小学数学5升6暑假拔高衔接.docx
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小学数学5升6暑假拔高衔接
第一部分五年级课本知识复习与提高
第1讲数的整除
整数a除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
数的整除的特征：
1.能被2（或5）整除的数：
一个数个位上的数能被2（或5）整除，这个数就能被2（或5）整除。
2.能被4（或25）整除的数：
一个数末两位数能被4（或25）整除,这个数就能被4（或25）整除。
3.能被8（或125）整除的数：
一个数末三位数能被8（或125）整除,这个数就能被8（或125）整除。
4.能被3（或9）整除的数：
若一个整数的各位上数字的和能被3（或9）整除,则这个数就能被3（或9）整除。
5.能被7整除的数：
把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中,减去个位数的2倍,若差是7的倍数，则原数能被7整除；若差太大或心算不易看出是不是7的倍数，就需要继续重复上述过程，直到能清楚判断为止。
例：
判断133和6139是不是7的倍数
6.能被11整除的数：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数就能被11整除。
7.能被13（或7,11）整除的数：
一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）,能被13（或7,11）整除,这个数就能被13（或7，11）整除。
例：
12811494146
整除的性质：
a，b，c都是自然数（a>b）,且a能被c整除,b也能被c整除，那么a+b能被c整除,a-b也能被c整除。
【重点点拨】
【例1】在□内填上适当的数，使下面数能被4整除。
、
25□17□4251□4□00□
【例2】在□内填上合适赚，使下面的数能被9整除。
8□4597□8□2
【例3】在□内填上合适的数，使下面的数能同时被8,9,25整除。
□1994□□
【例4】在75938□□的方框中填什么数字，就能被45整除？
填什么数字就能被36整除？
【例5】六位数a8919b能被33整除，求a与b分别是多少？
【例6】证明：
任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
【培优高手】
1.在□里填上适当的数，使下面的数能被25整除。
100□17□□257□415□
2.在□内填上适当的数，使下面的数能被8或125整除。
3924□7□3924□7□
3.在□内填上合适的数，使下面的数能被9整除。
222□5□□44
4.有两堆糖果，第一堆有535块，第二堆有825块，哪一堆可以平均分给15个小朋友？
5.在□内填上合适的数，使下面的数能同时被3,4,5整除。
1919□4□
6.六位数865□□□能被3,4,5整除，要使这个数尽可能的小，□里应怎样填？
865□□□
7.在6927□□的方框中填什么数字能被18整除？
填什么数字就能被90整除？
6927□□6927□□
8.某小学五年级（3）班期中数学考试的平均成绩是90分,总分是A95B，这个班有多少名学生？
9.一个六位数325A6B能被88整除，则A与B分别是多少
10.只修改21475的某一数字，就可以使修改后的数能被225整除，怎样修改
11.甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，试说明：
三数之和、三数之积都能被3整除。
12.已知数
能被18整除，那么n的最小值是多少
第2讲找规律
找规律的题中有些规律是周期问题中的规律,有些不是,有关周期问题的规律,可以按照面的方法解决：
1.解决周期问题,先要判断出不断重复出现的部分,也就是周期。
2.用总数除以周期的个数,如果能整除,最后一个数就是周期的最后一个数；如果有余数，余几就从每个周期的第一个数开始往下数,数到几，那个位置的数即为最后一个数。
周期问题关键是找到周期排列的规律。
无论是一列数字、图形或者是表格等，都需要根据周期的规律，用总数除以周期的固定数，判断余数。
用周期问题的原理推算日期,要注意每个周期的起始点，千万不要认为都是从星期一到星期日。
^
其他的有关找规律的题目，需要根据具体的题目,通过实际的操作，来发现相同类型题目的规律。
【重点点拨】
【例1】
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
…
北
京
奥
运
会
北
京
奥
运
会
北
京
…
2
0
0
8
2
0
0'
8
2
0
0
8
…
表格里上、中、下一列为一级，第一组是（A，北，2），第二组是（B，京，0），那么第88组是什么？
【例2】甲在3月上旬过生日，乙在4月下旬过生日，他俩的生日日期数的和是31。
已知甲、乙今年的生日都是星期二，你能说出甲、乙各是哪天出生的吗？
【例3】2017年的1月1日是星期一，不看日历你能很快知道2017年的教师节（9月10日）是星期几吗？
【例4】100个人，站成一排，从左到右进存“1，2”浙数，报“1”的走开，剩下的人继续进行“1，2”报数，如此下去只剩下最后一个人为止。
间最后一个人站在从左往右数的第几个？
【例5】甲、乙两人轮流报数，从1开始，每人每次可报1?
