届高考理数96抛物线及其性质.docx

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届高考理数96抛物线及其性质

§9.6　抛物线及其性质

考纲解读

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.抛物线的定义及其标准方程

掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质

掌握

2017课标全国Ⅱ,16;

2016课标全国Ⅰ,10;2016四川,8;

2016浙江,9;2015陕西,14;

2014湖南,15;2013广东,20

选择题

解答题

★★★

2.抛物线的几何性质

掌握

2017课标全国Ⅰ,10;

2016天津,14;2015浙江,5;

2014上海,3;2013北京,7

选择题

解答题

★★★

3.直线与抛物线的位置关系

掌握

2017北京,18;2016江苏,22;

2014大纲全国,21;2014课标Ⅱ,10

选择题

解答题

★★★

分析解读　1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.

五年高考

考点一　抛物线的定义及其标准方程

1.（2016课标全国Ⅰ,10,5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为（　　）

A.2B.4

C.6D.8

答案　B

2.（2016四川,8,5分）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（　　）

A.B.

C.D.1

答案　C

3.（2017课标全国Ⅱ,16,5分）已知F是抛物线C:

y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. 

答案　6

4.（2016浙江,9,4分）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. 

答案　9

教师用书专用（5—8）

5.（2015陕西,14,5分）若抛物线y2=2px（p>0）的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　. 

答案　2

6.（2014湖南,15,5分）如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b（a0）经过C,F两点,则=　　　　. 

答案　1+

7.（2013广东,20,14分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F（0,c）（c>0）到直线l:

x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

（1）求抛物线C的方程;

（2）当点P（x0,y0）为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

（3）当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

解析　

（1）依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.

（2）抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=（x-x1）,即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA,PB均过点P（x0,y0）,所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以（x1,y1）,（x2,y2）为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

（3）由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,

所以|AF|·|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1,

联立方程消去x整理得y2+（2y0-）y+=0.

由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+（y1+y2）+1=+-2y0+1.

又点P（x0,y0）在直线l上,所以x0=y0+2,

所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.

所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.

8.（2013湖南,21,13分）过抛物线E:

x2=2py（p>0）的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N（M,N为圆心）的公共弦所在直线记为l.

（1）若k1>0,k2>0,证明:

·<2p2;

（2）若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.

解析　

（1）由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.

由得x2-2pk1x-p2=0.

设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则x1,x2是上述方程的两个实数根.

从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1（x1+x2）+p=2p+p.

所以点M的坐标为,=（pk1,p）.

同理可得点N的坐标为,=（pk2,p）,

于是·=p2（k1k2+）.

由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,

所以0

故·

（2）由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.

故圆M的方程为（x-pk1）2+=（p+p）2,

化简得x2+y2-2pk1x-p（2+1）y-p2=0.

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p（2+1）y-p2=0.

于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为（k2-k1）x+（-）y=0.

又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.

因为p>0,所以点M到直线l的距离

d===.

故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.

考点二　抛物线的几何性质

1.（2015浙江,5,5分）如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

2.（2013四川,6,5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是（　　）

A.B.C.1D.

答案　B

3.（2016天津,14,5分）设抛物线（t为参数,p>0）的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为　　　　. 

答案　

教师用书专用（4—5）

4.（2013北京,7,5分）直线l过抛物线C:

x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（　　）

A.B.2C.D.

答案　C

5.（2013江西,14,5分）抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　. 

答案　6

考点三　直线与抛物线的位置关系

1.（2014课标Ⅱ,10,5分）设F为抛物线C:

y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

2.（2014辽宁,10,5分）已知点A（-2,3）在抛物线C:

y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

3.（2017北京,18,14分）已知抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

（1）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

（2）求证:

A为线段BM的中点.

解析　

（1）由抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）,得p=.

所以抛物线C的方程为y2=x.

抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.

（2）由题意,设直线l的方程为y=kx+（k≠0）,l与抛物线C的交点为M（x1,y1）,N（x2,y2）.

由得4k2x2+（4k-4）x+1=0.

则x1+x2=,x1x2=.

因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为（x1,x1）.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.

因为y1+-2x1=

=

===0,

所以y1+=2x1.

故A为线段BM的中点.

教师用书专用（4—5）

4.（2016江苏,22,10分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:

x-y-2=0,抛物线C:

y2=2px（p>0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证:

线段PQ的中点坐标为（2-p,-p）;

②求p的取值范围.

解析　

（1）抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为,

由点在直线l:

x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.

所以抛物线C的方程为y2=8x.

（2）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,线段PQ的中点M（x0,y0）.

因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.

①由消去x得y2+2py-2pb=0.（*）

因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,

从而Δ=（2p）2-4×（-2pb）>0,化简得p+2b>0.

方程（*）的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.

因为M（x0,y0）在直线l上,所以x0=2-p.

因此,线段PQ的中点坐标为（2-p,-p）.

②因为M（2-p,-p）在直线y=-x+b上,

所以-p=-（2-p）+b,即b=2-2p.

由①知p+2b>0,于是p+2（2-2p）>0,所以p<.

因此,p的取值范围是.

5.（2014大纲全国,21,12分）已知抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

（1）求C的方程;

（2）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

解析　

（1）设Q（x0,4）,代入y2=2px得x0=.

所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.

由题设得+=×,解得p=-2（舍去）或p=2.

所以C的方程为y2=4x.（5分）

（2）依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1（m≠0）.

代入y2=4x得y2-4my-4=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y1+y2=4m,y1y2=-4.

故AB的中点为D（2m2+1,2m）,|AB|=|y1-y2|=4（m2+1）.

