导数及其应用第八讲导数的综合应用.docx
《导数及其应用第八讲导数的综合应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数及其应用第八讲导数的综合应用.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
导数及其应用第八讲导数的综合应用
专题三导数及其应用
第八讲导数的综合应用
2019年
1（2019天津理8）已知aR，设函数
f（x）
2−2+2,1,
xaxax„
=
x−alnx,x1,
若关于x的不等式
f（x）…0在R上恒成立，则a的取值范围为
A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e
2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数f（x）=2x3−ax2+b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a,b，使得f（x）在区间[0,1]的最小值为−1且最大值为1？
若存在，求
出a,b的所有值；若不存在，说明理由.
3.（2019浙江22）已知实数a0，设函数f（x）=alnx+x+1,x0.
3
（1）当
a=−时，求函数f（x）的单调区间；
4
（2）对任意
1x
x[,+）均有（）,
fx求a的取值范围.
e2a
2
注：
e=2.71828…为自然对数的底数.
4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数f（x）=sinx−ln（1+x），f（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f（x）在区间（−1,）存在唯一极大值点；
2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
1
5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数（）
fxlnx
=−x+.
x−1
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的
切线.
1
6.（2019江苏19）设函数f（x）=（x−a）（x−b）（x−c）,a,b,cR、f'（x）为f（x）的导函
数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'（x）的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；
（3）若a=0,0b„1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:
M≤
4
27
．
1
7.（2019北京理19）已知函数f（x）=x3−x2+x.
4
（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x−2,4时，求证：
x−6f（x）x.
（III）设F（x）=f（x）−x+a（aR），记F（x）在区间−2,4上的最大值为M（a），当M（a）最小
时，求a的值.
8.（2019天津理20）设函数f（x）=excosx,g（x）为f（x）的导函数.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当
x
ππ
42
时，证明
fx+gxπ−x
（）（）…0；
2
（Ⅲ）设
x为函数u（x）=f（x）−1在区间2+π,2π+π
mm
n
42
内的零点，其中nN，证
明
−2n
πe
2n+−x
2sinx−cosx
n
00
.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅱ）若x=−2是函数f（x）=（x2+ax−1）ex−1的极值点，则
f（x）=（x2+ax−1）ex−1的极小值为
A．−1B．−2e−3C．5e−3D．1
2．（2017浙江）函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图像如图所示，则函数y=f（x）的图
2
像可能是
y
Ox
yy
O
xx
O
A．B．
yy
xx
OO
C．D．
3．（2016全国I）函数
y=2x−ex在[–2,2]的图像大致为
2||
A．B．
C．D．
3
fx=m−x+n−x+m，n在区间12
1
28100，
4．（2015四川）如果函数（）（）（）（）
2
2
2
单调递减，那么mn的最大值为
81
A．16B．18C．25D．
2
5．（2015新课标Ⅱ）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（−1）=0，当x0时，
xfx−fx0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是
'（）（）
A．（−,−1）U（0,1）B．（−1,0）U（1,+）
C．（−,−1）U（−1,0）D．（0,1）U（1,+）
6．（2015新课标Ⅰ）设函数f（x）=ex（2x−1）−ax+a，其中a1，若存在唯一的整数
x，
0
使得
f（x）0，则a的取值范围是
0
A．[,1）−3B．[−3,3）C．[3,3）
−3B．[−3,3）C．[3,3）
2e2e42e4
3
D．[,1）
2e
7．（2014新课标Ⅱ）若函数f（x）=kx−lnx在区间（1,+）单调递增，则k的取值范围是
A．（−,−2B．（−,−1C．2,+）D．1,+）
8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），
已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
y（千米）
y=3x-6
y=-x
湖面
x
（千米）
O2
A．
C．
y=1x−1x−xB．13123
y=x+x−x
32
2222
y=x−xD．13122
1
y=x+x−x
3
442
9．（2014新课标Ⅱ）设函数f（x）3sinx
=．若存在f（x）的极值点
m
x满足
0
（）
2
x+fxm，则m的取值范围是
2200