4个数，不许不报。
先报到50的人获胜，问：
甲怎样才能获胜？
【例6】下图中，200在什么位置？
1
2
5
10
17
…
4
3
6
11
18
…
9
8
7
12
19
…
16
15
14
13
20
…
25
24
23
22
21
…
…
…
…
…
…
…
【培优高手】
1.请你伸出左手，手心朝上，按顺序数数。
大姆指为1，食指为2,中指为3,无名指为4,小拇指为5,然后反向，无名指为6,中指为7,食指为8,大拇指为9,再换向，食指为10……如此数下去，那么数到2000是哪根手指？
2.某年的2月份有5个星期日，这一年的六一儿童节是星期几
3.将数列1，4，7，10，13,…依次如图排成若干行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第几行第几列？
1
4
1
10
13
…
28
25
22
19
16
…
31
34
37
40
43
…
58
55
52
49
46
…
…
…
…
…
…
…
4.甲、乙两人给一根3米长的木棍涂色。
首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底。
然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底。
最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？
5.袋中放着100枚棋子，甲、乙两人轮流取，甲先乙后，每人每次可取1?
3枚，谁取得最后一枚谁获胜。
谁能必胜，请说出必胜的策略。
6.五
（2）班有54人，排成一行，从“1”到“54”依次编号。
从“1”号开始,“1，2”号报数，报“1”的走开，剩下的人继续进行“1，2”的报数，如此下去只剩下最后一个人为止。
问:
最后一个人站在从左往右数的第几个位置？
7.五
（2）班有54人，排成一行，从“1”到“54”依次编号。
从“1”开始，“1，2，3”号报数，报“1，2”号的人离开。
剩下的人继续“1，2，3”的报数，如此下去只剩下最后一个人为止。
问:
最后一个人站在从左往右的第几个位置？
8.根据下面的规律，第50个序号的算式是什么？
算式1+107的序号是多少
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
算式
1+1
2+3
3+5
1+7
2+9
3+11
1+13
2+15
3+17
…
9.一串数按下面规律排列：
1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，…，从第1个数起，前99个数的和是多少？
10.如下图，将部分自然数从小到大的顺序排列成螺旋形，在2处拐第1个弯，在3处拐第2个弯，在5处拐第3个弯，那么拐第15个弯的地方的数是多少？
20
7
8
9
10
19
6
1
2
11
18
5
4
3
12
17
16
15
14
13
第3讲解决问题的策略
这一讲的策略主要涉及还原和列举两种策略。
1.有些题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初的状态，这类数学问题顺向思考很难解答，如果能从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，这样的题目用还原的策略解决比较方便。
2.有些问题的答案有多冲，用算式不容易表示,可以用一一列举的方法解决。
用列举法解题要注意以下几点：
①列举时应有条理,保证既不遗漏重复。
②根据题意，可以将较复杂的问题分类考虑，或者排除不符合条件的情况，缩小列举的范围。
③用列举的方法将已知条件排列起来后，还要仔细看看能否找出规律。
【重点点拨】
【例1】红、黄、蓝三种不同颜色的小旗各一面，按不同的顺序排列表示不同的信号，这三种小旗可以表示多少种不同的信号？
【例2】用0,4,7,3四个数字组成一个三位数，可以组成多少个不同的偶数？
【例3】1到100共100个自然数中，含有数字1的数共有多少个？
【例4】一个长方形的周长是50厘米，且长和宽都是整数，当长和宽分别是多少时它面积最大？
当长和宽分别是多少时，它的面积最小？
【例5】商场出售彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还剩95台。
商场原来有彩电多少台？
【例6】有甲、乙两堆小球，各有若干个，先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。
这时甲、乙两堆各有小球16个。
问：
甲、乙两堆最初各有球多少个？
【培优高手】
1.用2,3,4,5四张数字卡片，每次取两张组成两位数，可以组成多少个奇数
2.有8张1元，4张2元，2张5元，从中拿出12元，有几种拿法
3.一家五口人站成一排照全家福，爸爸、妈妈分别站在左、右两边，共有多少种站法
4.甲、乙是两个不同的自然数，且甲+乙=82,那么甲乘乙的积的最大值是多少
5.在1?
