全国2卷高考文科数学试题与答案解析.docx
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全国2卷高考文科数学试题与答案解析
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2016年普通高等学校招生全统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
24题，共150分
第Ⅰ卷
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A1,2,3，Bxx29，则AB
（A）2,1,0,1,2,3（B）1,0,1,2（C）1,2,3（D）1,2
（2）设复数z满足zi3i，则z
（A）12i
（B）12i
（C）32i
（D）32i
（3）函数yAsin（x
）的部分图像如图所示，则
（A）y2sin（2x）（B）y2sin（2x）
63
y
2
（C）y2sin（2x）（D）y2sin（2x）
63
（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
32
（A）12（B）（C）8（D）4
3
-
πOπx
63
-2
（5）设F为抛物线C：
y2
4x的焦点，曲线
y
k（k
0）
与C交于点P，PF
x轴，则k
x
（A）1
（B）1
（C）3
（D）2
2
2
（6）圆
x
2
y
2
2
x
8
y
130的圆心到直线
ax
y
1
0
的距离为
，则a
1
（A）3
（B）
3
3
（D）2
（C）
4
（7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
23
面积为
（A）20π
4
（B）24π
44
（C）28π
（D）32π
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（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，
红灯持续时间为40
秒．若
一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待
15秒才出现绿灯的概率为
开始
（A）7
（B）5
（C）3
（D）3
输入x,n
10
8
8
10
（9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，
右图是实现该算法的程序框图
.执行
该程序框图，若输入的x
2，n2,依次输入的a为2，2，5，则输出的s
k0,s0
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数
y10lgx的定义域和值域相同的是
输入a
（A）
（11）函数
yx
（B）ylgx
（C）y2x
（D）y
1
ssxa
x
k
k1
f
x
）
cos2
x
（
x）的最大值为
（
6cos
否
2
k
n
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
是
（12）已知函数f（x）（x
R）满足f（x）
f（2
x），若函数y
x2
2x3
与
输出s
m
yf（x）图像的交点为（x1,y1）,（x2,y2）,
（xm,ym），则
i1
xi
结束
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第
（13）～（21）题为必考题，每个试题都必须作答。
第
（22）～（24）题为
选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分。
（13）已知向量
a
（m,4）
，
b
（3,
2）
，且∥
，则m
．
ab
x
y
1
0,
（14）若x,y满足约束条件
x
y
3
0,则z
x2y的最小值为
．
x
3
0,
（15）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA4,cosC5,a1，则b．
513
（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不
是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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（17）（本小题满分12分）
等差数列an中，且a3a44，a5a76．
（Ⅰ）求an的通项公式；
（Ⅱ）记bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62．
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保
费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
保费
0
1
2
3
4
5
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
概数
0
1
2
3
4
5
60
50
30
30
20
10
（Ⅰ）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．
D′
（19）（本小题满分
12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点
O，点E,F分别在AD,CD上，AECF，EF
A
E
交BD于点H.将△DEF沿EF
折到△DEF
D
的位置.
H
O
（Ⅰ）证明：
AC
HD；
B
F
C
（Ⅱ）若AB
5
，OD
22，求五棱锥D
ABCFE的体积．
5，AC6，AE
4
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（20）（本小题满分12分）
已知函数f（x）（x1）lnxa（x1）．
（Ⅰ）当a4时，求曲线yf（x）在（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若当x（1,）时，f（x）0，求a的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
x2
y2
的左顶点，斜率为k（k
0）的直线交E于A,M两点，点N在E
已知A是椭圆E：
1
4
3
上，MA
NA.
（Ⅰ）当
AM
AN时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当
2AM
AN时，证明：
3
k2.
请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重
合），且DEDG,过D点作DFCE,垂足为F.
（Ⅰ）证明：
B,C,G,F四点共圆；
（Ⅱ）若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
G
DC
EF
AB
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（23）（本小题满分
10分）选修
4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy中，圆C的方程为（x6）2
y2
25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
x
tcos
10，求l的斜率.
y
tsin
（t为参数），l与C交于A,B两点，AB
（24）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
1
x
1
f（x）
2的解集.
已知函数f（x）x
，M为不等式
2
2
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当a,b
M时，a
b
1ab.
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2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案
一.选择题
（1）D
（2）C
（3）A
（4）A
（5）D
（6）A
（7）C
（8）B
（9）C
（10）D
（11）B
（12）B
二．填空题
（13）
6
（14）
5
21
（15）
（16）1和3
13
三、解答题
（17）（本小题满分
12分）
（Ⅰ）设数列
an的公差为d，由题意有2a1
5d
4,a1
5d3，解得a11,d
2
，
5
所以an
2n
3
的通项公式为an
.
