北工大工程数学数学建模实验03.docx
《北工大工程数学数学建模实验03.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北工大工程数学数学建模实验03.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北工大工程数学数学建模实验03
1.曲线拟合
有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，
y=β0+β1x，
其中x为车速，y为刹车距离，现测得50组数据（xi，yi）（i=1,2,3…，50）（见表3.1，用三种方法（
（1）平方和最小;
（2）绝对偏差和最小;（3）最大偏差最小）估
计系数β0和β1，并分析三种方法的计算效果（注:
用LINGO软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线），说明哪一种方法得到有结果更合理.
解：
（1）平方和最小，根据最小二乘方法求解，相应的无约束问题为
，为了方便计算，将β0,β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@sum（quantity:
（A+B*x-y）^2）;
@free（A）;@free（B）;
计算结果如图所示
用LINGO解得：
A=-17.57909,B=3.932409，
所以y=-17.57909+3.932409*x.β0=-17.57909,β1=3.932409
（2）绝对偏差和最小，根据最小一乘方法求解，相应的无约束问题为
，为了方便计算，将β0,β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@sum（quantity:
@abs（A+B*x-y））;
@free（A）;@free（B）;
计算结果如图所示
用LINGO解得：
A=-11.6,B=3.4，
所以y=-11.6+3.4*x.β0=-11.6,β1=3.4
（3）最大偏差最小，根据最大偏差的最小的方法求解，相应的无约束问题为
，为了方便计算，将β0,β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@max（quantity:
@abs（A+B*x-y））;
@free（A）;@free（B）;
计算结果如图所示
用LINGO解得：
A=-12,B=4，
所以y=-12+4*x.β0=-12,β1=4
X轴为速度，Y轴为距离，蓝色点多已知数据点，y1,y2,y3分别为前三种方法求得的数据点，黑色线为通过蓝色数据点得到的线性回归方程y=1.445x+6.121,比较三种方法得到曲线，可以看到与红色曲线吻合度高于其他两种方法，所以第一种方法得到的结果更为合理。
2.非线性优化问题：
解：
（1）设汽油由A类原油x1桶和B类原油y1桶化合而成，民用燃料油由A类原油x2桶和B类原油y2桶化合而成，汽油广告费为z1元，民用燃料的广告费为z2元。
汽油产量：
x1+y1桶，销量：
0.5桶；民用油产量为x2+y2桶，销量为z2桶。
约束条件：
销售：
0.5z1<=x1+y1，z2<=x2+y2
原料：
x1+x2<=5000，y1+y2<=10000
指标：
（10x1+5y1）/（x1+y1）>=8，（10x2+5y2）/（x2+y2）>=6
目标函数：
利润=0.5z1*250+z2*200-（z1+z2）
Lingo:
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=8*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=6*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1;
z2<=x2+y2;
运行程序后可得：
由以上可得最优的生产方案即：
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
总利润/元
汽油/桶
3000
2000
10000
3230000
民用燃油/桶
2000
8000
10000
（2）设汽油中增加SQ量k1,民用燃料油增加SQ量k2.
约束条件：
销售：
0.5z1<=x1+y1+k1，z2<=x2+y2+k2
SQ：
k1<=（x1+y1）*5%，k2<=（x2+y2）*5%
原料：
x1+x2<=5000，y1+y2<=10000
指标：
（10x1+5y1）/（x1+y1）+（k1）^0.5>=8，（10x2+5y2）/（x2+y2）+0.6（k2）^0.6>=6
Lingo：
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*（k1+k2）;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=（8-k1^0.5）*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=（6-0.6*k2^0.6）*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=（x1+y1）*0.05;
k2<=（x2+y2）*0.05；
运行程序后可得：
则可以得到新的生产方案：
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31500
750
375600
民用燃油/桶
0
0
0
0
（3）利润：
0.5z1×250+z2×200-（z1+z2）-200×400-100×（k1+k2-400）
Lingo:
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*400-100*（k1+k2-400）;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=（8-k1^0.5）*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=（6-0.6*k2^0.6）*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=（x1+y1）*0.05;
k2<=（x2+y2）*0.05;
运行程序后可以得知：
由此可以得出新的生产方案：
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31500
750
3791000
民用燃油/桶
0
0
0
0
根据题意，不允许缺货，日消耗量为30件，D=30；每天每件库存费用为0.05元，C_P=0.05；订货费每次100元，C_D=100;如果一次购买量不超过600件，单价为10元，否则为8元。
根据经济订购批量存储模型
TC（Q）=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C（Q）D
如果Q>600,C（Q）=8;Q<=600,C（Q）=10
Lingo程序为：
D=30;C_P=0.05;C_D=100;
C=@if（Q#lt#600,10,8）;