500的自然数中，有多少个数出现1或5的？
6.有一截篱笆全长32米，把它靠墙围成一个长方形（长、宽均为整数米），所围面积最大是多少平方米？
7.a，b，c三个数都是不同的自然数，且那么a+b+c的积最大可以是多少？
最小呢？
8.用质量分别为1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码和一架天平可称出多少种不同的质量？
9.一种有益的细菌种每小时可增长1倍。
现有一批这样的细菌，10小时后达到100万个。
当它们达到25万个时，经历了多长时间？
10.商店运来一批鸡蛋，上午卖了总数的一半少15个，下午又卖出余下的一半少20个，还剩下140个鸡蛋。
这批鸡蛋一共有多少个？
11.仓库原来有一批化肥，第一次运出总数的一半，第二次运进45吨，第三次又运出现有化肥的一半还多5吨，结果还剩下650吨。
仓库原来有化肥多少吨？
12.甲、乙、丙三层书架共放有图书900本，从乙层拿30本放甲层后，又从甲层拿50本放丙层，结果三层书架的本数正好相等。
问：
甲、乙、丙三层原来各有图书多少本？
第4讲组合图形的面积
在计算平面图形的面积时,除了运用公式,我们还要善于发现图形之间的关系,巧妙解答。
【重点点拨】
【例1】如图
（1）是两个完全相同的直角三角形叠放在一起的，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
【例2】如图（3），乙三角形面积比甲三角形面积少4平方厘米，求a的长度。
【例3】如图（5），已知BC=5厘米,AD=3厘米,AE=4厘米,CF=6厘米,∠AEB=90°,∠CFD=90°,求阴影部分的面积。
【例4】求下面长方形中，阴影部分的面积和。
（单位:
厘米）
【例5】下面长方形的长为12厘米，宽为6厘米，把它的长3等分，宽2等分，然后在长方形内任取一点，把这一点与等分点及顶点连结。
求图（8）中阴影部分的面积。
【例6】图（10）中，△ABC的周长是20厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，求△ABC的面积。
【培优高手】
1.两个完全一样的直角三角形叠放在一起如下图所示，求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
2.两个完全相同的梯形叠放在一起如下图所示，求图中阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
3.BC长8厘米，EC长6厘米，阴影部分面积比△EFG的面积大8平方厘米，求S。
4.长方形ABCD的长AD=14厘米，宽AB=8厘米，长方形BEFG的长EF=20厘米,宽BE=4厘米。
求△DCM与△MGF的面积相差多少？
5.下图中，已知AB=8厘米，CD=6厘米，DF=2厘米，BE=4厘米。
求四边形的面积。
（∠A，∠C均为直角）
6.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
7.下图中，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，图中阴影部分的面积与空白面积哪个大？
8.求下图中阴影部分的面积。
9.下图中，正方形的边长是6厘米，E，H是所在边的二等分点，F、G、L、M是所在边的三等分点,求阴影部分的面积。
10.从一块正方形木板锯下宽为
米的一块木条以后，剩下的面积是
平方米，求锯下的木条面积是多少平方米？
11.一个直角三角形中的两条直角边分别长6厘米和4厘米，在这个三角形中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？
第二部分五年级奥数知识辅导与拓展
第5讲小数的简便运算
在整数四则运算中学到的运算技巧及运算律对于小数四则运算同样适用。
下面我们来整理一下整数四则运算中学到的运算律及运算性质：
交换律:
a+b=b+aa×b=b×a
结合律:
（a+b）+c=a+（b+c）（a×b）×c=a×（b×c）
分配律:
（a+b）×c=a×b+a×c
运算性质:
a-（b+c）=a-b-ca÷（b×c）=a÷b÷c
在算式中增加或去捧括号时，要注意:
括号前面是“+”,添上或去掉括号不变号;括号前面是“-”,添上或去掉括号要变号。
【重点点拨】
【例1】22.36+25.82+77.64-15.82
【例2】12.5×3.2×0.25
【例3】0.27÷0.25
【例4】（6.6×7.5×4.8）÷（2.4×3.3×2.5）
【例5】9.01×23
【例6】22.8×98+45.6
【培优高手】
25.43-2.85+74.57-7.1523.56-（2.017-0.44）+2.017
16.08×1.250.25×3.53×0.2×16×1.25
