九年级下数学教案1.docx

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九年级下数学教案1

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整体说明

数学课程的选择，以社会的发展、数学与科学技术的发展需求，以及学生终生发展的需要与可能作为基本原则，这是基本的也是永恒的.由于数学的科学体系具有严格的逻辑顺序，因此数学的学习必须严格地循序渐进.例如有了数与式的学习，就可以进入函数的学习，通过二次函数和三角函数的学习，同学们加深了对数学模型的认识.几何虽然传统，也有一定的难度，但却是后继学习的基石，是学生发展直观能力，空间想象能力，逻辑推理能力不可替代的载体.视图和立体图形的内容非常重要，在九年级下期引入是谨慎的，也是和学生的思维水平相适应的.

第二十六章：

二次函数

一、基本内容

本章共分三节.首先介绍二次函数及其图象，并从图象中得出二次函数的有关性质.然后探讨二次函数与一元二次方程的联系.最后通过并设置探究栏目展现二次函数的应用.

在第一节中，首先从生活实例中引入二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图象和性质的讨论分为以下几部分，从最简单的二次函数y=x2出发，通过描点法画出它的图象，从而引出抛物线的有关概念；进而推广到二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法，讨论其开口方向、开口大小、对称轴位置、顶点坐标等性质，归纳出这类抛物线的特征；讨论形如y=ax2+k（a≠0）和y=a（x-alＴusi，1201～1274年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒegiomontanus，1436～1476年）.雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．

三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐitiscus，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：

解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．

16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒhetucus，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Ｗittenbery）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．

17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．

三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．

文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖieta）对三角公式的研究令人瞩目．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．

1722年英国数学家棣莫弗（Ａ.ＤeＭeiver）得到以他的名字命名的三角学定理

，并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（Euler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个公式，这就是著名的欧拉公式，把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了，为三角学增添了新的活力．对三角学的发展起到了重要的推动作用．

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他率先使用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．纵观历史我们发现，三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学.

第二十九章：

投影与视图

一、主要内容

本章的主要内容包括三节：

29.1投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念以及正投影的成像规律;

29.2.视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化；

29.3课题学习，制作立体模型.这是由三视图转化为三维立体模型的实施活动.

二、教材分析

在学习本章之前，学生已经具有了一定的关于平面图形和立体图形的知识，并且接触过从不同方向观察物体，一些立体几何的平面展开图和立体图形之间的关系.在此基础上，本章学习投影与视图.本章通过讨论简单的立体图形和三视图的转化，以及如何制作立体模型，使学生经历画图，识图等过程，提高空间想象能力.运用几何知识分析和解决实际问题，通过直接的动手和动脑，培养学生的实践能力.本章的学习，无论是学生的动手能力培养还是高中后继的立体几何学习都有着重要的意义.本章内容与其它章有较为明显的区别，它与立体图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目大多属于视图、画图、制作模型等类型，涉及计算的问题不多.

本章的教学目标：

1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；

2.通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象力.

三、教学的重点和难点

教学的重点：

（1）以分析实际问题为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质.

（2）立体图形和三视图的转化，使学生经历画图，识图等过程，分析立体和平面之间的联系，提高学生的空间想象能力.

（3）通过模型制作，在实践中加深对投影和视图的认识，加强实践能力的培养.

教学难点：

（1）正确认识投影和视图的基本概念和基本性质.

（2）根据三视图描述几何体，并能解决一些实际的问题.

（3）在制作模型的过程中，培养学生的动手能力.

四、课时安排

本章教学时间约需要11课时，具体分配如下：

29.1投影2课时

29.2三视图5课时

29.3课题学习制作立体模型2课时

数学活动

小结2课时

五、学法教法建议

1.重视直观模型，严把课程标准

在本章的教学中，不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识，例如空间中的直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），学生此前缺乏对这些知识的系统学习，只有一些感性的认识.在学习本章之前先系统补充立体几何的基础知识是不合适的，因为这需要增加许多课时，而且扩大了课程标准规定的初中数学学习的内容，加重了学习负担.教科书的编者认为，解决这个问题比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解这些空间位置关系，并能把这种认识迁移到类似情形.教科书正是按照这种想法处理相关内容的.例如，介绍正投影时涉及投影线与投影面的垂直关系（线面垂直），教科书在此处采用结合插图并使用“投影线正对着投影面”这样通俗易懂的语言加以解释，虽然不是十分准确，但能使学生了解其基本意思就够了.又如，介绍正投影的规律时，教科书先后选择了铁丝、正方形纸板和正方体模型等例子，采用插图和文字相结合的方式，按照讨论对数的维数从1、2到3的顺序说明有关平行、斜交和垂直的位置关系.