又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.

设M（x3,y3）,N（x4,y4）,

则y3+y4=-,y3y4=-4（2m2+3）.

故MN的中点为E,

|MN|=|y3-y4|

=.（10分）

由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4（m2+1）2++

=.

化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.（12分）

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点一　抛物线的定义及其标准方程

1.（2018陕西西安一模,3）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为（　　）

A.-2B.2C.-4D.4

答案　D

2.（2018云南昆明质检,7）已知点M是抛物线C:

y2=2px（p>0）上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是（2,2）,则p的值为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　D

3.（2017皖北协作区3月联考,3）已知抛物线C:

x2=2py（p>0）,若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为（　　）

A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y

答案　C

4.（2017河南百校联盟质检,4）已知抛物线C:

y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为（　　）

A.3B.4C.4D.4

答案　B

5.（2017河南新乡二模,14）已知点A（1,y1）,B（9,y2）是抛物线y2=2px（p>0）上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为　　　　. 

答案　10

考点二　抛物线的几何性质

6.（2018青海西宁模拟,8）抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=（　　）

A.-4B.4

C.0D.-4或4

答案　C

7.（2018贵州贵阳一模,8）过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:

y2=2px（p>0）的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为　（　　）

A.B.3

C.D.4

答案　D

8.（2017江西红色七校一联,7）已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A（0,a）,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值范围是（　　）

A.（1,3）B.（2,4）

C.D.

答案　D

9.（2017江西九校联考,14）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=　　　　. 

答案　2

考点三　直线与抛物线的位置关系

10.（2018河南安阳模拟,7）已知点A（-1,-2）在抛物线C:

y2=2px（p>0）的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为（　　）

A.4B.2C.2D.1

答案　A

11.（2018四川南充模拟,7）如图,过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=（　　）

A.1B.2C.D.3

答案　B

12.（2017广东汕头一模,11）过抛物线C:

x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　A

13.（人教A选2—1,二,2-4A,5,变式）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为（　　）

A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x

答案　A

B组　2016—2018年模拟·提升题组

（满分:

40分　时间:

40分钟）

一、选择题（每小题5分,共10分）

1.（2018河南开封一模,10）抛物线M:

y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据:

≈2.24）（　　）

A.B.C.D.

答案　D

2.（2017山西五校3月联考,11）已知抛物线C:

y2=2px（p>0）上一点（5,m）到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M:

（x-6）2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为（　　）

A.2-B.2-1C.1-D.-1

答案　A

二、填空题（每小题5分,共15分）

3.（2017河北唐山调研,15）已知抛物线x2=4y与圆C:

（x-1）2+（y-2）2=r2（r>0）有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r=　　　　. 

答案　

4.（2017河南商丘模拟,16）如图所示,已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点恰好是椭圆+=1（a>b>0）的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为　　　　. 

答案　-1

5.（2017湖北孝感模拟,16）已知抛物线x2=4py（p>0）的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+（+）·=-1-5p2,则p的值为　　　　. 

答案　

三、解答题（共15分）

6.（2018辽宁大连模拟,20）如图,已知过抛物线E:

x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合）,∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2.

（1）求证:

l1∥l2;

（2）求三角形ABC面积的最小值.

解析　

（1）证明:

抛物线E:

x2=4y的焦点为F（0,1）,且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.

设A（x1,y1）,C（x2,y2）（不妨设x2>0）,

由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,

∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=yD-1,∴yD=y1+2.

∴直线l1的斜率k1==,

∵x1x2=-4,∴k1==x2,

又∵y'=x,∴过C（x2,y2）的切线斜率k2=x2.

即k1=k2,∴l1∥l2.

（2）由

（1）得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,

∴x1+xB=2x2,x1xB=-（+8）.

∴|AB|=·=2·,

点C到直线l1的距离d=====,

三角形ABC的面积S=×|AB|×d=（x2-x1）3.

由

（1）可得x2-x1=4,∴当k=0时,（x2-x1）min=4,

∴当k=0时,三角形ABC的面积S=（x2-x1）3取到最小值,Smin=×43=16.

C组　2016—2018年模拟·方法题组

方法1　求抛物线的标准方程的方法

1.（2018广西钦州模拟,6）已知抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为F,点M（x0,2）是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于（　　）

A.1B.2C.2D.4

答案　B

2.（2017江西赣州二模,4）抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　B

3.（2017福建福州模拟,14）函数y=ax-1（a>0且a≠1）的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是　　　　.　 

答案　y2=x

方法2　抛物线定义的应用策略

4.（2018湖南长沙模拟,7）已知点A（3,0）,过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为（　　）

A.1B.C.2D.

答案　C

5.（2018浙江温州模拟,7）设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A（-1,a）与焦点F的距离为2,则a=（　　）

A.4B.4或-4C.-2D.-2或2

答案　D

6.（2018云南玉溪模拟,14）已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为　　　. 

答案　

7.（2017福建四地六校4月模拟,15）已知抛物线C:

y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为　　　. 

答案　（4,0）

8.（2016陕西西安模拟,13）如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆（x-2）2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是　. 

答案　（8,12）

方法3　解决直线与抛物线位置关系问题的方法

9.（2018广东汕头一模,9）过抛物线C:

x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　A

10.（2017湖南长沙长郡中学模拟,20）在平面直角坐标系xOy中,过点C（2,0）的直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点,设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

（1）求证:

y1y2为定值;

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?

如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.

解析　

（1）证明:

设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.

（2）存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,

因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=,

所以所截弦长为2=2==.

当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.