1.28÷0.1252.17÷0.5÷0.25
（0.75×2.6×2.7）÷（0.13×0.25×9）
1998÷（1998÷1999）÷（1999÷2000）÷（2000÷2001）
9.99×5.38.5×9.899×86.2+86.2
4.58×25.1+45.8×6.35+0.458×114
第6讲平均数
解决平均数问题常常围绕着“总数量÷总份数=平均数,平均数×总份数=总数量”来解决,有时也可以看作有几个不等的数量,在总量不变的条件下,采用移多补少法,将其变成相等的几份，再求一份是多少。
因此，移多补少法也是解答平均数问题的常用方法。
【重点点拨】
【例1】某五个数的平均值为20,若把其中一个数改为40,则平均值变为25。
求这个数。
【例2】有七个排成一列的数，它们的平均数是30,前三个数的平均数是28,后五个数的平均数是33。
求第三个数。
【例3】小叮当参加了五次英语测验，平均成绩是78分,他想在下次英语测验后使六次的平均成绩不低于80分，小叮当第六次英语测验至少要得多少分？
【例4】甲乙两数的平均数为94,乙丙两数的平均数是88,甲丙两数的平均数是86,求甲、乙、丙三个数各是多少？
【例5】女生的人数是男生的2倍，女生的平均身高是154厘米，男生的平均身高是160厘米，全班学生的平均身高是多少厘米？
【例6】明明爬山，上山的速度是3千米每小时，到达山顶后立即返回,下山的速度是5千米每小时，明明上、下山的平均速度是多少？
【培优高手】
1.五个数的平均数是60,若把其中的一个数改为80,平均数变为70,这个数原来是多少
2.有7个数，它们的平均数是18。
去掉1个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉1个数后，剩下的5个数的平均数是20。
求去掉的2个数的乘积。
3.有5个数排成一列，它们的平均数是31，前3个数的平均数是39,后3个数的平均数是24,求第3个数。
4.小强10次测验的平均分是82分，前6次的平均分是83分，后6次的平均分是80分，那么他第5次和第6次测验的平均分是多少分？
5.小李前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次测验要得I00分，才能把平均成绩提高到86分。
这一次是第几次测验？
6.小玲练习跳绳，她已经跳了若干次，准备最后再跳一次，如果最后这次跳48个，那么平均每次跳56个；如果最后这次跳68个，那么平均每次跳60个。
小玲已经跳了几次？
7.有甲、乙、丙三数，甲、乙两数的平均数是100,乙、丙两数的平均数是80,甲、丙两数的平均数是75，求甲、乙、丙三数的平均数。
8.A、B、C、D四个数，每次去掉一个，将其余的三个数相加并求平均数，这样计算了四次,得到以下四个数：
74，36,50，70。
这四个数的平均数是多少？
9.女生人数是男生的一半，男生的平均体重是41千克，女生的平均体重是35千克，全体学生的平均体重是多少千克？
10.在一次数学竞赛中，女生的平均分是86分，男生的平均分暴是81分，男、女生的平均分是84分，参加竞赛的女生人数是男生人数的多少倍？
11.在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走40米，到达山顶后，立即以每分钟60米的速度按原路下山，小刚上、下山的平均速度是多少
12.有一堆橘子分给甲、乙两个班，两个班学生平均分，每人可分6个，如果只分给甲班，每人平均分得10个，假使只分给乙班，每人可分得多少个？
第7讲消元法解题
当一个题目中含有两个或两个以上的未知数时，我们可以通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，设法消去其中的一个未知数量，从而把一道数量关系复杂的题目变成较简单的题目解出来,这种解题方法就是消元法。
解答时注意以下几点：
1.把条件写成几个等式,并排列在一起进行比较,如果有一种量的数相同,就很容易把这种量消去。
2.如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边,使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。
3.解答后,可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算,检验是否符合题意。
【重点点拨】
【例1】3袋大米和5袋面粉共重135千克竞；9袋大米和4袋面粉共重240千克。
求每袋大米重多少千克？
每袋面粉重多少千克？
【例2】买4个水瓶和10个茶杯要用112元钱，若买同样的3个水瓶和8个茶杯要用86元钱。
水瓶和茶杯的单价各是多少？
【例3】学校第一次购买了6个排球和6个足球，共用去366元,第二次购买了同样的5个排球和4个足球，共用去269元。
