
C.当B是原点时，A点的坐标是（一2,4）
D.当A是原点时，B点的坐标是（一2,4）
2.设平面向量a=（3,5）,b=（-2,1）,贝Ua-2b=（）
A.（6,3）B.（7,3）
C.（2,1）
3.若A（2,-1）,B（4,2）,C（1,5），则
答案与解析
1•【答案】D
•••a-2b=（3,5）-2（—2,1）=（3,5）-（-4,2）=（7,3）.
3.【答案】（一4,9）
【解析】•••A（2,-1）,B（4,2）,C（1,5）,
=（2,3）+2（-3,3）=（2,3）+（-6,6）=（-4,9）.
拔高ITTT
1.已知点A（2,3）,B（5,4）,C（7,10），若AP=AB+入AC（入€R），试求入为何值时,
（1）点P在第一、三象限角平分线上?
（2）点P在第三象限内？
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】设点P的坐标为（x,y）,
则aP=（x,y）-（2,3）=（x-2,y-3）,
AB+入AC=（5-2,4-3）+入（7,10）-（2,3）]=（3+5人1+7为.TAP=AB+XaC（入€R）,
••（x—2,y—3）=（3+5入1+7才,
x—2=3+5入
y-3=1+7入
x=5+5人
•\•P（5+5人4+7»
ly=4+7人
（1）若点P在第一、三象限角平分线上，
1
则5+5入=4+7入，故入=
解得f4
入＜—7,
故入＜—1,即只要入＜—1，点P在第三象限内.
课程小结堂小结
共线向量可能有以下几种情况：
（1）有一个为零向量；
（2）两个都为零向量；
（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；
（5）反向且模相等；（6）反向且模不等。
4
数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由I'||a|
III
确定。
它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。
向量的平行与直线的
平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没
有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。
向量的加、减、数乘运算统称为向
44
量的线性运算。
对于任意向量a,b，以及任意实数■，叫，恒有
T・44
（\a_」2b）二■fa
六、课后作业
基础
1.在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则四边形ABCD的形状一定是
—>—>—>
2.
已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3，贝U|AB+BC+AC|=
1.【答案】平行四边形
【解析】•/Ac=Ab+ebc=AB+Ad，•••Bc=ad.
•••四边形ABCD为平行四边形.
【答案】2.13
【解析】|AB+BC+AC|=AC+AC|=2AC|
=2.AB2+BC2=213.
3.【答案】BC
【解析】BC+DC+EBA=BC+AB+EBA=BC.
B（3,2），则xy=x2,则向量
1.巩固A（-1,-2）,B（2,3）,C（-2,0）,D（x,y），且AC=2BD，则x+y=2•若向量a=（x+3,x2-3x-4）与AB相等，其中A（1,2）,
a的坐标是
3.函数y=x2+2x+2按向量a平移所得图象的解析式为
答案与解析
（0,0），则a=（0,0）-（-1,1）=（1,-1）.
1.拔高P={aa=（1,0）+m（0,1）,m€R},Q={b|b=（1,1）+n（-1,1）,n€R}是两个向量集合，
贝Upnq=.
2.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使
BE=DF.求证：
四边形AECF是平行四边形.
答案与解析
1.
【答案】{（1,1）}.
x=1设a=（x,y）,贝VP=S（x,yp
L.Iy=m
•集合P是直线x=1上的点的集合.
同理集合Q是直线x+y=2上的点的集合，即P={（x,y）|x=1},Q={（x,y）|x+y-2=0}.
•PnQ={（1,1）}.
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