实际教学要比教科书有更大的灵活性，教学中能动态地展示模型，能直接面对学生授业解惑，应充分发挥这些优势.因此，建议教学中在上述问题的处理上，能注意结合实物模型，充分利用直观演示，比较几种不同的空间位置关系，使学生能够联系例子认识到“象某某那样，就是一条直线平行于一个平面”等，达到这种认识水平就完全可以继续本章的学习了，所以没有必要在本章中插入有关线线、线面、面面位置关系定义的学习，这些定义是学生今后要学习的内容.

2.教学中应重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律

数学是数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际问题联系得非常紧密.在本章之前，学生已经数次接触过“从不同方向看物体”等内容，对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解，只是还没有明确地接触过一些基本名词术语，对有关基本规律还缺乏归纳总结.感性认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践才会更加有效.本章在学生已有对于投影和视图初步的感性认识的基础上，适当引入基本概念，归纳基本规律，使学生的认识水平再次提升.从理论上说，投影和视图的知识是以立体几何、画法几何等为基础依据的，利用这些基础可以对投影和视图的知识进行比较深入的分析.但是由于初中学生的知识储备的局限，在初中进行投影和视图内容的教学不可能完全从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的作用，重视结合实际例子讨论问题，做好由感性认识到理性认识的过渡，比较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理.

本章教科书在引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念时，利用了在日光或日光灯下物体的影子.举出皮影戏、日晷、探照灯、普通灯泡等实例；在归纳正投影规律时，教科书先后结合铁丝、正方形纸板和正方体模型的例子，讨论当它们与投影面形成不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的一般规律；在引出三视图的概念及规律时，先从一本书的简单例子分析起，借助它由特殊到一般地展开相关内容，然后再用基本几何体和支架、钢管、密封罐等物体为例进一步讨论.本章最后的课题学习，设计了动手实践活动，通过制作简单立体模型来加强对三视图等内容的理解认识.教科书的这些安排都体现了利用典型例子、借助直观、适当归纳基本规律的编写思想.教学中还可以再选择一些适合学生的实际例子，结合对它们的讨论，加深对本章内容的理解，以取得更佳教学效果.

3.重视平面图形与立体图形的联系，从不同角度综合培养学生的空间想象能力.

在学习本章之前，学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识.本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论，这有助于将学生对于图形已有的认识再加以提高，增强将平面图形与立体图形相互转化的能力，从而进一步培养学生的空间想象能力.

教学案例：

26.3实际问题与二次函数（说课稿）

各位老师、同学：

你们好！

我说课的题目是：

“实际问题与二次函数”选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书九年级下第二十六章第三节，本节共需四个课时.教材中二次函数的应用只设计了三个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它们分为利润最大、面积最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，今天我说的是第一课时.下面我将从教材分析、学情分析、教法分析和教学流程、板书设计、教学设计理念六个方面进行说课.

一、教材分析

1．地位与作用：

函数是初中数学重要的内容之一.它是重要的数学概念也是一种重要的数学思想方法.“实际问题与二次函数”本身是学习二次函数的图象和性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查.新课标中要求学生能通过对实际问题的情境分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题.而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，用盈利最多问题引出二次函数的模型，学生比较感兴趣.目的在于让学生通过掌握求利润最大这一类问题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题.此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础.

2.教学目标

新数学课标理念下的数学教学不仅是知识的教学和技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育.因此，根据本节课教材的地位和作用，结合学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：

（1）使学生经历探索实际问题中两变量之间的变化过程.

（2）使学生理解用函数知识解决最值问题的思路.

（3）使学生体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.

情感态度目标：

使学生体会数学知识的现实价值，提高学生学习数学的兴趣，通过课堂师生互动，创造良好的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验.

3.重点、难点的确定：

根据学生已有的认知基础和认知能力，根据本节教材的特点，我认为该节的重难点分别是：

让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题是本节的教学重点，如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的是本节课的教学难点.