A．（−,−6）（6,+）B．（−,−4）（4,+）
4
C．（−,−2）（2,+）D．（−,−1）（1,+）
10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千
米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
y
2
x5
-5O
A
-2
地面跑道
A．
C．
y=1x−3xB．234
3y=x−x
12551255
y=3x−xD．331
y=−x+x
3
1251255
11．（2014辽宁）当x[−2,1]时，不等式ax3−x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范
围是
A．[−5,−3]B．[6,9]
−−C．[−6,−2]D．[−4,−3]
8
12．（2014湖南）若
0xx1，则
12
A．ex−exx−xB．lnln
lnlnex−exx−x
2121
2121
C．
xexeD．
xx
12
21
xexxex
12
21
13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数
（aR）的图像不．可．能．的是
a
y=ax−x+与y=a2x3−2ax2+x+a
2
2
yy
y
y
O
x
x
O
A
x
O
BC
x
O
D
fx=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是14．（2013新课标Ⅱ）已知函数（）
A．xRf（x）=
0,00
5
B．函数y=f（x）的图像是中心对称图形
C．若
x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（）
−,x单调递减
00
D．若
x是f（x）的极值点，则（）
f'x=0
00
15．（2013四川）设函数f（x）=ex+x−a（aR，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx
上存在点（0y）
x，使得
0
f（0））=，则a的取值范围是
（fyy
0
A．[1,e]B．[e−1−1，1]C．[1，e+1]D．[e−1−1，e+1]
16．（2013福建）设函数f（x）的定义域为R，0（00）
xx是f（x）的极大值点，以下结论一
定正确的是
A．xR,f（x）f（x）B．−是f（−x）的极小值点
x00
C．−x是−f（x）的极小值点D．−是−f（−x）的极小值点
x00
12−
17．（2012辽宁）函数y=xlnx的单调递减区间为
2
A．（－1,1]B．（0,1]C．[1,+）D．（0,+）
18．（2012陕西）设函数f（x）=xex，则
A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=−1为f（x）的极大值点D．x=−1为f（x）的极小值点
19．（2011福建）若a0，b0，且函数f（x）=4x3−ax2−2bx+2在x=1处有极值，
则ab的最大值等于
A．2B．3C．6D．9
20．（2011浙江）设函数f（x）=ax+bx+c（abcR），若x=−1为函数（）
2,,fxe的一
x
个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是
ABCD
6
21．（2011湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图像分别交于点M,N，
则当MN达到最小时t的值为
A．1B．
1
2
C．
5
2
D．
2
2
二、填空题
22．（2015安徽）设
x3+ax+b=0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅
有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）
①a=−3,b=−3；②a=−3,b=2；③a=−3,b2；④a=0,b=2；
⑤a=1,b=2．
23．（2015四川）已知函数
f（x）=2，g（x）=x2+ax（其中aR）．对于不相等的实数
x
x，设m
1,x
2
ffx
（x1）−（）
=，
2
x−x
12
n
g（x1）−g（x）
=，现有如下命题：
2
x−x
12
①对于任意不相等的实数
x，都有m0；
1,x
2
②对于任意的a及任意不相等的实数
x1,x，都有n0；
2
③对于任意的a，存在不相等的实数
x，使得m=n；
1,xx，使得m=n；
2
④对于任意的a，存在不相等的实数
x，使得m=−n．
1,xx，使得m=−n．
2
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．
24．（2015江苏）已知函数f（x）=|lnx|，
0,0x1
g（x）=，则方程
|x2−4|−2,x1
|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．
25．（2011广东）函数
fx=x3−x2+在x=______处取得极小值．
（）31
三、解答题
26．（2018全国卷Ⅰ）已知函数
1
f（x）=−x+alnx．
x
（1）讨论f（x）的单调性；
7
（2）若f（x）存在两个极值点
f（x）f（x）
−−
xx，证明：
12a2
1,2
．
x−x
12
27．（2018全国卷Ⅱ）已知函数
f（x）=ex−ax．
2
（1）若a=1，证明：
当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0,+）只有一个零点，求a．
28．（2018全国卷Ⅲ）已知函数（）
（2）ln
（1）2
fx=+x+ax2+x−x．
（1）若a=0，证明：
当−1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
29．（2018北京）设函数
f（x）=[ax2−（4a+1）x+4a+3]ex．
（1）若曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线与x轴平行，求a；
（2）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
