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以错纠错案例分析管理论文

以错纠错案例分析管理论文

　　在文［1］中，笔者认为：

“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：

错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．

　　一、出示案例

　　我们先引述3处典型做法．

　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来：

　　例1若＝8，＝1，求．

　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：

　　由

　　＝8，

　　＝1．

　　得

　　3ａn＋4ｂn＝8，①

　　6ａn-ｂn＝1．②

　　①×2－②，可得

　　ｂn＝15／9，

　　并求得ａn＝4／9．

　　∴＝3ａn＋ｂn＝12／9＋15／9＝3．

　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则才有＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由＝8，

　　＝1，

　　不一定保证ａn与ｂn存在．比如

　　ａn＝4／3＋ｎ2，ｂn＝1－ｎ2，

　　则有＝8，

　　但是ａn与ｂn均不存在极限．

　　正解：

＝＋

　　＝8／3＋1／3＝3．

　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．

　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．

　　2.数学通报1999年第11期文［6］记述了一次公开课：

在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子：

　　例2已知＝5，＝2，求．

　　当时有位学生提出这样一种解法：

　　解：

设ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则由题设可知

　　＝2ａn＋3ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5，①

　　＝ａn－ｂn＝Ａ－Ｂ＝2．②

　　联立①，②解得

　　Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．

　　∴＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．

　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：

ａn和ｂn一定存在吗?

　　随后，教师鲜明地指出：

由题设我们不能判断ａn和ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．

　　另解：

设ａn＋ｂn＝ｘ＋ｙ，则

　　ａn＋ｂn＝ａn＋ｂn，

　　从而有

　　2ｘ＋ｙ＝1，

　　3ｘ－ｙ＝1．

　　解之得ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．

　　∴ａn＋ｂn＝＋，

　　∴＝［＋］＝＋＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．

　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．

　　3.江苏省常州高级中学数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析》，其第6章题30如下：

　　例3已知＝7，＝4，求之值．

　　误解：

∵＝7，＝4，

　　∴

　　2ａn＋3ｂn＝7，①

　　3ａn－2ｂn＝4．②

　　①×2＋②×3，得

　　13ａn＝26，

　　∴ａn＝2．

　　代入式①，得

　　ｂn＝1．

　　∴＝2ａn＋ｂn＝2×2＋1＝5．

　　正确解法：

设ｍ＋ｐ＝ｋ．

　　其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａn，ｂn的系数得

　　2ｍ＋3ｐ＝2ｋ，①

　　3ｍ－2ｐ＝ｋ．②

　　由式①、②消去ｋ，得

　　2ｍ＋3ｐ＝2＝6ｍ－4ｐ，

　　∴4ｍ＝7ｐ．

　　当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．

　　∴2ａn＋ｂn＝＋．

　　∴＝＋＝7／13×7＋4／13×4＝5．

　　错因分析与解题指导：

已知＝7，＝4，并不意味着ａn、ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则：

＝ａn±ｂn，默认ａn与ｂn存在，这是错误的．要求，就必须将2ａn＋ｂn去用与表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．

　　以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．

　　虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：

“由题设，真的不能判断ａn和ｂn是否存在吗?

”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．

　　二、案例分析

　　我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．

　　1.学生解法的认识

　　学生的解法中有两个合理的成分：

其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．

　　缺点是默认了ａn与ｂn的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．

　　知识性错误

　　表现在：

没有验证ａn与ｂn极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａn与ｂn极限的存在性；还不会变通使用极限运算法则．

　　逻辑性错误

　　表现为逻辑上的“不能推出”：

跳过ａn与ｂn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．

　　心理性错误

　　表现为“潜在假设”，默认ａn与ｂn极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．

　　由于在已知条件下，ａn与ｂn的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．

　　这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．

　　2.教师认为“不一定保证ａn与ｂn存在”是不对的

　　事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求，而且可以求，取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊情况．我们来给出一个更一般的结论．