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn
2n3，
5
当n=1,2,3
2n
3
1；
时，1
5
2,bn
当n=4,5
2n
3
2；
时，2
3,bn
5
当n=6,7,8
2n
3
3
时，3
5
4,bn
；
2n
3
当n=9,10
4，
时，4
5,bn
5
所以数列
n
的前10
项和为13
2
23
3
4224.
b
（18）（本小题满分
12分）
（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为
60
50
0.55，
200
故P（A）的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于
1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于
1且
小于4的频率为3030
0.3，
200
故P（B）的估计值为0.3.
（Ⅲ）由题所求分布列为：
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保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30a0.251.25a
0.151.5a0.151.75a
0.302a0.10
1.1925a，
因此，续保人本年度平均保费估计值为
1.1925a.
（19）（本小题满分12分）
（I）由已知得，
AC
BD,AD
CD.
又由AE
CF得AE
CF，故AC//EF.
AD
CD
由此得EF
HD,EF
HD，所以AC//HD..
（II）由EF//AC得OH
AE
1.
DO
AD
4
由AB5,AC
6
得DO
BO
AB2
AO2
4.
所以OH
1,DH
DH
3.
于是OD2
OH2
（2
2）212
9
DH2,故OD
OH.
由（I）知
AC
HD，又AC
BD,BD
HD
H，
所以AC
平面BHD,于是AC
OD.
又由OD
OH,AC
OHO，所以，OD
平面ABC.
又由EF
DH得EF
9.
AC
DO
2
五边形ABCFE的面积
S
1
8
1
9
69
6
2
3.
2
2
4
所以五棱锥
D'
ABCEF体积V
1
69
22
23
2.
3
4
2
（20）（本小题满分12分）
（I）f（x）的定义域为（0,
）.当a
4时，
f（x）（x
1）ln
x
4（x
1）,f（x）
lnx
1
（1）
2,f
（1）0.曲线y
f（x）在（1,f
（1））处
3，f
x
的切线方程为2x
y
2
0.
（II）当x（1,
）时，f（x）
0等价于
lnx
a（x
1）
0.
x
1
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令g（x）lnx
a（x
1），则
x
1
1
2a
x2
2（1
a）x
1
0，
g（x）
（x
1）
2
x（x
2
g
（1）
x
1）
（i）当a
2，x
（1,
）时，x2
2（1a）x
1x2
2x
10，故g（x）
0,g（x）在x（1,）
上单调递增，因此
g（x）
0；
（ii）当a
2
时，令g（x）
0
得
x1
a1
（a1）21,x2
a1
（a1）21，
由x2
1和x1x2
1得x1
1，故当x
（1,x2）时，g（x）
0，g（x）在x
（1,x2）单调递减，因此
g（x）0.
综上，a的取值范围是
2.
（21）（本小题满分
12分）
（Ⅰ）设M（x1,y1），则由题意知y10.
由已知及椭圆的对称性知，直线
AM的倾斜角为
，
4
又A（
2,0），因此直线AM的方程为y
x
2.
将x
y2代入x2
y2
1得7y2
12y0，
4
3
解得y
0或
12
，所以y1
12
.
y
7
7
因此
AMN的面积SAMN
2
1
12
12
144
.
2
7
7
49
（II）将直线AM
的方程y
k（x
2）（k
0）代入
x2
y2
4
1得
3
（3
4k2）x2
16k2x
16k2
12
0.
由x1
（
2）
16k2
12得x1
2（3
4k2），故|AM|
1k2
|x12|
12
1k2
.
3
4k2
3
4k2
3
4k2
由题设，直线
AN的方程为y
1（x
2），故同理可得|AN|
12k
1
k2
.
k
4
3k2
由2|AM||AN|得
3
2
4
k
，即4k3
6k2
3k80.
4k2
3k2
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设f（t）4t3
6t2
3t8，则k是f（t）
的零点，f'（t）
12t2
12t
3
3（2t1）2
0，
所以f（t）在（0,
）单调递增，又f（3）
153
26
0,f
（2）
6
0
，
因此f（t）在（0,
）有唯一的零点，且零点
k在（
3,2）
内，所以
3
k
2.
（22）（本小题满分10分）
（I）因为DFEC,所以DEFCDF,
则有
GDF
DEF
FCB,
DF
DE
DG
CF
CD
CB
所以
DGF
CBF,由此可得
DGF
CBF,
由此
CGF
CBF
1800,所以B,C,G,F四点共圆.
（II
）由B,C,G,F四点共圆，CG
CB知FG
FB，连结GB，
由G为RtDFC
斜边CD
的中点，知GFGC
故
Rt
BCG
Rt
BFG,
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