二、学情分析

本节课的对象是初中三年级的学生，他们参与意识强，思维活跃，对他们来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题.本节课正是为了弥补这一不足而设计的.目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，提高解决实际问题的能力，这也是新课标中知识与技能呈螺旋式上升规律的体现.

三、教法分析

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，本节课使用多媒体辅助教学.

四、教学流程

1.复习旧知

通过完成下面两个习题，使学生复习巩固二次函数的最值问题，为后面应用二次函数解决实际问题扫清知识障碍，做好铺垫

问题：

当取何值时，下列函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？

（1）;

（2）.

解：

（1）当时，函数有最小值，；

（2）当时，函数有最大值，.

学生独立完成，并在小组内矫正后，师生共同回顾旧知，教师板书：

抛物线（a≠0）的最值：

如果，则当时，.

2.探究新知

教师通过创设问题情景引导学生对实际问题中函数关系进行探索，借助多媒体，从实际生活中的实例引入课题，使学生在实际生活中感受，体会即将学习的有关数学知识，让他们从现实情景和已有的知识经验出发，展开对知识的探索，激发学生的学习兴趣和求知欲.

多媒体展示：

探究1：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可多卖出300件，已知商品的进价为每件40元，制定怎样涨价或降价的策略，才能使利润最大？

（说明：

本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要分类讨论.初中学生分类讨论的思想较薄弱，这给解题造成了障碍，造成学习上的困难.所以，我对课本上的例题作了拆解和改编，使内容和学生的思维层层递进，环环相扣.）

学生阅读题目后，教师提出问题：

要使利润最大，商品需涨价还是降价？

学生思考后，教师引导学生分析：

本题中，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加，这两种情况都会导致利润变化.因此本题需考虑两种情况，即需要分类讨论.

教师出示涨价情况：

（至此，通过讨论，很好的完成了第一个教学目标）.

探究2：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

学生阅读题目，并独立思考后，教师引导学生分析：

和探究1比较，细心的商家观察出了价格对销售量的影响，并且把这个影响用数据量化了，这是用数学的基础，也是数学建模的第一步.

（1）这个问题涉及哪些量？

哪些是变量？

（2）这些变量都随哪个量的变化而变化？

（教学说明：

函数是研究变量之间相互依赖、相互制约关系的教学工具.一个变量按某种规则随另一个变量的变化而变化，这个变量就是另一个变量的函数.如果运用变化的客观事物中两个变量之间的关系属于函数关系，则可用函数的思想方法解决.这两问从这一角度出发设计问题，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题.）

这两问学生较易回答，同时在思索这两问的过程中，学生会感受到卖出件数、卖出价格、总利润等变量随上涨钱数变化而变化，从而联想到从数学的理性角度去分析，因而较自然的选用函数知识解决下面的第三问.假如学生想不到用函数知识解决下面的第三问，教师要做以下分析：

一个变量按某种规则随另一个变量的变化而变化，这个变量就是另一个变量的函数.如果运动变化的客观事物中两个变量之间的关系属于函数关系，则可用函数的思想方法解决.要使学生认识到，物质世界是普遍联系的，也是不断运动变化的.

（3）你能用学过的数学知识表示这些变量与上涨钱数之间的数量关系吗？

（教学说明：

这是一个开放性的问题，这里有许多变量都受上涨钱数的制约，如卖出件数、卖出价格、总利润等等，它们都随上涨钱数的变化而变化.在解答本题的过程中，不同水平的学生会有不同层次的发现.这样设计可以使学生发散思维，在解题中迸发灵感的火花.同时学生会在本问题的讨论交流中，加深对本题数量关系的理解，提高建模能力.）

这一问题的解决难度较大，因此要给学生充足的思考时间，并让他们在小组内讨论、交流、分析.然后以小组汇报的形式在全班范围内交流.利润与上涨价格x元之间的关系：

每星期少卖10x件，实际卖出为（300-10x）件，销售额为（60+x）（300-10x）元，买进商品的投入为40（300-10x）元，所以，

y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x）.

即y=-10x2+100x+6000.