　　命题1若＝ｃ1，＝ｃ2，

　　则当ａ1β2－α2β1≠0时，两个极限ａn与ｂn均存在，且

　　ａn＝ｃ1β2－ｃ2β1／α1β2－α2β1，ｂn＝α1ｃ2－α2ｃ1／α1β2－α2β1．

　　证明：

设

　　ａn＝ｘ＋ｙ

　　＝ａn＋ｂn，

　　令

　　α1ｘ＋α2ｙ＝1，

　　β1ｘ＋β2ｙ＝0．

　　解得ｘ＝β2／，ｙ＝－β1／．

　　从而

　　［x＋ｙ］

　　＝ｘ＋ｙ

　　＝ｘｃ1＋ｙｃ2＝／．

　　即ａn＝／．

　　同理可确定ｂn极限的存在性，并计算出

　　ｂn＝／．

　　取α1＝3，β1＝4，ｃ1＝8，α2＝6，β2＝－1，ｃ2＝1，可得ａn＝4／9，ｂn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出

　　ａn＝［＋］

　　＝＋＝8／27＋4／27＝4／9．

　　ｂn＝［－］

　　＝－＝16／9－1／9＝5／3．

　　取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝5，α2＝1，β2＝－1，ｃ2＝2，这便得例2，有

　　ａn＝＋

　　＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，

　　ｂn＝－

　　＝1／5×5－2／5×2＝1／5．

　　取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝7，α2＝3，β2＝－2，ｃ2＝4，这便得例3，确实有ａn＝2，ｂn＝1．

　　应该说，求ａn、ｂn与求道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“ａn、ｂn不一定存在”呢?

这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．

　　3.反例“ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4”的错误根源

　　上面已经严格证明了ａn与ｂn的存在性，因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．

　　检验可以发现错误

　　把ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4代入已知条件，有

　　＝8＝8．

　　但＝

　　不存在，更不等于1．

　　所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．

　　误举反例的原因分析

　　①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若ａn、ｂn存在，则＝ａn＋ｂn，反之不真”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．

　　②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：

　　命题2若＝ｃ1，＝ｃ2．

　　则有

　　当α1β2－α2β1≠0时，ａn、ｂn均存在；

　　当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1＝0时，则ａn，ｂn的极限不一定存在．

　　当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1≠0，则ａn，ｂn的极限均不存在．

　　这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．

　　对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．

　　4.试作一个探究性的教学设计

　　本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．

　　提出问题，暴露学生的真实思想．

　　其过程是给出例1，让学生得出不完整的解法．

　　反思，引发认知冲突．

　　教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要ａn、ｂn的存在性做前提．前提存在吗?

有两种可能：

或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．

　　分两大组自主探索，自我反省．

　　按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．

　　得出ａn、ｂn的求法．

　　这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：

　　①求ａn＝…＝4／9；

　　②求ｂn＝…＝15／9；

　　③求＝…＝3．

　　进行解题分析，得出改进解法．

　　引导学生认识到：

　　①求ａn、ｂn所使用的方法也可以直接用到求上来．

　　②先分别求ａn、ｂn，再合并得结论有思维回路：

　　ａn

　　ｂn

　　．

　　删除中间步骤，可得

　　＝［＋］

　　＝＋＝8／3＋1／3＝3．

　　探索一般性．

　　①考虑例1的结论一般化改为，求；

　　②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1；

　　③再加一个层次，允许α1β2－α2β1＝0，让学生再发现命题2．

　　运用建构主义和元认知的观点进行总结．

　　参考文献

　　1罗增儒．解题分析——谈错例剖析．中学数学教学参考，1999，12

　　2赵春祥．思维定势在解题中的消极影响举例．中学教研，1990，6

　　3赵春祥．从整体结构上解数列题．教学月刊·中学理科版，1998，10

　　4赵春祥．数列与数列极限中应注意的几个问题．教学月刊·中学理科版，1999，6

　　5赵春祥．思维定势消极作用例说．中学数学研究，2001，5

　　6王秀彩．“众所认可”的就一定是“正确”的吗?

数学通报，1999，11

　　7杨浩清主编．数学题误解分析．南京：

东南大学出版社，1996

　　8唐宗保．浅谈线性组合在中学数学解题中的运用．数学通讯，1996，10

　　9许育群．解数列与极限问题的几类错误浅析．数理化学习，1997，22

　　10屈瑞东．数列极限运算易错两例．数理天地，1999，11

　　11童其林．例谈待定系数法在解题中的应用．考试，2000，4

　　12唐宗保．常见非等价变形的成因分析．数学通讯，2001，9