初二5期中复习.docx
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初二5期中复习
期中复习
（一）等腰三角形与直角三角形
◆一、全等三角形的性质与判定
1、全等三角形
（1）定义：
能够完全的三角形是全等三角形。
（2）性质：
全等三角形的、相等。
（3）判定：
“SAS”、、、、。
2、直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、
“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”（即斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等）
◆二、特殊三角形的性质和判定
1、等腰三角形的性质定理
（1）等腰三角形的两个底角（简述为：
）。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等（等角对等边）。
（3）等腰三角形、、底边上的高互相重合（三线合一）。
2、等边三角形的性质和判定定理
性质定理：
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于。
等边三角形的判定：
已知，如右图，等腰△ABC，AB=AC：
①若AB=BC，则△ABC为等边三角形；②若∠A=，则△ABC为等边三角形；
③若∠B=，则△ABC为等边三角形.
3、直角三角形的有关性质定理
直角三角形的性质：
①两锐角；②斜边上的中线等于
③30°角所对的直角边等于；④如果∠C=90°，则三边关系为：
.
直角三角形的判定:
1两锐角互余的三角形；②一条边上的中线等于该边的一半的三角形；
③如果a2+b2=c2，则∠C=90°，此三角形为直角三角形
◆三、互逆命题与互逆定理
例题1：
如图2，
中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，
且BD＝CE，
求证：
ED＝EF。
例题2：
如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，AC＝CD，求∠B。
例3说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
巩固练习
（一）选择题：
相信你一定能选对！
1、下列两个三角形中，一定全等的是（）
A、有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B、两个等边三角形
C、有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
D、有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
2、已知：
如图10，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）
A、30°B、36°C、45°D、54°
（图10）（图11）
★★3、如图11，△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=30°,则∠EDC的度数为（）
A、10°B、12.5°C、15°D、18
4、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）
A、42°B、60°C、36°D、46°
★5、如图12，△ABC中AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）
A、40°B、45°C、50°D、60°
（图12）
垂直平分线与角平分线
◆一、垂直平分线
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：
如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.
定理的作用：
证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：
如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.
定理的作用：
证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线
（1）关于三角形三边垂直平分线
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的数学表示：
如图3，若直线
分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线
相交于一点O，且OA＝OB＝OC.
定理的作用：
证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.
◆二、角平分线
角平分线的性质定理：
1、角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：
如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：
①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
2、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：
在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：
如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
3、关于三角形三条角平分线
（1）关于三角形三条角平分线交点：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：
如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点I；
②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：
①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
经典例题
例1、如图1，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：
AB+BD＝DE。
★变式练习1：
如图2，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC=。
例2、已知,如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于点D,且BD=CD,求证:
点D在∠B
AC的平分线上.
变式练习2：
如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：
AD平分∠BAC.
例3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试说明AD垂直平分EF.
变式练习3：
阅读下题及其证明
过程：
已知：
如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：
∠BAE=∠CAE.
证明：
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC（第一步）
∴∠BAE=∠CAE（第二步）
问：
上面证明过程是否正确？
若正确，请写出每一步推理根据；
若不正确，请指出错在哪一步？
并写出你认为正确的推理过程。
巩固练习
（一）选择题：
相信你一定能选对！
1、下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）
A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点
3、在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD：
BD=1：
2，BC=6cm，则点D到点A的距离为（）
A.1.5cmB.3cmC.2cmD.4cm
3题图
4如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货。
（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？
（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
（分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明.）
5如图：
某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。
你能确定仓库应该建在什么位置吗？
简要的说明设计方法并在所给的图形中画出你的设计方案；
（三）反证法
巩固练习
1、“aA．a≠bB．a>bC．a=bD．a=b或a>b
2、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）
A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于c
C．a⊥bD．a与b相交
3、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设。
4、
用反证法证明“若│a│<2，则a2<4”时，应假设
。
5、如图，直线AB，CD相交，求证：
AB，CD只有一个交点．
证明：
假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，
O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，
所以假设不成立，则________．
6、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
7、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设_______________．
二、练习
1、求证：
在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
（四）不等式综合复习
1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
2．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组
（其中a图示
解集
口诀
x≥b
同大取大
x≤a
同小取小
a≤x≤b
大小、小大中间找
空集
小小、大大找不到
3、列不等式解应用题的特征：
列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．
4、列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：
找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：
设未知数（一般求什么，就设什么为
；④列：
根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：
解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：
检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
经典例题
例1、若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数和玩具数。
例3、某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种的
产品共40件，生产A、B两种产品用料情况如下表：
需要用甲原料
需要用乙原料
一件A种产品
7kg
4kg
一件B种产品
3kg
10kg
若设生产A产品
件，求
的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。
变式练习3：
某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：
（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集.
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式.并根据
（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？
饮料
每千克含量
甲
乙
A（单位：
千克）
0.5
0.2
B（单位：
千克）
0.3
0.4
例4、某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套.已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获
利45元，做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，
设生产L型号的童装套数为x（套），用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y（元）.
（1）写出y（元）关于x（套）的代数式，并求出x的取值范围.
（2）该厂生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？
最大利润是多少？
巩固练习
（一）选择题
1.不等式组
的解集为（）
A.x>2B.x>-2C.-22.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（）
A.－8＜x＜8B.x＜－8或x＞8
C.x＜8D.x＞8
3.下列命题中正确的是（）.
A.若m≠n,则|m|≠|n|;B.若a+b=0,则ab＞0;
C.若ab＜0,且a＜b,则|a|＜|b|;D.互为倒数的两数之积必为正.
4.无论x取什么数,下列不等式总成立的是（）.
A.x+5＞0；B.x+5＜0；C.-（x+5）2＜0；D.（x-5）2≥0
5.
如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b>0的解集是（）
A．x>0B．x>2C．x>-3D．-36.
一次函数
的图象如图所示，当－3<
<3时，
的
取值范围是（）
A、
>4B、0<
<2
C、0<
<4D、2<
<4
7.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（）
A.至多6人 B.至少6人 C.至多5人 D.至少5人
8.韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行若干人从旅馆乘车到球场为中国队加油，现有某个车队，若全部安排乘该车队的车，每辆坐4人则多16人无车坐，若每辆坐6人，则坐最后一辆车的人数不足一半.这个车队有辆车
A.11B.10C.9D.12
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