二次函数综合(定值)问题与解析.doc
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成都市中考压轴题（二次函数）精选
【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：
AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；
（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．
解答：
（1）解：
∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：
设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，
∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，
∴AO=AM；
（3）解：
①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，
消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，
x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．
【例二】.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在
（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.
解：
（1）如图，过点作于点．
在中，
y
x
F
P3
B
E
C
D
A
P2
P1
O
，，
．
又由勾股定理，
得．
．
点在第一象限内，
点的坐标为．
点关于轴对称的点的坐标为． 2分
设经过三点的抛物线的函数表达式为
．
由
经过三点的抛物线的函数表达式为． 2分
（2）假设在
（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形．
①点不是抛物线的顶点，
过点作直线的平行线与抛物线交于点．
则直线的函数表达式为．
对于，令或．
而点，．
在四边形中，，显然．
点是符合要求的点． 1分
②若．设直线的函数表达式为．
将点代入，得．．
直线的函数表达式为．
于是可设直线的函数表达式为．
将点代入，得．．
直线的函数表达式为．
由，即．
而点，．
过点作轴于点，则．
在中，由勾股定理，得．
而．
在四边形中，，但．
点是符合要求的点． 1分
③若．设直线的函数表达式为．
将点代入，得
直线的函数表达式为．
直线的函数表达式为．
由，即．
而点，．
过点作轴于点，则．
在中，由勾股定理，得
．
而．
在四边形中，，但．
点是符合要求的点． 1分
综上可知，在
（1）中的抛物线上存在点，
使以为顶点的四边形为梯形． 1分
（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
y
x
Q
O
G
R
M
N
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点．
可设抛物线的函数表达式为．
即．
如图，过点作轴于点．
，
，
，
．
．
．
． 2分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点．
同理，可得． 1分
综上可知，的值为．
【例三】、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（为常数）的图象与x轴交于点A（，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线（为常数，且≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
考点：
二次函数综合题。
解答：
解：
（1）∵经过点（﹣3，0），
∴0=+m，解得m=，
∴直线解析式为，C（0，）．
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0，），
∴=a•3（﹣5），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2+x+；
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．如答图1，
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵，∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO=，即yE=，
∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），
∴E（2，），S▱ACEF=；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，
联立化简得：
x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2===
∴M1M2===4（1+k2）．
又M1P===；
同理M2P=
∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．
∴M1P•M2P=M1M2，
∴=1为定值．
【例四】（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移
（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前
（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？
若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：
点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
②当PQ为斜边时：
点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．
ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
解答：
解：
（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得：
b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：
y=x2+2x﹣1．
（2）i）∵A（0，﹣1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：
y=x﹣1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由
（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），
则平移后抛物线的函数表达式为：
y=（x﹣m）2+m﹣1．
解方程组：
，
解得，
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．
∴PQ==AP0．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：
点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：
y=x+b1，
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，
∴直线l1的解析式为：
y=x﹣5．
解方程组，得：
，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．
②当PQ为斜边时：
MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：
y=x+b2，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3，
∴直线l2的解析式为：
y=x﹣3．
解方程组，得：
，
∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．
如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边
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