教师再出示问题：

（4）如何定价才能使利润最大？

（说明：

前三问运用分析法引导学生思考问题，第四问引导学生从题目的问题出发运用综合法思考问题.）

此时学生的目光会锁定在总利润与上涨价格的函数关系式上.在此基础上，让学生试着解答本题.教师可适时点拨：

可利用二次函数的顶点坐标解决利润的最值问题.

学生独立完成本问后，教师规范学生解答过程，同时教师引导学生思考：

自变量有了实际意义后，它的取值范围有没有变化？

假如学生思维受阻时，教师继续引导：

是否可以任意涨价？

涨价10元可以吗？

涨价100元可以吗？

为什么？

学生会发现由于自变量x有了实际意义，它的取值范围为0x<30.受年龄和知识的局限，前面在学习函数定义中，函数的定义域和值域不能明确的表述出来.而利用函数解决实际问题，函数的定义域不可能不涉及，且与从函数解析式中求出自变量取值范围不同，要具体问题具体分析.由于前面函数的概念学习不深入，学生往往会忽略自变量的取值范围.这几个问题会使学生意识到运用函数知识解决实际问题中，常常要考虑自变量的取值范围，否则结果可能会失去意义，让他们明白检验解的合理性是必要的.

解决自变量取值范围后，教师强调指出运用函数知识常常要考虑所求得的结果是否在自变量的取值范围内，也就是要检验解的合理性.

3.变式训练

通过完整解答教材探究1，巩固知识，完成教学目标，形成能力.

教师再出示降价情况：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

有了上述讨论，降价的情况让学生自己去探究.

（教学说明：

降价情况也就是由前面涨价的情况把条件：

“每涨价1元，每星期少卖出20件，”改为“每降价1元，每星期多卖出20件，”因此降价情况其实是涨价情况的一个变式，可以让学生独立完成）.学生完成本环节时，教师巡视应该重点关注：

①学生利用函数模型时是否注意分类了；

②在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了；

③是否对两种情况的最大值进行了比较；至此，完成了本节的重点，突破了难点.

4.课堂小结

以课堂提问的方式对本节课进行小结，结合学生的回答，教师最后给出规范总结，其中重点关注本节课的重点及难点.培养全面分析问题的良好习惯，并培养学生语言归纳能力.

5.布置作业

针对不同层次的学生，更好的体现因材施教的原则，我将本节课的作业分为必做题和选做题两部分.

必做题：

教材习题26.31、2.

选做题：

拓展提升

某机械租赁公司有同一型号的设备40套，每套月租金270元时，恰好全部租出，月租金每提高10元时，设备就少租出去一套.没出租的一套设备每月需支出维护费用20元.设每套设备月租金x元，租赁公司总的月收益为y元，（收益=租金收入+支出费用）.

（1）用x表示总支出的维护费用；

（2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）如果月租金分别是300元和350元时，y分别是多少？

请说明理由；

（4）月收益的最大值是多少？

并求此时的x值.

注：

（3）是方案决策问题，要注意首先选择一个评判标准.不同的评判标准会得到不同的方案，题中没有给出具体的标准，所以应该把各种情况都考虑进去.问题（4）要注意自变量x的实际意义，设备的套数当然应该是整数，所以对x的值进行检验是必需的程序.

五、板书设计

为了使本节课达到更好的教学效果，我把版面分成了三个部分.在板书设计的过程中，我的指导思想是尽可能使得版面结构合理，文字简明扼要，使学生一目了然，易于抓住重点、难点和关键.

六、教学设计理念

随着社会的发展，新课程改革的不断深入，数学课已不仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认知发展过程，同时根据教学需要，精心设计问题情境，关注学生的学习兴趣和经验，引导学生积极参与探索，在探索过程中获得对数学的积极体验.

本节课是学生学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决实际问题中最优化问题.主要内容为利用二次函数的顶点坐标求实际问题中的最大利润，需要分类讨论方法.在教学过程中，当学生遇到困难的时候，他的智力才会得到发展.通过抽象，概括和一般化，把要研究的问题转化为数学表达式，这种构造模型的过程本身就是一个创造和发明的过程.本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索和发现”的过程中充分展开.力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程.整个教学过程突出知识形成发展的过程，让学生既获得了知识，又发展了智力，同时提升了能力.

我的说课到此结束，谢谢各位老师!

教学案例：

27.2.1相似三角形的判定

（二）（教案）

一、学情分析

前面刚学习了相似三角形的两种判