管理运筹学3.docx
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管理运筹学3
幻灯片1
管理运筹学
赵鹏举
中原工学院
幻灯片2
数学的魅力与实质
●数学的本质是处理抽象对象，是比语言更精炼、更严谨的符号系统。
是人类理性的集中体现。
●数学的方法是建立一个牢不可破的公理体系，并以演绎推理的方法去构建和扩展整个学科体系。
幻灯片3
数学大厦
●应用
●演绎方法
●公理体系
幻灯片4
数学的魅力与实质
●数学方法在自然科学体系中无处不在，并取得了光辉的成就。
●19世纪以后，数学被广泛深入地应用于社会科学领域。
●经济学、管理学领域的许多大师具有高超的数学技能。
幻灯片5
数学的魅力与实质
●本门课程不仅要学习一门课程，一套方法，更重要的是要学会理性分析问题的方法。
●培养逻辑思维能力和抽象思维能力。
●数学在发展的过程中遇到过许多问题，而且也并非确切无疑，大家要敢于质疑，敢于提问题。
幻灯片6
数学的魅力与实质
●一个例子：
●S=1-1+1-1+1…
●请问S等于多少？
幻灯片7
数学的魅力与实质
●至少有三种解法：
●1、S=（1-1）+（1-1）+（1-1）…
●2、S=1+（-1+1）+（-1+1）…
●3、1-S=1-（1-1+1-1…）
●=1-1+1-1+1-1…=S
得到2S=1，从而S=1/2。
幻灯片8
数学的魅力与实质
●事实上，这是一个争论未定的题目，反映了人类对自然认识的不足。
●无穷的概念存在许多不足之处，而且并非绝对精确。
不同的学派对无穷有着不同的认识。
幻灯片9
考核方法
●平时成绩占20%，每位同学的初始成绩都是60分（按100分为满分计算）。
●每次作业交上加1分，不交不加不减，拷贝别人作业一次扣2分。
●上课主动回答问题每次加2分。
●提出有价值问题或发现老师错误每次加5分。
幻灯片10
运筹学的体系和发展历史
●定义
●运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学
●它为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分析的工具
●运筹学应用分析、实验、量化的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理
●正式起源与二次世界大战，被称为Operationsresearch,日本人翻译为运做学，台湾人翻译为作业研究
幻灯片11
运筹学的体系和发展历史
●田忌赛马
●萌芽在20世纪初，Lanchester战斗方程。
丹麦工程师爱尔朗研究电话通讯系统时提出了一些排队论的公式。
●30年代，数学家列温逊运用运筹思想分析商业广告、顾客心理。
幻灯片12
运筹学的体系和发展历史
●二次世界大战中，英美科学家研究如何有效运用雷达，研究船队遇到袭击如何减少损失，以及如何使用深水炸弹等紧迫问题。
●应用：
德国潜艇被摧毁数增加到400%，船只中弹数由47%减少到29%。
●结果：
打赢了空战和海战，保证了二次世界大战的最终胜利。
幻灯片13
运筹学在现实生活中的例子
●企业安排生产计划
●库存管理
●公交系统优化
●食堂窗口设置
●电脑游戏，帝国时代、魔兽争霸等。
幻灯片14
运筹学的学科体系
●规划论：
包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
1947年，Danzig提出单纯形法，随后规划方法得到了广泛的应用。
●图论与网络分析：
图是研究离散事物之间关系的一种分析模型。
例：
有甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学参加ABCDEF六个项目的比赛，下表是各运动员报名参赛的项目，问6个项目顺序如何安排，作到每名运动员不连续参加两项比赛。
幻灯片15
运筹学的学科体系
A
B
C
D
E
F
甲
*
*
乙
*
*
*
丙
*
*
丁
*
*
戊
*
*
己
*
*
幻灯片16
运筹学的学科体系
●排队论：
研究公共服务系统的运行与优化的数学理论方法。
●决策论：
研究不确定情况以及风险情况下的决策。
●存储论：
研究企业的库存计划，进货周期等。
●博弈论：
研究竞争环境下决策者行为的数学方法。
幻灯片17
运筹学的工作步骤
●提出和形成问题：
弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量，相关参数等。
●建立模型：
把问题中的可控变量、参数、目标、约束之间的关系用一定的模型表示出来。
●求解：
用计算或实验方法求出问题的解。
●解的检验：
检查求解过程，检查解能否反映现实问题。
●解的实施：
将解运用到实际问题中。
幻灯片18
第一章线性规划
幻灯片19
本章内容
●线性规划模型
●线性规划问题的图解法
●单纯形法
●非标准形线性规划的解法
幻灯片20
线性规划模型
●规划问题：
就是否合理利用有限资源的问题。
●线性规划：
线性的规划问题。
两个意思：
●1、目标函数是线性的
●2、约束条件是线性的
●
幻灯片21
线性规划模型
●生产决策问题
●某汽车工厂生产大轿车和载重汽车两种型号的汽车,已知每辆汽车所用的钢材都是2吨/辆，该工厂每年供应的钢材为1600吨；工厂的生产能力是每2.5小时可生产一辆载重汽车，每5小时可生产一辆大轿车，工厂全年的有效工时为2500小时；已知供应给该厂大轿车用的座椅每年可装配400辆。
据市场调查，出售一辆大轿车可获利4000元，出售一辆载重汽车可获利3000元。
如何安排生产才能使工厂获利最大？
幻灯片22
线性规划模型
●建模型如下：
设大轿车数量为x1,载重汽车数量为x2。
s.t.是subjectto的简写，表示受限制于。
幻灯片23
线性规划模型
●某工厂在计划期间内生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示：
Ⅰ
Ⅱ
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
400Kg
原料B
0
1
250Kg
已知Ⅰ、Ⅱ两种产品每单位分别可以获利50元、100元，问工厂应该如何安排生产才能使工厂获利最多。
幻灯片24
线性规划模型
●设置变量：
生产Ⅰ产品x1个，Ⅱ产品x2个
●目标函数是利润最大化：
●资源是有限的，第一个限制是设备台时的限制：
幻灯片25
线性规划模型
●第二个限制是原材料A的限制：
●第三个限制是原材料B的限制：
●显然，产量不可能为负数：
幻灯片26
线性规划模型
●建模型如下：
设生产Ⅰ产品x1件,Ⅱ产品x2件。
幻灯片27
线性规划模型
●
（1），
（2）分别被称为目标函数和约束条件。
目标函数中变量的系数被称为价值系数，约束条件不等号右端称为资源向量或限定系数，约束条件左端变量的系数被称为技术系数。
●目标函数和约束条件都是一次幂函数，或称线性函数，因此这类规划问题被称为线性规划问题。
幻灯片28
线性规划模型
●例3：
生产卷烟的主要原材料包括烟叶和烟梗。
国家规定每千克焦油含量不超过15mg，烟气烟碱含量不超过1.4mg，现在知道每千克烟叶含焦油12mg，烟气烟碱1.5mg，烟梗含焦油18mg，烟气烟碱0.3mg，烟叶每千克50元，烟梗每千克20元，问如何搭配使生产成本最小。
幻灯片29
线性规划模型
●设每千克卷烟用烟叶x1千克，烟梗x2千克，模型如下：
这是目标函数一个求最小化的问题。
幻灯片30
线性规划的标准形
●为求解方便，一般线性规划都可以转化成如下标准形式：
要求
幻灯片31
线性规划的标准形
●目标函数为求最小化时，等式两端同乘以-1，变为求最大化。
●约束条件为<=时，加一个松弛变量，约束条件为>=时，减一个剩余变量。
●资源变量为负数时，等式两端同乘以-1。
●变量为<=0时，令
●变量无约束时，令
幻灯片32
线性规划的图解法
●以例1为例：
幻灯片33
线性规划的图解法
x2
800
400
x1
400
800
幻灯片34
线性规划的图解法
●从图中可以得到：
●x1=200,x2=600,z=2600
●最优解为：
生产200辆大轿车，生产600辆载重汽车，可获利润2600千元。
●钢材和工时全部用完，座椅剩余200套。
●
幻灯片35
几个概念
●凸集：
设k是n维欧氏空间中的一个点集，在集合中任意取两点x1,x2∈k。
如果这两点连线上的一切点都落在k中，则称k为凸集。
●角顶：
设k为凸集，x∈k，如果不能用不同的两点x1,x2∈k线性表出x，则称x为k的一个角顶。
●角顶可行解和角顶不可行解：
既是角顶解又是可行解的解称为角顶可行解，是角顶解而不是可行解的解称为角顶不可行解。
幻灯片36
图解法的几点启示
●线性规划的可行域必定为凸集或无界区域。
●线性规划的最优解必定在顶点取得。
