《从运动变换看三垂直模型》教学设计.docx

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《从运动变换看三垂直模型》教学设计

《从运动变换看“三垂直模型”》教学设计

教材分析

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形、矩形、平面直角坐标

系、网格、一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使学生在中考中技高一筹。

教学目标

（一）知识与技能：

知道什么是“三垂直模型”，以及解决“三垂直模型”的共通方法，学会从正面应用模型：

用全等，证垂直；学会从反面应用模型：

用垂直，证全等。

（二）过程与方法：

通过动手实践、合作探索、小组交流，使学生亲身经历知识的发生过程。

从平移变换、旋转变换中，利用数学建模感受解题方法之不变，从而掌握多题归一的思想。

（三）情感态度与价值观：

在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验。

以小组学习的形式进行学习，把课堂的主动权还给学生。

教学重点和难点

1.重点：

认识“三垂直模型”的特征，以及解题方法

2.难点：

从运动变换、正反应用两方面获得解决三垂直模型的共通之法

教学与学法

1、教法——变式教学法、信息技术辅助教学法

为了让学生从多道题目中，感受“题目虽变、方法不变”，因此采用变式教学的方法，帮助学生建立模型。

除此之外，还借助几何画板技术，达到动态效果，更好地帮助学生突破难点。

2、学法——小组合作学习的方法

因为本节课的内容具有一定的难度，俗话说“三个臭皮匠，胜过一个诸葛亮”，所以采取小组合作的学习方法，让学生在课堂上交流、探讨，碰撞出知识的火花。

教学过程

本节课从两方面应用模型：

教学过程

师生活动

设计意图

（一）

辅例题

、知识铺垫

1.辅例题——知识铺垫

例1：

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，求证：

∠ACD=∠B，∠BCD=∠A（引自菁优网）

【解题思路流程图】：

证明：

∵CD⊥AB∴∠BDC=∠ADC=90°

∵∠BCA=90°∴∠BCD+∠ACD=90°①

∵∠BDC=90°∴∠BCD+∠B=90°②

∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠A=90°③

由①、②得∠ACD=∠B（同角的余角相等）由①、③得∠BCD=∠A（同角的余角相等）

老师带着学生总结：

这道题并不难，学生能够自主完成，评讲后，老师一定要引导学生进行总结，提炼出解决这道题的方法，真正的“授之以渔”。

【意图】这幅图是初中阶段的一幅经典图形，蕴含着很多数学知识，例如等面积法、三角形相似、射影定理、同角（等角）的余角相等。

由这道简单而又经典的辅例题引入，目的是能够让学生拾回旧知识“同角

（等角）的余角相等”，为接下来的学习与探究做好知识的铺垫。

（二）

主例题

、引入

模

型

正向应用：

用垂直→证全等

例2：

如图，已知AC=DF，AC⊥DF，且∠B=∠E=90°，证明：

Rt△ABC≌Rt△DEF（自行改编）

【解题思路流程图】：

证明：

∵AC⊥DF∴∠ACF=90°

∴∠ACB+∠FDE=90°→关键1

∵∠B=90°

∴∠ACB+∠A=90°→关键1

∴∠A=∠FDE→关键2：

同角的余角相等又∵∠B=∠E=90°，AC=DF

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS）

【总结】：

什么是“三垂直模型”

【特征】：

“三垂直”，即有三个相关的直角

【方法】：

正向应用：

用垂直→证全等有两个关键步骤（如上）

→关键步骤1：

90°→互余→找到两组角相加等于90°

→关键步骤2：

同角（或等角）的余角相等从而为全等提供一个有用条件

学生积极思考，老师稍加引导，共同完成例题的证明过程。

完成证明后并从中总结出“三垂直模型”的特征与解题方法。

【意图】很多学生认为学数学难，是因为学生对一些同一类型的题目没有进行归纳，没有从中总结题目的特征与解题方法，达到多题归一。

因此教学过程中，老师采用数学建模的思想，挑选一道典型的“三垂直模型”的正向应用题，由此拉开对“三垂直模型”探究，为接下来的探究提供了方法指导。

（三）

变式训练

、平移

变

换

从平移变换看“三垂直模型”

