高考数学二轮复习 专题突破练92 不等式选讲 理.docx

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高考数学二轮复习专题突破练92不等式选讲理

专题突破练26　不等式选讲

1.（2018全国卷2,23）设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）≥0的解集;

（2）若f（x）≤1,求a的取值范围.

2.已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

（1）（a+b）（a5+b5）≥4;

（2）a+b≤2.

3.（2018云南昆明二模,23）已知函数f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）≤x的解集;

（2）当x≥时,f（x）+x2>1,求实数a的取值范围.

4.已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|,g（x）=x+3.

（1）当a=-2时,求不等式f（x）

（2）设a>-1,且当x∈时,f（x）≤g（x）,求a的取值范围.

5.（2018广西三模,23）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|-2.

（1）求不等式f（x）≥1的解集;

（2）若关于x的不等式f（x）≥a2-a-2在R上恒成立,求实数a的取值范围.

6.（2018河北唐山三模,23）已知函数f（x）=|x-1|-|2x-3|.

（1）求不等式f（x）≥0的解集;

（2）设g（x）=f（x）+f（-x）,求g（x）的最大值.

7.（2018河南郑州三模,23）已知a>0,b>0,函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.

（1）证明:

2a+b=2;

（2）若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.

8.（2018山东潍坊一模,23）设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a>0）,g（x）=x2+x.

（1）当a=1时,求不等式g（x）≥f（x）的解集;

（2）已知f（x）≥,求a的取值范围.

参考答案

专题突破练26　不等式选讲

（选修4—5）

1.解

（1）当a=1时,

f（x）=可得f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.

（2）f（x）≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f（x）≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是（-∞,-6]∪[2,+∞）.

2.证明

（1）（a+b）（a5+b5）=a6+ab5+a5b+b6=（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）=4+ab（a2-b2）2≥4.

（2）因为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab（a+b）≤2+（a+b）

=2+,当a=b时取等号,

所以（a+b）3≤8,因此a+b≤2.

3.解

（1）当a=1时,不等式f（x）≤x,即为|x+1|-|x-1|≤x,

等价于解得-2≤x≤-1或-1

故不等式f（x）≤x的解集为[-2,0]∪[2,+∞）.

（2）当x时,f（x）+x2>1⇔|ax-1|

当x时,x++1的最小值为3,-x+-1的最大值为,

故a的取值范围是

3

.

4.解

（1）当a=-2时,不等式f（x）

设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

则y=

其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈（0,2）时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0

（2）当x时,f（x）=1+a.不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3.

所以x≥a-2对x都成立.故-a-2,即a

从而a的取值范围是

5.解

（1）当x≤-1时,不等式等价于1-x-x-1-2≥1,解得x≤-;

当-1

当x≥1时,不等式等价于x-1+x+1-2≥1,解得x

综上,不等式f（x）≥1的解集为

（2）f（x）=|x-1|+|x+1|-2≥|x-1-（x+1）|-2=0,

∵关于x的不等式f（x）≥a2-a-2在R上恒成立,

∴a2-a-2≤0恒成立,解得-1≤a≤2.

∴实数a的取值范围是[-1,2].

6.解

（1）由题意得|x-1|≥|2x-3|,所以|x-1|2≥|2x-3|2.整理可得3x2-10x+8≤0,解得x≤2,故原不等式的解集为

（2）显然g（x）=f（x）+f（-x）为偶函数,所以只研究x≥0时g（x）的最大值.g（x）=f（x）+f（-x）=|x-1|-|2x-3|+|x+1|-|2x+3|,

所以x≥0时,g（x）=|x-1|-|2x-3|-x-2=所以当x=时,g（x）取得最大值-3,故x=±时,g（x）取得最大值-3.

7.

（1）证明∵-a<,

∴f（x）=

显然f（x）在

-∞,-

上单调递减,在

+∞

上单调递增,所以f（x）的最小值为f

=a+=1,即2a+b=2.

（2）解因为a+2b≥tab恒成立,

所以t恒成立,

（2a+b）=

5+

5+2

=,当且仅当a=b=时,取得最小值,

所以t,即实数t的最大值为

8.解

（1）当a=1时,不等式g（x）≥f（x）即x2+x≥|x+1|+|x-1|,

当x<-1时,x2+x≥-2x,x2+3x≥0,∴x≥0或x≤-3,∴此时x≤-3,

当-1≤x≤1时,x2+x≥2,x2+x≥0,∴x≥1或x≤-2,∴此时x=1,

当x>1时,x2+x≥2x,x2-x≥0,

∴x≥1或x≤0,此时x>1,

∴不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.

（2）f（x）=|ax+1|+|x-a|=

若0

∴a2+1,解得a或a≤-,a≤1,

若a>1,则f（x）min=f

-

=a+>2>,∴a>1.综上所述,a

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