数值分析简单习题剖析.docx
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数值分析简单习题剖析
重点考察内容
第一章：
基本概念
第二章：
Gauss消去法，Lu分解法
第三章：
题型：
具体题+证明，误差分析
三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明
第四章：
掌握三种插值方法：
拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数
第五章：
最小二乘法计算
第六章：
梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析
高斯求积公式的构造
第七章：
几种常用的迭代格式构造，收敛性证明
第九章：
简单欧拉法
基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）
第一章误差
1.科学计算中的误差来源有4个，分别是,,,。
2.用Taylor展开近似计算函数f（x）：
、f（x0）f'（x0）（x-x0），这里产生是什么误差？
3.0.7499作3的近似值，是位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有几
4
位有效数字，相对误差限为.0.0032581是四舍五入得到的近似值，有
位有效数字.
4.改变下列表达式，使计算结果比较精确：
（1）占-片‘|xL1
（2）+|x|j1
1+2x1+xYxYx
1_cosx--
（3）,x=0,|x|L1.（4）sin二「sin:
x：
x
5.采用下列各式计算（、、2-1）6时，哪个计算效果最好？
并说明理由。
11
（1）6
（2）99-70,2（3）（3-2、月）6（4）3
（V2+1）6（3+2问3
6.已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。
上机实验题：
k
x匸Xx
1、利用Taylor展开公式计算e，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数
k£k!
值.分别取x=1,5,10,20,-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合
理请分析原因并给出解决方法.
1n
2、已知定积分ln=J^dx,n=0,1,2,卅,20,有如下的递推关系
‘°x+6
可建立两种等价的计算公式
11
（1）In61nd,取I。
=0.154；
（2）Inv一（1-nIn）,取I20=0.
n6n
来计算I1,l2,l3」4，川丄9，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析
第二章插值法
1.已知f（0）=2,f
（1）=_1，那么差商f[1,0]=.
2.n阶差商与导数的关系是f[xo,X!
H|,Xn]=.
3.由导数和差商的关系知，f[Xj,Xj]=。
4.已知函数f（x）在x=3,1,4的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。
5.取节点X。
=0,为=1,x^2,对应的函数值和导数值分别为f（X0）=1,
f（x,）=2,f'（x,）=2，试建立不超过二次的插值多项式。
（如果将最后一个条件改为
f'（X2）二2，插值多项式如何计算？
）
6•已知f（0）=1,f
（1）=2,f'
（1）=3,f
（2）=9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项•
7.设f（x）・C4[a,b],求三次多项式P3（x）,使之满足插值条件
p（xj=f（xj,"0,1,2
p'（N）二f'（xj
8.设R（x）是过《,疋的一次插值多项式，f（x）wC2[a,b],其中[a,b]是包含x°,X1的任一区间。
试证明：
对任一给定的x•[a,b]，在（a,b）上总存在一点，使得
f牡）
R（x）=f（x）-R（x）（x-xd（x-x）。
2!
9.证明关于互异节点｛xj雋的Lagrange插值基函数｛liX总满足恒等式
l°（x）h（x）川ln（x）=1
上机习题：
1.绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。
第三章数据拟合
1.数据拟合与插值的区别是什么?
2.最小二乘原理是使偏差5i的达到最小
3.求过点（2,3）,（0,1）,（3,5）的线性拟合函数。
4.用最小二乘法求一形如y二a，bx2的多项式，使与下列数据相拟合
X
19
25
31
38
44
y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
第四章线性方程组的直接解法
1.线性方程组的解法大致可分为，
2.平方根法和1。
「分解法要求系数矩阵A满足。
3.上三角和下三角方程组的解法分别称为，
4.严格对角占优矩阵的定义是什么？
5.
试求下面矩阵的杜利特尔分解
213
（2）457
（3）
'-285」
上机实验题：
1.编程实现列主元的高斯消去法
2.编程实现LU分解法
第五章线性方程组的迭代解法
1.向量X=（3,2,_1,_7）t，计算||x|1,||x|2,||X||：
：
.
31-2
2.A=010，计算||A||i,||A|2,|内匚.
J26」
3.A=20,分别计算A的谱半径珥A）,条件数cond.（A）,||A|1
||03'1
4.矩阵A的范数与谱半径的关系为。
5.求解AX=b的迭代格式x（f=Bx（k）+g收敛的充分必要条件。
6.SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子。
7.写出下面方程的Jacobi迭代格式
10x1-x?
-2x^—7
-x-i10x2-2x3=8
_x25x3=4
8.给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛
（1）
5x「2x3二7
2x1x2=8
15x1-5x2x3=2
（2）-5x112x^8
I
X1X3=5
9.对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：
先调整方程组）
_16
3-2
41
6x2=
T丄X3」
10.给定方程组
-2X1
1x2
1
「1〕
2
'1j
（1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。
（2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散
上机实验题:
10捲一x2-2X3=7
1.求解方程组：
-x-i10x2_2x3=8
_x〔-x?
5X3二4
以x（0）=（1,1,1）T为初值，当||x（k°-x（k）11/10^时迭代终止。
（1）编写Jacobi迭代法程序
（2）编写Gauss-Seidel迭代法程序
第六章数值积分与数值微分
1.fbf（x）dx的梯形求积公式是，Simpson公式是，其代数精度分别为
a
，0
2.n点Gauss求积公式的代数精度为.
3.确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度
h
（1）上f（x）dx：
Af（-h）AJ（0）Af（h）
11
（2）.J（x）dx[f（-1）2f（xJ3f（X2）]
A3
1
（3）.°f（x）dx：
人f（0）Af
（1）B°f'（0）
1
4.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Gauss求积公式计算积分exdx，并估
计各种方法的误差。
1
5.写出f（x）dx二点和三点的Gauss-Legendre求积公式.
・-1
6.分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分.
1x
0厂dx,（n=8）
04x
11
7.确定求积公式（°f（x）dx肚（才）+Af
（1）的求积公式，并求其代数精度。
8.构造如下形式的Gauss求积公式：
+
1
9.构造如下形式的Gauss求积公式：
.f（x）dx生Af（X0）+Af（X1）.
上机实验题：
1.编程实现五点Gauss积分算法。
第七章非线性方程与非线性方程组的解法
1.求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是割线法的收敛阶是
2.确定下列方程的有根区间
⑴2x‘-7x2=0
⑵e公x-2=0
5•建立计算a,（a0）的牛顿迭代格式，并求.10，保留4位有效数字。
（迭代求解3次即可）
6.用不动点迭代法计算'..2•,：
2•川•、2•2的近似值.
1
7.设初值冷=0,计算—,（a=0）的迭代格式
试证：
a
x<1二Xk（2-axj,k=0,1,2,III。
（1）此迭代格式二阶收敛.
（2）此迭代格式收敛的充分必要条件为|1-axo卜：
1.
上机实验题:
1.用割线法求方程x32x210^2^0的根，要求|xk1-xk卜：
10』
第八章常微分方程初值问题的数值解法
〔V’=X+V
1.求解常微分方程Fy的Euler公式为，其局部截断误差
I.V（0）=1
的阶数为整体截断误差的阶数为.（设步长为h）
2.应用向前欧拉格式求解初值问题
y'=x-y1,
V（0）-1
取步长h=0.1，将计算结果与精确解y=x•对照.
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