变式训练1：

在例2的基础上，已知AC=DF，AC⊥DF，且∠B=∠E=90°如果Rt△ABC向右移动，Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系呢？

Rt△ABC≌Rt△DEF是否依然成立？

请说明理由？

（自行改编）

（图1）

（图2）

（图3）

（图4）

【解题思路流程图】：

此处采用小组合作的方式进行探究，学生以小组形式上台展示图1与图2的证明过程，图3与图4的证明过程留给学生课后思考。

学生黑板展示如下：

教师利用几何画板展示，学生认真观察。

本节课有一定难度，所以采用小组合作的学习方式。

小组积极讨论，并派代表上黑板展示。

由于时间关系，此处只展示图

1与图2的证明过程，图3与图4的证明过程留给学生课后思考。

【意图】此处通过几何画板动态演示平移过程，能够帮助学生更好的理解平移过程中Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系。

【意图】采用小组学习的方式，学生经历思考、探究、交流等学习过程，并让学生上讲台展示，提高学生学习的积极性与热情，提高学生的探究兴趣和能力，把学习的主动权交给学生。

此外，通过几幅图的平移进行变式练习，能够更好地让学生了解“三垂直模型”，图形虽变，方法不变，通过与主例题的解题思路流程的对比，学生不难找到解决此类问题的共通之法，学会举

一反三。

（四）

变式训练

、旋转

变

换

从旋转变换看“三垂直模型”

变式训练2：

活动探究，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

①请根据题意画出图形，你能画出几种情况的图形呢？

②探究线段DE，AD，BE的数量关系。

（2010年秋番禺区校级月考，并自行改编）（由于时间关系：

上课前一天就布置画图）

学生黑板展示画图情况情况如下：

老师利用几何画板进行展示：

分为两类第一类：

直线MN在△ABC内

图1图2

图3

由于时间关系，这道题在课前的时候让学生完成画图部分，并在课堂上让学生以小组的形式上黑板进行展示。

探究线段DE，AD，BE的数量关系留到课堂上完成。

【意图】这道题，在设计的时候特意把图形删去，让学生自己动手画图，可以培养学生的的读题能力和动手画图能力，而且学生在画图的过程中体会图形虽然变化，但是变化的过程中会有共性。

体会分类讨论思想。

【技术支持】

利用几何画板进行展示，让学生更加清晰地看到随着直线MN旋转一周，图形会发生怎样的变化，相比学生在黑板上的画图板演，更加直观、明了。

其次几何画板能够较准确地测量出线段长度，对探究线段DE，AD，BE的数量关系提供了帮助，从而产生猜想，为接下来的验

证作铺垫。

（四）

变式训练

、旋转

变

换

第二类：

直线MN在△ABC外

【意图】例题1、2与变式1是通过平移变换进行变式训练，而这几幅图是通过旋转变换进行变式练习。

但不管题目怎么变，只要学生明白了，何为“三垂直模型”，找到解决此类问题的共通之法，学会举一反三，那么所有这一类的题目都不成问题。

本题还展示了两种不同的方法证明三角形全等，让学生体会一题多解的思想。

图4图5

【解题思路流程图】图1：

图4：

为不同之处

方法看似有所区别，但“换汤不换药”，都是用“同角的余角相等”来为证明三角形全等创造第三个条件

由于时间关系，学生以小组形式上台展示图1与图4的证明过程，图2、图3、图5的证明过程留给学生课后思考。

学生黑板展示:

学生积极思考问题，小组交流讨论，完成证明、探究。

并选代表上讲台进行板练。

（五）

主例题2

、逆用

模

型

逆向应用：

用全等→证垂直

例3：

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，且∠B=∠E=90°，请问线段AC与线段DF有怎样的关系，请写出证明过程？

（自行改编）

注意：

此处要提醒学生注意，线段的关系包括两种，一种是长度关系即AC=DF，

一种是位置关系即AC⊥DF。

【解题思路流程图】

解：

AC=DF，AC⊥DF理由如下:

