【例题2】小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图所示)
(1)图象表示了哪两个变量的关系?
哪个是自变量?
哪个是因变量?
(2)10时和13时,他分别离家多远?
(3)他到达离家最远的地方时什么时间?
离家多远?
(4)11时到12时他行驶了多少千米?
(5)他可能在哪段时间内休息,并吃午餐?
(6)由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少?
【变式2】
(1)如图,是自行车行驶路程与时间的关系图,则整个行驶
过程的平均速度是()
A.20B.40C.15D.25
(2)如图所示,OA、BA分别表示甲、乙两名学社运动的路程与时间的
关系图象,图中S和t分别表示运动路程和时间,根据图象判断快者
的速度比慢者的速度每秒快()
A.2.5mB.2mC.1.5mD.1m
【拓展】1、甲、乙两地相距80千米,A骑自行车,B骑摩托车沿相同路线由甲地到乙地行驶,两人行驶的路程y(千米)与时间x(时)的关系如图所示,请你根据图象回答或解决下面的问题:
(1)谁出发较早?
早多长时间?
谁到达乙地较早?
早多长时间?
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y(千米)与时间x(小时)的关系。
2、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一家个体车主或一家国有(guóyǒu)出租车公司签订租车合同,合同中规定所付月租金的多少与出租车每月行驶的距离有关。
下图表示出租车每月行驶的距离与所付月租金的关系,(
表示个体(gètǐ)车主,
表示国有(guóyǒu)出租车)观察图象回答下列问题
(1)每月行驶路程在什么范围内时租国有公司(ɡōnɡsī)的车合算?
(2)租个体车主的车,租来的车如果没有行驶,是否(shìfǒu)也要缴租金?
缴多少租金?
租国有公司的车呢?
(3)每月行驶路程等于多少时,租两家车的费用相同?
(4)如果这个单位估计每月行驶的路程2300米,那么这个单位租哪家的车合算?
知识整合与解题指导
一、知识导航
1、主要概念:
变量是;自变量是;因变量是。
2、变量之间关系的三种表示方法:
。
其特点是:
列表:
对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把因变量的值找到,查询方便;但是不能反映变化的全貌,不易看出变量间的对应规律。
关系式:
简明扼要、规范准确;但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图象:
形象直观。
可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征;但图象是近似的、局部的,由图象确定因变量的值欠准确。
有关概念应用
【例题1】下列各题中,那些量在发生变化?
其中自变量和因变量各是什么?
(1)用总长为60的篱笆(líbɑ)围成一边长为L(m),面积(miànjī)为S(m2)的矩形(jǔxíng)场地;
(2)正方形边长是3,若边长增加(zēngjiā)x,则面积(miànjī)增加为y.
用关系式表示两变量的关系
【例题2】①设一长方体盒子高为10,底面为正方形,求这个长方体的体积v与底面边长a的关系。
②设地面气温是20℃,如果每升高1km,气温下降6℃,求气温与t高度h的关系。
【变式】如图,一个矩形推拉窗,窗高1.5米,则活动窗扇的通风面积A(平方米)
与拉开长度b(米)的关系式是:
。
用图象表示两变量的关系
【例题3】2003年,在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情,在党和政府的正确领导下,目前疫情已得到有效控制.下图是2003年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图(数据来源:
卫生部每日疫情通报).从图中,可知道:
(1)5月6日新增确诊病例人数为人;
(2)在5月9日至5月11日三天中,共新增确诊病例人数为人;
(3)从图上可看出,5月上半月新增确诊病例总体呈趋势.
【例题(lìtí)4】星期天晚饭后,小红(xiǎohónɡ)从家里出去散步,下图描述了她散步过程中离家的距离s(米)与散步(sànbù)所用时间t(分)之间的函数关系.依据图象(túxiànɡ),下面描述符合小红散步情景的是().