30．（2018天津）已知函数f（x）=ax，g（x）=logx，其中a1．
a
（1）求函数h（x）=f（x）−xlna的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）在点
（x,f（x））处的切线与曲线y=g（x）在点
11
（x,g（x））处的切
22
线平行，证明
2lnlna
x+g（x）=−；
12
lna
1（3）证明当e
a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的
e
切线．
31．（2018江苏）记f（x）,g（x）分别为函数f（x）,g（x）的导函数．若存在
xR，满足
0
f（x）=g（x）且
00
fx=gx，则称
（）（）
00
x为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
0
（1）证明：
函数f（x）=x与g（x）=x2+2x−2不存在“S点”；
（2）若函数（）1
fx=ax2−与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数
fx=−x+a，（）be
（）gx=．对任意a0，判断是否存在b0，使函
x
2
x
8
数f（x）与g（x）在区间（0,+）内存在“S点”，并说明理由．
32．（2018浙江）已知函数f（x）=x−lnx．
（1）若f（x）在
x=x，
1
x（
2
xx）处导数相等，证明：
12
f（x）+f（x）8−8ln2；
12
（2）若a≤3−4ln2，证明：
对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一
公共点．
33．（2017新课标Ⅰ）已知函数
f（x）=ae2x+（a−2）ex−x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
34．（2017新课标Ⅱ）已知函数
f（x）=ax−ax−xlnx，且f（x）≥0．
2
（1）求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点
x，且e−2f（x）2−2．
00
35．（2017新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x−1−alnx．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
111
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值．
222n
2
36．（2017浙江）已知函数f（x）=（x−2x−1）e−x
（1）
x≥．
2
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
1
（Ⅱ）求f（x）在区间[,+）上的取值范围．
2
37．（2017江苏）已知函数（）1
fx=x3+ax2+bx+（a0,bR）有极值，且导函数f（x）
的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
b23a；
（2）证明：
（3）若f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于7
−，求a的取值范围．
2
38．（2017天津）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3−3x2−6x+a在区
9
间（1,2）内有一个零点
x，g（x）为f（x）的导函数．
0
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设
m[1,x）U（x,2]，函数h（x）=g（x）（m−x）−f（m），求证：
h（m）h（x）0；
0000
（Ⅲ）求证：
存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且
p
q
[1,x）U（x,2],
00
p1
满足
|−x|．
04
qAq
39．（2017山东）已知函数f（x）=x+x，（）（cossin22）
22cosgx=ex−x+x−，其中
x
e=2.71828L是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（,f（））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g（x）−af（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值
时求出极值．
2x−1
40．（2016年山东）已知（）
f（x）=ax−lnx+,aR．
x
2
（I）讨论f（x）的单调性；
3
（II）当a=1时，证明fx＞f（x）+对于任意的x1,2成立．
（）'
2
41．（2016年四川）设函数（）ln
fx=ax2−a−x，其中aR.
（I）讨论f（x）的单调性；
1
（II）确定a的所有可能取值，使得f（x）−e1x在区间（1,+）内恒成立（e=2.718…
−
x为自然对数的底数）．
42．（2016年天津）设函数
fx=x−3−ax−b,xR，其中a,bR
（）
（1）
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）存在极值点
x，且f（x）=（），其中
1fx
00
x，求证：
1x
0
x+x=；
1203
1
（Ⅲ）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：
g（x）在区间[−1,1]上的最大值不．小．于．
4
．
43．（2016年全国Ⅰ）已知函数
f（x）=（x−2）ex+a（x−1）有两个零点．
2
10
（I）求a的取值范围；
（II）设
x，
1
x是f（x）的两个零点，证明：
2
x+x．
122
44．（2016年全国Ⅱ）
（I）讨论函数
x−2
f（x）e的单调性，并证明当x0时，（x−2）ex+x+20；
=x
x+2
exaxa
−−有最小值．设g（x）的最小值为（II）证明：
当a[0,1）时，函数（）
gx=（x0）
x
2
h（a），求函数h（a）
升级会员 