●如果有多个最优解，那么至少有两个相邻的角顶可行解是最优解。
●角顶可行解的数目是有限的。
●如果一个角顶可行解的目标函数值比相邻的所有角顶解好，它就是最优解。
幻灯片37
解决线性规划问题的思路
●基本思路是在满足约束条件的前提下，从一个初始顶点开始，不断寻找改进目标函数的顶点，直到无法改进为止。
●步骤1：
从一个角顶可行解出发，判断相邻的角顶可行解是否比目前的点更好。
如果相邻的角顶可行解都劣与这个顶点，则说明这个点已经是最优解，算法结束。
●步骤2：
如果相邻的角顶可行解更好，就向这个点移动。
重复步骤1。
幻灯片38
线性规划问题解的基本概念
●可行解：
满足约束条件解称为可行解，对应图解法的阴影部分。
●基：
约束条件中任意一个m阶非奇异子矩阵确定一个线性规划问题的基。
对应图解法中的顶点。
●基可行解：
既是可行解又是基解称为基可行解。
●最优解：
满足目标函数和约束条件的解称为最优解。
幻灯片39
单纯形法
●求解单纯形法的步骤
●单纯形表法
●单纯形表法中的一些特殊情况
幻灯片40
求解单纯形法的步骤
●步骤1：
将模型转化为标准形。
●步骤2：
找到一个初始可行基，列出初始单纯形表。
●步骤3：
判断初始可行基是否最优。
如果是最优解则结束，否则转步骤4。
●步骤4：
如果不是最优，则通过一定的规则将一个变量换出，另一个变量换入，构成一个新的基解。
转步骤3。
幻灯片41
求解单纯形法的步骤
x2
800
400
x1
400
800
幻灯片42
求解单纯形法的步骤
●图形解法只能解决2维的线性规划问题（仅有两个变量）。
●对超过3维的情况，既无法在平面上画出图形，也无法进行直观的想象。
●根据图形解法的启示，提出单纯形法解决线性规划问题的基本思路。
幻灯片43
单纯形表法
●步骤2：
找到一个初始可行基。
即寻找一个m阶的非奇异子矩阵。
●从标准形的线性规划问题中可以看出，x3,x4,x5构成了一个3阶的单位矩阵，把这三个变量作为初始可行基。
●列出初始单纯形表。
幻灯片44
单纯形表法
●以例一为例：
幻灯片45
单纯形表法
●步骤1：
首先转化为标准形式：
添加松弛变量。
幻灯片46
单纯形表法
●列出初始单纯形表：
幻灯片47
单纯形表法
●步骤3：
确定换入换出变量。
方法：
●先确定换入变量，计算检验数zj-cj，计算方法：
，cj为对应xj的系数。
以最负的检验数对应的系数列作为主列元素。
●随后确定换出变量，计算检验数θ，计算方法：
，选择θ值最小的行对应的主列元素作为换出变量。
幻灯片48
单纯形表法
●确定换入换出变量：
幻灯片49
单纯形表法
●步骤4：
以主元素为中心，进行迭代运算。
幻灯片50
单纯形表法
●检验数仍然有负数，继续确定换出换入变量
幻灯片51
单纯形表法
●迭代运算
幻灯片52
单纯形表法
●继续迭代：
幻灯片53
单纯形表法
●从表中可以看出，检验数全部为正数或零，说明已达到最优。
●求得最优解为：
●x1=200，x2=600，x3=0，x4=0，x5=200，Z=2600。
●生产方案为：
生产大轿车200辆，生产载重汽车600辆，剩余座椅200套，利润为2600千元。
幻灯片54
单纯形表法
●思考题
●1、用单纯形法求解线性规划问题时为什么要首先转化为标准形？
2、为什么要选择松弛变量作为初始可行基，能不能任意选择几个变量作为初始可行基？
幻灯片55
作业
●求解线性规划问题：
幻灯片56
作业
●某工厂在计划期内要生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及甲、乙两种原材料的消耗如下表所示：
A
B
设备
1
2
8台时
原材料甲
4
0
16公斤
原材料乙
0
4
12公斤
幻灯片57
作业
●该工厂每生产一件产品A可以获利2元，每生产一件产品B可以获利3元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多？
●要求：
建立线性规划模型并用单纯形法求解。
幻灯片58
单纯形表法
●例2：
用单纯形表法求解线性规划问题：
幻灯片59
单纯形表法
●步骤1：
首先转化为标准形式：
添加松弛变量。
幻灯片60
单纯形表法
●步骤2：
找到一个初始可行基。
从标准形的线性规划问题中可以看出，x3,x4,x5构成了一个3阶的单位矩阵，把这三个变量作为初始可行基。
●列出初始单纯形表。
幻灯片61
