届高考数学第一轮函数的应用专项复习教案.docx
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届高考数学第一轮函数的应用专项复习教案
2012届高考数学第一轮函数的应用专项复习教案
211函数的应用
●知识梳理
解函数应用问题的基本步骤：
第一步：
阅读理解，审清题意
读题要做到逐字逐句，读懂题中的字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题
第二步：
引进数学符号，建立数学模型
一般地，设自变量为x，函数为，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型
第三步：
利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果
第四步：
将所得结果再转译成具体问题的解答
●点击双基
1某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价
A10%B9%11%D11%
解析：
设提价x%，则a（1－10%）（1+x%）=a，∴x=11
答案：
D
2今有一组实验数据如下：
t199********
v14047121801
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
Av=lg2tBv=lgtv=Dv=2t－2
解析：
特值检验，如：
当t=4时，v==7
答案：
3用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A3B46D12
解析：
设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为，=x×=2x（6－x），∴当x=3时，最大
答案：
A
4已知镭经过100年剩留原质量的976%，设质量为1的镭经过x年后剩量为，则x、之间的函数关系式为______________
答案：
=0976
建筑一个容积为80003、深6的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价元表示为底的一边长x的函数，其解析式为___________，定义域为___________底边长为___________时总造价最低是___________元
解析：
设池底一边长x（），则其邻边长为（），池壁面积为2•6•x＋2•6•＝12（x＋）
（2），池底面积为x•＝
（2），根据题意可知蓄水池的总造价（元）与池底一边长x（）之间的函数关系式为
＝12a（x＋）＋a定义域为（0，＋∞）
x＋≥2＝（当且仅当x=即x=时取“=”）
∴当底边长为时造价最低，最低造价为（160a＋a）元
答案：
=12a（x+）+a（0，+∞）160a+a
●典例剖析
【例1】
（1）一种产品的年产量原是a，在今后年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式
（2）一种产品的成本原是a元，在今后年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式
解：
（1）设年产量经过x年增加到，则＝a（1＋p%）x（x∈Ｎ*且x≤）
（2）设成本经过x年降低到元，则＝a（1－p%）x（x∈Ｎ*且x≤）
特别提示
增长率问题是一重要的模型
【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：
级数全月纳税所得额税率
1不超过00元部分%
2超过00元至2000元部分10%
3超过2000元至000元部分1%
………
9超过10000元部分4%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；
（3）某人一月份应缴纳此项税款2678元，则他当月工资总收入介于
A800~900元B900~1200元
1200~100元D100~2800元
（1）解：
依税率表，有
第一段：
x•%，0＜x≤00，
第二段：
（x－00）×10%+00×%，00＜x≤2000，
第三段：
（x－2000）×1%+100×10%+00×%，2000＜x≤000，
即f（x）=
（2）解：
这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，f（2200）=01×（2200－2000）+17=20，即这个人10月份应缴纳个人所得税20元
（3）解法一：
（估算法）由00×%=2元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选
解法二：
（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或100元，则其应纳税款分别为400×%=20（元），00×%+200×10%=4（元）可排除A、B、D，故选
答案：
评述：
本题也可以根据纳税额计算公式直接计算
特别提示
分段函数在新标中占有重要地位
【例3】某地区上年度电价为08元/（千瓦•时），年用电量为a千瓦•时本年度计划将电价降到0元／（千瓦•时）至07元／（千瓦•时）之间，而用户期望电价为04元／（千瓦•时）经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）该地区电力的成本价为03元／（千瓦•时）
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价x的函数关系式；
（2）设＝02a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注：
收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕
解：
（1）设下调后的电价为x元／（千瓦•时），依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为＝（＋a）（x－03）（0≤x≤07）
（2）依题意有
整理得
解此不等式得060≤x≤07
答：
当电价最低定为060元／（千瓦•时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%
深化拓展
某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用试问：
能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？
写出你的结论，并说明理由
提示：
设全年的运输和保管总费用为元，
则=×400+•（2000x）据题设，x=400时，=43600，解得=%
∴=+100x≥2=2400（元）
因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用
答案：
每批购入120台可使资金够用
【例4】（2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：
A公司允诺第一年月工资数为100元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增%设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？
并说明理由
剖析：
第
（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果第
（2）问应注意的是年工资总量第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为n=1270+230n－2000×10n－1，需要转化为n＞n－1，n＞n+1，则n最大
解：
（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=100+230×（n－1）（n∈N*），bn=2000•（1+%）n－1（n∈N*）
（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+…+a10）=304200（元）；
若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+…+b10）≈301869（元）
因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司
（3）问题等价于求n=an－bn=1270+230n－2000×10n－1（n∈N*）的最大值
当n≥2时，n－n－1=230－100×10n－2
当n－n－1＞0，即230－100×10n－2＞0时，10n－2＜23，得n＜191
因此，当2≤n≤19时，n－1＜n；当n≥20时，n≤n－1
∴19是数列{n}的最大项，19=a19－b19≈827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元
●闯关训练
夯实基础
1某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是答案：