A.从家出发,到了一个(yīɡè)公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了
B.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了
一段,然后回家了
C.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了
D.从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,18分钟后才开始返
【变式】右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米,由A地到B地时,行驶的路程y(千米)与经过的时间x(小时)之间的关系.请根据这个行驶过程中的图象填空:
汽车出发小时与电动自行车相遇;电动自行车的速度为千米/时;汽车的速度为千米/时;汽车比电动自行车早小时到达B地.
【提高练习】
1、小明根据邻居家的故事写了一首小诗:
“儿子学成今日返,老父早早到车站,儿子到后细端详,父子高兴把家还.”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离,用横轴
表示父亲离家的时间,那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )
ABCD
2.根据图示的程序计算函数值,
若输入(shūrù)的x的值为
,则输出(shūchū)的结果为.
3.如图,都
是由边长为1的正方体叠成的图形(túxíng).
例如(lìrú)第
(1)个图形(túxíng)的表面积为6个平方单位,第
(2)个图形的表面积为18个平方单位,第(3)个图形的表面积是36个平方单位……,依此规律,则第(5)个图形的表面积是 个平方单位.
4、小明从家骑车上学,先上坡到达A地后再下坡到达学校,所用的时间与路程如图所示.如果返回时,上、下坡速度仍然保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是( )
A.8.6分钟B.9分钟
C.12分钟D.16分钟
5、在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)
之间的关系如图所示.
请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,
从点燃到燃尽所用的时间分别是 ;
(2)燃烧多长时间时,甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)?
在什么(shénme)时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛高?
在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛低?
6、某机动车出发(chūfā)前油箱内有油42L,行驶若干小时后,途中在加油(jiāyóu)站加油若干升.油箱中余油量Q(L)与行驶(xíngshǐ)时间t(h)之间的关系(guānxì)如图所示.
回答问题:
(1)机动车行驶几小时后加油?
(2)中途中加油_________L;
(3)已知加油站距目的地还有
,车速为
,若要达到目的
地,油箱中的油是否够用?
并说明原因.
7、在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定.在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值.
所挂质量
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
18
20
22
24
26
28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?
哪个是自变量?
哪个是因变量?
(2)当所挂物体重量为
时,弹簧多长?
不挂重物时呢?
(3)若所挂重物为
时(在允许范围内),你能说出此时的弹簧长度吗?
8、小明在暑期社会实距活动中,以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售,在销售了40千克西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之
间的关系如图9所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题:
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜
(千克)之间的关系式;
(2)小明从批发市场共购进多少(duōshǎo)千克西瓜?
(3)小明这次(zhècì)卖瓜赚子多少钱?
9、某移动通信(tōngxìn)公司开设了两种通信业务,“全球通”:
使用时首先缴50元月租费,然后每通话1分钟,自付话费0.4元;“动感地带”:
不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元(本题的通话均指市内通话),若一个月通话x分钟,两种方式的费用(fèiyong)分别为
元和
元.
(1)写出
、
与x之间的关系式;
(2)一个月内通话多少分钟,两种移动通讯(tōngxùn)费用相同?
(3)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通信合算些?
10、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t(天)之间的关系图,回答下列问题:
(1)该水库(shuǐkù)原蓄水量为多少万米3?
持干旱持续时间10天后(tiānhòu),水库蓄水量为多少万米3?
(2)若水库(shuǐkù)的蓄水量小于400万米3时,将发生严重(yánzhòng)干旱警报,请问:
持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报?
(3)按此规律,持续干旱多少天时(tiānshí),水库将干涸?
11.某公司有2位股东,20名工人.从2000年至2002年
,公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如下图所示.
(Ⅰ)填写下表:
年份
2000年
2001年
2002年
工人的平均工资(元)
5000
股东的平均利润(元)
25000
(Ⅱ)假设在以后的若干年中,每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长,那么到哪一年,股东的平均利润是工人的平均工资的8倍?
内容总结
(1)变量之间的关系
§4.1用表格表示的变量间关系
【例题】一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系
(2)
(2)用表格表示,当x从3到7(每次增加1)时,y的相应值
(3)(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y(千米)与时间x(小时)的关系