单纯形表法
●列出初始单纯形表：
x1x2x3x4x5
b
θ
xCj
50100000
11100
21010
01001
zj
zj-cj
幻灯片62
单纯形表法
●步骤3：
确定换入换出变量。
●确定换入变量，计算检验数zj-cj，计算方法：
，cj为对应xj的系数。
以最负的检验数对应的系数列作为主列元素。
●随后确定换出变量，计算检验数θ，计算方法：
，选择θ值最小的行对应的主列元素作为换出变量。
幻灯片63
单纯形表法
●确定换入换出变量：
幻灯片64
单纯形表法
●步骤4：
以主元素为中心，进行迭代运算。
幻灯片65
单纯形表法
●检验数仍然有负数，继续确定换出换入变量
x1x2x3x4x5
b
θ
xCj
50100000
[1]010-1
2001-1
01001
zj
0100000
25000
zj-cj
-500000
幻灯片66
单纯形表法
●迭代运算
x1x2x3x4x5
b
θ
xCj
50100000
1010-1
00-211
01001
zj
5010050050
27500
zj-cj
0050050
幻灯片67
单纯形表法
●检验数全部大于等于0，已经求得最优解。
●最优解为：
x1=50,x2=250,x3=0,x4=50,x5=0;
●Z=27500
幻灯片68
单纯形表法
●例3：
某工厂在计划期内要生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及甲、乙两种原材料的消耗如下表所示：
A
B
设备
1
2
8台时
原材料甲
4
0
16公斤
原材料乙
0
4
12公斤
幻灯片69
单纯形表法
●该工厂每生产一件产品A可以获利2元，每生产一件产品B可以获利3元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多？
●要求：
建立线性规划模型并用单纯形法求解。
幻灯片70
单纯形表法
●A产品的产量设为x1，B产品的产量设为x2，建立模型如下：
幻灯片71
单纯形表法
●最终单纯形表为：
幻灯片72
单纯形表法中一些问题
●如果两个θ相同，有可能产生退化现象（死循环），可以用摄动法求解，就是选下标最小的变量作为换出变量。
●有一个以上的非基变量为0时，说明有无穷多解，这时换入换出变量做完之后Z值不变，这时两个点连线上的任何一点都是最优解。
●主列元素全部为负数或0时，这时θ值无法计算，也无法确定换出变量，则此时说明有无界解，此时检查你的计算过程看前面计算是否出现错误，或检查建模是否有错误。
幻灯片73
思考题
●当变量无约束时，需要做变换：
●请问，会同时出现在最终单纯形表中吗？
为什么？
幻灯片74
单纯形法的进一步讨论
●目标函数求最小化时，有两种解决方法：
●1、目标函数左右同乘以-1，变成求最大化的问题。
2、直接用单纯形法计算，但是检验规则改变，以正的检验数对应的变量作为换入变量，当全部检验数为负数时迭代结束。
幻灯片75
单纯形法的进一步讨论
●当约束条件出现等号约束时，无法通过增加松弛变量的方法产生初始可行解，这时要使用增加人工变量的方法来产生初始可行基。
●由于人工变量在最终解中必须为0，否则无法满足约束条件，如何使人工变量在最优解中为0？
●用大M法。
幻灯片76
大M法
●当目标函数是求极大值时，令人工变量在目标函数中的系数为-M，其中M是一个非常大的正数。
●这样，如果人工变量不为0，则目标函数就无法取到最优。
●当目标函数是求最小时，令人工变量在目标函数中的系数为M（为什么？
）。
幻灯片77
大M法
●例4：
幻灯片78
大M法
●化为标准形，约束条件变为：
幻灯片79
大M法
●系数行列式为：
●这时无法直接在系数矩阵中找到一个初始可行解。
●把第三个约束条件添加一个人工变量。
幻灯片80
大M法
●约束条件：
●变为：
●由这两个式子可以看出x5必定等于0。
幻灯片81
大M法
●系数行列式变为：
●出现了一个三维的单位矩阵，可以用单纯形法求解了，但还要保证x5=0，所以目标函数变形为：
幻灯片82
大M法
●列出初始单纯形表：
幻灯片83
大M法
●迭代计算
幻灯片84
大M法
●迭代运算
x1x2x3x4x5
b
θ
xCj
3500-M
10100
0031-1
01-1.500.5
zj
35-4.502.5
27
zj-cj
00-4.502.5+M
幻灯片85
大M法
●迭代计算
x1x2x3x4x5