∵Rt△ABC≌Rt△DEF

∴∠A=∠EDFAC=DF

在Rt△ABC中，∠B=90°

∴∠A+∠ACB=90°→关键步骤1（创造90°）

∴∠EDF+∠ACB=90°→关键步骤2（等量代换）

∴∠ACF=180°-（∠EDF+∠ACB）=180°-90°=90°

∴CE⊥AC

总结：

“三垂直模型”

特征：

“三垂直”，即有三个相关的直角方法：

逆向应用：

用全等→证垂直

有两个关键步骤（如上）

→关键步骤1（创造90°）

→关键步骤2（等量代换）

学生积极思考，老师稍加引导，共同完成例题的证明过程。

完成证明后并从中总结出“三垂直模型”的特征与解题方法。

【意图】老师采用数学建模的思想，挑选一道典型的“三垂直模型”的逆向应用题，让学生从中体会到知识之间的关系，知识可以正反应用，并引导学生从中总结方法，为接下来的变式训练提供了方法指导。

（六）

变式训练

、逆用模型

逆向应用：

从平移变换看“三垂直模型”

变式训练：

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，且∠ABC=

∠FED=90°，在例1的基础上，如果Rt△ABC向右移动，Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系呢？

平移过程中线段AC与线段DF的关系是否会发生变化？

请说明理由？

教师利用几何画板，把Rt△ABC向右移动，并总结出以下几种关系：

（并自行改编）

图1

图2

图3图4

【解题思路流程图】

学生以小组形式上台展示图1与图2的证明过程，图3

与图4的证明过程留给学生课后思考。

学生黑板展示如下：

学生积极思考问题，小组交流讨论。

并选代表上讲台进行板练

【意图】采用小组学习的方式，学生经历思考、探究、交流等学习过程，并让学生上讲台展示，提高学生学习的积极性与热情，学生展示的答案可能不止一两种，甚至有方法三、方法四，让学生再次体会一题多解，提高学生的探究兴趣和能力，把学习的主动权交给学生。

此外，通过几幅图的平移进行变式练习，能够更好地让学生了解“三垂直模型”，找到解决此类问题的共通之法，学会举一反三。

（七）

归纳小结

、知识

梳

理

思维导图进行小结

1、你在本节课学到了什么知识点？

2、你在本节课学到了什么方法，提高了什么能力？

【知识点】：

【数学方法】：

正反应用、多题归一、数学建模、分类讨论、一题多解等。

让学生回顾整节课的内容，开口说说自己的收获。

然后老师帮助学生用思维导图的反式形成知识链。

从教学双基层面，知识与技能层面，对本节课进行小结。

并借助信息技术“思维导图”来进行总结，有助于对知识进行梳理，条理清晰，从而构建知识网络。

（八）

作业布置

、巩固

拓

展

作业展示（附件1）

1、三垂直模型与平面直角坐标系结合题目

2、三垂直模型与正方形、三角函数结合题目

3、三垂直模型与一次函数、二次函数结合题目

4、三垂直模型与正方形、函数综合题

学生自行完成作业，对课堂的知识进行巩固、拓展。

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，可以与多种知识结合考察，所以掌握好这一模型会使学生在中考中技高一筹。

（八）

善用网络

、全面

提

高

本节课重难点视频链接

网址1：

网址2：

网址3：

学生可结合自己的情况借助网络视频有选择的学习

学生认知水平差异较大，课堂上难以照顾到每一层次的学生，为更好地体现不同的学生有不同的发展。

借助网络微课上传本节难点精讲，相关知识拓展。

附件1：

作业展示

（一）、三垂直模型与平面直角坐标系结合题目

如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标

（二）、三垂直模型与正方形、三角函数结合题目

如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα=.

（三）、三垂直模型与一次函数、二次函数结合题目

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），

C（0，6）三点，直线y=2x+2与y轴交于点D，点P为二次函数图象上

3

一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为

（四）、三垂直模型与正方形、函数综合题

如图，二次函数y=1x2+bx-3的图象与x轴交于点A（-3,0）和点B，以AB为边x轴上方

22

作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E。

（1）

请直接写出点D的坐标：

。

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值。

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由。