每个排球多少元每个足球多少元？
【例4】购买5千克苹果和3千克梨共用去33.5元，若买同样的3千克苹果和5千克梨，要用31.3元。
每千克苹果多少元？
每千克梨多少元？
【例5】买6张桌子和8把椅子共用去1120元，5张桌子的价钱比8张椅子的价钱多200元。
每张桌子多少元？
每把椅子多少元？
【例6】有苹果、梨、橘子三种水果。
已知1千克苹果、1千克梨和2千克橘子共值18元；1千克苹果、2千克梨和1千克橘子共值16.4元；2千克苹果、1千克梨和1千克橘子共值17.6元。
每种水果的单价是多少元？
【培优高手】
1.食堂里买2包味精和5包糖共用去41元,如果买4包味精和2包糖要用42元。
每包味精多少元？
每包糖多少元？
2.3台电视机和8台录音机的总价是7250元，2台电视机和5台录音机的总价是4700元，求电视机和录音机的单价。
3.粮店第一次运进花生和黄豆各12袋，共重420千克，第二次运进花生8袋，黄豆15袋，共重385千克。
求每袋花生多少千克？
每袋黄豆多少千克？
4.买3本科技书和6本故事书共需165元;买6本科技书和3本故事书共需150元，科技书和故事书的单价各是多少元？
5.3只羊和8头牛每天共吃青草13千克，2头牛比3只羊每天多吃青草和每只羊每天各吃青草多少千克？
6.有大、中、小三种卡车，3辆大卡车、1辆中卡车和一辆小卡车共装货43吨，1辆大卡车、3辆中卡车和1辆小卡车共装货39吨;1辆大卡车，1辆中卡车和3辆小卡车共装货33吨。
三种卡车每辆各装货多少吨？
7.小王上午卖出3箱苹果和5箱梨，收入225元，下午卖出6箱苹果和4箱梨，收入306元。
每箱苹果多少元？
每箱梨多少元？
8.5千克水果糖和2千克茶叶共计180元，同样的3千克水果糖和5千克茶叶共计355元。
求水果糖和茶叶的单价各是多少元？
9.商店第一天卖出10件上衣和10条裤子，收入2000元，第二天卖出同样的12件上衣和14条裤子，收入2560元。
买一件上衣要多少元？
10.张老师去商店买奖品，买12支钢笔和15个文具盒要付300元，如果改成买15支钢笔和12个文具盒，就需再付21元。
每支钢笔多少元？
每个文具盒多少元？
11.买3块肥皂和4条毛巾共52.8元，如果5条毛巾比3块肥皂贵41.7元，那么每块肥皂比每条毛巾便宜多少元？
12.小明买1本故事书，1本科普书，3本连环画要用24.8元，若买同样的1本故事书,3本科普书，1本连环画要用26.4元，结果他买了3本故事书，1本科普书和1本连环画,共付了32.8元。
这三种书的单价各是多少元？
第8讲等式的性质、解方程
等式的性质是:
①等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得结果仍是等式.
②等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零）,所得结果仍是等式.
在课本上,我们学过了依据等式的性质解方程,在这一讲中,我们将学习更多的解方程技巧。
用移项的方法要记住，移项变号的口诀“已知未知闹分离,分离要靠移完成。
移加变减减变加,移乘变除除变乘。
”
【重点点拨】
【例1】7（3+1）x=56
方法1：
方法2：
【例2】7（3+x）+2（x+5）=121
【例3】100-5（10—2x）=80
【例4】8x-5=4x+7
【例5】52+5x=40+8x
【例6】6（2x-7）=5（x+8）+9
【培优高手】
4x+7x=150-719x-5（3x-4）=24
2（4x-3）+（15-2x）=24+12100-4（8-3x）=200
12x+4=6x+1012x-3=10x+8
1.5x+27=30+0.5x30+10x=5x+80
3.5x-1.2=2.7x+312-3x=4x+5
1.2x+2=2x-107（x+4）=2（2-x）+3（4x-2）
第9讲分数的意义、性质
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
分数与除法的关系：
分数的分子与分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数大小不变，这叫做分数的基本性质。
在这一讲中,我们要能合理运用上面的这些有关分数的概念,解决一些有难度的数学题。
【重点点拨】
【例1】把3米长的绳子平均分成5段，每段长多少米？
每段的长度是这根绳子的几分之几？
4段长多少米？
4段是这根绳子的几分之几？
【例2】分母是100的真分数有多少个？
最简真分数有多少个，它们的和是多少？
【例3】分子、分母的乘积是400的最简真分数共有多少个？
【例4】将
的分子加上10,要使分数的大小不变，分母应加多少？
【例5】
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