b
θ
xCj
3500-M
100-1/31/3
0011/3-1/3
0101/20
zj
3501.51
36
zj-cj
0001.5M+1
幻灯片86
大M法
●大于等于约束条件
●当出现大于等于约束条件时，首先添加一个剩余变量，使约束条件变为等式约束，然后再添加一个人工变量，用大M法求解。
●常数项为负数时，先在等式两边同乘-1，使资源变量变为正数，然后再根据相应情况进行处理。
幻灯片87
趣味数学
●这是基诺未能想出来的又一个悖论。
一条蠕虫在橡皮绳的一端。
橡皮绳长一公里。
●蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。
在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里。
再过一秒钟后，它又拉长为3公里，如此下去。
蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？
幻灯片88
作业
●将本问题转化为标准形，并列出初始单纯形表。
幻灯片89
作业
●求解线性规划问题：
幻灯片90
第二章对偶理论和灵敏度分析
幻灯片91
本章内容
●对偶问题的提出
●原问题与对偶问题
●原问题与对偶问题的转化
●影子价格
●对偶问题的求解
●灵敏度分析
幻灯片92
对偶问题的提出
●对偶现象
●无论是从理论还是实践，对偶问题是线性规划最重要和最有趣的概念和理论
●刻划四边形面积与周长之间的关系
●周长一定的四边形中，面积为最大
●面积一定的四边形中，周长为最小
●一种现象的两种提法
●线性规划问题
●原问题：
求目标最大
●对偶问题：
求目标最小
幻灯片93
对偶问题的提出
例1
美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品的生产，已知生产单位产品所需的设备A、B、C台时如下。
该公司每生产一单位产品Ⅰ、Ⅱ可获利50元、100元。
问：
如何达到利润最大？
幻灯片94
对偶问题的提出
●例1的决策问题：
生产多少个Ⅰ产品和Ⅱ产品才能使利润达到最大
●设决策变量x1为生产Ⅰ产品的数量，x2为生产Ⅱ产品的数量
●最大利润：
maxz=50x1+100x2
●约束条件：
●x1+x2≤300
●2x1+x2≤400
●x2≤250
●x1，x2≥0
幻灯片95
对偶问题的提出
出赁设备，确定合理租金？
生产产品，创造最大利润？
出赁设备总租金不应低于原利润
全部设备的总租金越低越好
幻灯片96
对偶问题的提出
●设决策变量y1,y2,y3为设备A、B、C每台时的租金
●最小租金：
minf=300y1+400y2+250y3
幻灯片97
原问题与对偶问题
●原问题
●某企业有m种资源，生产n种产品
●各种资源的拥有量为bi,xj为产量,aij为生产第j种产品所消耗第i种资源的数量，cj为产值
幻灯片98
原问题与对偶问题
●对偶问题
●出让资源，获取回报，付出代价
●条件：
同等数量资源出让的代价应不低于组织生产的产值
●yi出让第i种资源付出的代价
幻灯片99
原问题与对偶问题
两者的关系
幻灯片100
原问题与对偶问题的转化
●例2.写出下列问题的对偶问题及对偶的对偶问题
幻灯片101
原问题与对偶问题的转化
●对偶问题
●对偶的对偶问题
幻灯片102
原问题与对偶问题的转化
●目标函数求最小
●等式约束
●xj≤0
●xj取值无约束
幻灯片103
原问题与对偶问题的转化
●例3写出下述线性规划的对偶问题
幻灯片104
原问题与对偶问题的转化
●对偶问题
幻灯片105
影子价格
●原问题与对偶问题的重要性质
●Yi对一个第i种资源的估价，不是资源的市场价格
●是企业根据资源在生产中作出的贡献的估价
●影子价格：
对资源在生产中作出的贡献的估价
●对偶变量Yi
●单位资源在最优利用条件下所产生的经济效果
●特征
●影子价格依赖于资源利用情况，是未知量。
随生产任务、产品结构情况变化。
幻灯片106
影子价格
●一种边际价格：
●yi的值相当于在给定的生产条件下，bi每增加一个单位时，目标函数z的增加量
●一种机会成本
●当市场价格低于影子价格时，购进资源，增加生产，提高利润
●当市场价格高于影子价格时，出售资源，提高利润
●随着影子价格的
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