D
2某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润万元与营运年数x（x∈N）的关系为=－x2+12x－2，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大
A2B4D6
解析：
设年平均利润为g（x），则g（x）==12－（x+）∵x+≥2=10，∴当x=，即x=时，g（x）ax=2
答案：
3某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________（lg2=03010，lg1149=10602）
解析：
设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4
两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2
∴lg（1+x）==00602∴1+x=1000602
又∵lg1149=10602，∴1149=1010602=10•1000602
∴1000602=1149因此1+x=1149，x=0149=149%
答案：
149%
4某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：
R（Q）=4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________（总利润=总收入－成本）
解析：
L（Q）=4Q－Q2－（200+Q）=－（Q－300）2+20
答案：
20300
（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为万元
（1）写出与x之间的函数关系式；
（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？
分析：
本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力
（1）解：
依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，
而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，∴=（1≤x≤10）
（2）解法一：
为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，=f（x）为增函数
设1≤x1＜x2≤10，则f（x1）－f（x2）=－
==
∵1≤x1＜x2≤10，a＞0，∴由f（x1）＜f（x2），得88800－3180a＞0
∴a＜≈279又∵a∈N*，∴a=27
解法二：
∵=（）=［1+］，
依题意得3－＜0，∴a＜≈279
∵a∈N*，∴a=27
答：
该村每年人口的净增不能超过27人
培养能力
6（200年春季北京，19）经过长期观测得到：
在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度v（/h）之间的函数关系为=（v＞0）
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？
最大车流量为多少？
（精确到01千辆/时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：
（1）依题意，=≤=，
当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ax=≈111（千辆/时）
（2）由条得＞10，
整理得v2－89v+1600＜0，
即（v－2）（v－64）＜0解得2＜v＜64
∴当v=40/h时，车流量最大，最大车流量约为111千辆/时如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于2/h且小于64/h
7（2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：
小时，可不为整数）
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
解：
（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人
∴g（x）=，h（x）=，
即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）
（2）g（x）－h（x）=－=
∵0＜x＜216，∴216－x＞0
当0＜x≤86时，432－x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432－x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）
∴f（x）=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值
当0＜x≤86时，f（x）递减，∴f（x）≥f（86）==
∴f（x）in=f（86），此时216－x=130
当87≤x＜216时，f（x）递增，∴f（x）≥f（87）==
∴f（x）in=f（87），此时216－x=129∴f（x）in=f（86）=f（87）=
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129
探究创新
8现代社会对破译密的难度要求越越高，有一种密码把英的明（真实）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：
ishusuess，分组为i，sh，，us，u，e，ss得到
,,,,,,
其中英的a，b，，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26这26个自然数，见表格：
abdefghil
123467*********3
npqrstuvxz
141161718192021222324226
给出如下一个变换公式将明转换为密如
→→，即e变成（说明：
29÷26余数为3）
又如→→，即i变成a（说明：
41÷26余数为1，10÷26余数为1）
（1）按上述方法将明star译成密；
（2）若按上述方法将某明译成的密是i，请你找出它的明
解：
（1）将star分组：
st，ar，对应的数组分别为，
由得→，→
∴star翻译成密为gg
（2）由得
将i分组：
，i，对应的数组分别为，,由得→→，→
∴密i翻译成明为gd
●思悟小结
1数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题，也就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型研究实际问题
2所谓数学模型，简单地说，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂
●教师下载中心
教学点睛
1在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力；有利于对数学思想方法的应用；有利于培养学生的用数学意识
2用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：
拓展题例
【例1】（2002年春季高考）用一张钢板制作一个容积为43的无盖长方体水箱可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是
A2×B2×2×61D3×
解析：
设水箱底长a，宽b，高h，则abh=4，
∴h=∴S=ab+2ah+2bh=ab++≥3=12，当且仅当a=b时等号成立
∴至少要钢板122
答案：
评述：
若a、b、∈R+，则有a+b+≥3，当且仅当a=b=时等号成立
【例2】（2001年春季高考）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为12万元／辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应地提高比例为07x，同时预计年销售量增加的比例为06x已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解：
（1）由题意得＝［12×（1＋07x）－1×（1＋x）］×1000（1＋06x）（0＜x＜1），
整理得＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）
（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须
即解得0＜x＜
∴为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜033
评述：
本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力
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