全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案.docx
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全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案
全等三角形中常见的辅助线
（一）
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
60
知识点
倍长中线法；截长补短法
教学目标
1.掌握倍长中线法的运用条件
2.掌握截长补短法的运用条件
教学重点
对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用
教学难点
对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用
教学过程
一、复习预习
全等三角形的判定定理：
1、SSS：
三边对应相等的两个三角形全等
2、SAS：
两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3、AAS：
两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
4、ASA：
两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
5、HL：
在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等
二、知识讲解
考点1
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
考点2
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知：
如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：
AB+AC>2AD。
【答案】
证明：
延长AD至E，使DE=AD，连接EC
∵AD是中线
∴DC=DB
∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB
∴△CDE≌△BDA
∴CE=AB
在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB
∴AB+AC>AE
∵DE=AD
∴AE=2AD
∵AB+AC>AE
∴AB+AC>2AD
【解析】
分析：
要证AB+AC>2AD，由图形想到：
AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：
AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，
但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
【例题2】
【题干】已知：
如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证：
BE+CF>EF。
【答案】
证明：
在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC
在△DEB和△DNE中
DN=DB
∠1=∠2
DE=DE
∴△DEB≌△DNE（SAS）
∴BE=NE
同理可得：
CF=NF
在△EFN中，EN+FN>EF
∴BE+CF>EF
【解析】
分析：
要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
四、课堂运用
【基础】
1、△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（）
A．1＜AD＜4
B．3＜AD＜13
C．5＜AD＜13
D．9＜AD＜13
【答案】
A
【解析】
解：
延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM
所以AB=CM
又CM-AC所以2<2*AD<8
所以12、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：
BD=CE
【答案】
过D作DF∥AC交BC于F，
∵DF∥AC（已知），
∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠B=∠DFB（等量代换），
∴BD=DF（等角对等边），
∵BD=CE（已知），
∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=GE（对应边相等）
【解析】
过D作DF∥AC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△GDF≌△CEG即可.
【巩固】
1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，
求证：
AF=EF
【答案】
解：
延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC
∵△ABC中,AD是BC边上的中线
∴BD=DC
∵AD=DG
∴四边形ABGC为平行四边形
∴AC=BG,AC//BG
∴△AFE∽△GBE
∴AF/FE=GB/BE
∵AC=BE,AC=BG
∴BE=BG
∴AF=FE
【解析】
延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF
2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
【答案】
延长AE到M，使EM=AE，连结DM
易证△DEM≌△CEA
∴∠C=∠MDE,DM=AC
又BD=DC=AC
∴DM=BD,∠ADC=∠CAD
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC
∴∠ADM=∠ADB
∴△ADM≌△ADB
∴∠BAD=∠MAD
即AD平分∠BAE
【解析】
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
【拔高】
1、如图，已知在△ABC内，
，
，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是
，
的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
【答案】
证明：
做PM‖BQ，与QC相交与M。
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP（角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
赞同
【解析】
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。
2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
【答案】
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,
AE=AE,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又AC∥BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE，∠NBE=∠EBN
BE=BE
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
【解析】
根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论
课程小结
1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
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