Min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D;
运行程序后可以得知:
费用最小为260元，一次采购量为600件，由于订货提前时间为21天，订货点为21D=21*30=630件。
这样最优库存策略为当存储量下降到630件时，订货600件，最优库存总费用为每天260元。
4.库存问题II
解：
（1）如果自己生产：
单次生产量为y（为整数）。
启动机器次数为：
26000/y;
每天的库存量平均为：
（y-26000/2/（100*365）*y）;
Lingo：
min=0.5*0.02*365*（y-26000*y/36500）+20*26000/y;
@gin（y）;
执行结果为：
如果自己生产，最小费用为1477.836元，每次生产704件；
（2）如果向合同购买：
设最大库存为x（取整）
Min=0.5*0.02*365*x+15*26000/x;
@gin（x）;
执行结果为：
如果向合同购买，最小费用为2386.211元，最大库存为327件
如果自己生产，最小费用为1477.836元，所以该公司可以自己生产。
Min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D，将ABC三种最小费用累加
C_P为存储费；C_D为订货费，D为需求，Q为进货数
所占面积小于等于24平方米，购货次数取整
可得新的lingo程序为:
sets:
kinds/1..3/:
C_P,D,C,W,Q,C_D,N;
endsets
min=@sum（kinds:
0.5*C_P*Q+C_D*D/Q）;
@sum（kinds:
W*Q）<=W_T;
@for（kinds:
N=D/Q;@gin（N））;
data:
C_D=10,5,15;
D=2,3,4;
C_P=0.3,0.1,0.2;
W=1.0,1.0,1.0;
W_T=24;
Enddata
运行程序后可知：
A货物订货2件，B货物订货3件，C货物订货4件。
最小费用为30.85元
3.3.加分实验
解：
令pi为位于P（5,1）的临时料场运到工地i的水泥量/吨，令q为位于Q（5,1）的临时料场运到工地i的水泥量/吨。
由以上题目可以得出下表：
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
P到工地i的距离/公里
3.7583
3.7583
5.8577
4.06971
5.8523
7.1151
Q到工地i的距离/公里
5.7987
9.1992
2.7042
4.25
1.118
5.3033
由P运到工地i的水泥量/吨
p1
p2
p3
p4
p5
p6
由Q运到工地i的水泥量/吨
q1
q2
q3
q4
q5
q6
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
由此可以得出目标函数为；
Z=3.7583p1+3.7583P2+5.8577p3+4.06971p4+5.8523p5+7.1151p5+7.1151p6+5.7987q1+9.1992q2+2.7042q3+4.25q4+1.1180q5+5.3033q6;
P1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
可以得到如下的lingo程序：
min=3.7583*p1+3.7583*p2+5.8577*p3+4.06971*p4+5.8523*p5+7.1151*p6+5.7987*q1+9.1992*q2+2.7042*q3+4.25*q4+1.118*q5+5.3033*q6;
p1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q1+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
运行程序可以得出如下结果：
可以得出如下的生产规划：
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
由P运到工地i的水泥量/吨
3
5
0
7
0
1
由Q运到工地i的水泥量/吨
0
0
4
0
6
10
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
总的吨公里为
136.2273
（2）由题目令新的临时料场为P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则可以得到新的目标函数Z1=（（x1-1.25）^2+（y1-1.25）^2）^0.5*p1+（（x1-8.75）^2+（y1-0.75）^2）^0.5*p2+（（x1-0.5）^2+（y1-4.75）^2）^0.5*p3+（（x1-5.75）^2+（y1-5）^2）^0.5*p4+（（x1-3）^2+（y1-6.5）^2）^0.5*p5+（（x1-7.25）^2+（y1-7.75）^2）^0.5*p6+（（x2-1.25）^2+（y2-1.25）^2）^0.5*q1+（（x2-8.75）^2+（y2-0.75）^2）^0.5*q2+（（x2-0.5）^2+（y2-4.75）^2）^0.5*q3+（（x2-5.75）^2+（y2-5）^2）^0.5*q4+（（x2-3）^2+（y2-6.5）^2）^0.5*q5+（（x2-7.25）^2+（y2-7.75）^2）^0.5*q6;
可以得出新的lingo程序：
min=（（x1-1.25）^2+（y1-1.25）^2）^0.5*p1+（（x1-8.75）^2+（y1-0.75）^2）^0.5*p2+（（x1-0.5）^2+（y1-4.75）^2）^0.5*p3+（（x1-5.75）^2+（y1-5）^2）^0.5*p4+（（x1-3）^2+（y1-6.5）^2）^0.5*p5+（（x1-7.25）^2+（y1-7.75）^2）^0.5*p6+（（x2-1.25）^2+（y2-1.25）^2）^0.5*q1+（（x2-8.75）^2+（y2-0.75）^2）^0.5*q2+（（x2-0.5）^2+（y2-4.75）^2）^0.5*q3+（（x2-5.75）^2+（y2-5）^2）^0.5*q4+（（x2-3）^2+（y2-6.5）^2）^0.5*q5+（（x2-7.25）^2+（y2-7.75）^2）^0.5*q6;
p1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q1+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
运行程序后可以得出新的结果：
可以得出新的建设与运送方案：
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
由P运到工地i的水泥量/吨
3
0
4
7
6
0
由Q运到工地i的水泥量/吨
0
5
0
0
0
11
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
总的吨公里为
85.26604
临时料场位置：
P（3.2549,5.6523）
Q（7.25,7.75）
原先总的吨公里为136.2273吨公里，现在的方案为85.26604吨公里，缩短了136.2273-85.26604=50.9613吨公里。
升级会员 