数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
(二)命题预测试卷
(二)
一、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。
在每个小题给出的选
项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1.下列函数中,当x
1时,与无穷小量(1x)相比是高阶无穷小的是(
)
A.ln(3
x)
B.x3
2x2
x
C.cos(x
1)
D.x2
1
2.曲线y3
x3
1在(1,
)内是(
)
x
A.处处单调减小
B.处处单调增加
C.具有最大值
D.具有最小值
3.设f(x)是可导函数,且lim
f(x02h)
f(x0)
1,则f(x0)为(
)
h
x0
A.1
B.0
C.2
1
)
x
4.若f(
,则
x
x
1
A.1
2
C.1
5.设u
xyz,
u等于(
x
A.zxyz
C.yz1
二、填空题:
本大题共
题中横线上。
D.1
2
1
f(x)dx为()
0
B.1ln2
D.ln2
)
B.xyz1
D.yz
10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在
6.设z
exy
yx2,则z
(1,2)=
.
y
7.设f
(x)
ex
lnx,则f(3)
.
8.f(x)
x
,则f
(1)
.
1
x
x
9.设二重积分的积分区域D是1
x2
y2
4,则dxdy
.
D
10.lim(1
1
)x=
.
x2x
11.函数f(x)
1
(ex
ex)的极小值点为
.
2
12
.若
x2
ax
4
3
,则a
.
lim
x1
x
1
13.曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为
.
14.函数y
x2
sintdt在x
处的导数值为
.
0
2
1
xsin2
x
.
15.
dx
11
cos2x
三、解答题:
本大题共13小题,共90分,解答应写出推理、演算步骤。
16.(本题满分6分)
arctan
1
x
0的间断点.
求函数f(x)
x
0
x
0
17.(本题满分6分)
计算lim
x
x
1.
x
2x2
1
18.(本题满分6分)
1
计算limlnarcsinx(1x)x.
x0
19.(本题满分6分)
1
设函数f(x)xex
x
0
,求f(x).
ln(1x)
1
x
0
20.(本题满分6分)
求函数ysin(xy)的二阶导数.
21.(本题满分6分)
求曲线f(x)x42x3的极值点.
22.(本题满分6分)
x3
计算dx.
2
x1
23.(本题满分6分)
若f(x)的一个原函数为xlnx,求xf(x)dx.
24.(本题满分6分)
0
k
dx
1
,求常数k的值.
已知
1
x2
2
25.(本题满分6分)
求函数f(x,y)y3x26x12y5的极值.
26.(本题满分10分)
求(x2y)dxdy,其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域.
D
27.(本题满分10分)
设f(x)x2
a
a
a
3
.
f(x)dx,且常数a
1,求证:
f(x)dx
0
0
3(a
1)
28.(本题满分10分)
求函数ylnx的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近
x
线并作出函数的图形.
参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.D4.D5.D
二、填空题
6.2e2
1
7.e31
3
8.1
1
9.3
x
10.e
12.5
1
2
11.x0
13.y
1
(x1)
4
2
2
14.sin
15.0
4
三、解答题
16.解这是一个分段函数,
f(x)在点x
0的左极限和右极限都存在.
limf(x)
lim
1
arctan
x0
x0
x2
1
limf(x)limarctan
x
0
x0
x
2
lim
f(x)
lim
f(x)
x
0
x0
故当x
0时,f(x)的极限不存在,点x
0是f(x)的第一类间断点.
1
1
1
xx
1
x
x2
1
2
17.解原式=lim
lim
.
2
2
x
2x
1
x
1
2
2
2
x
1
18.解设f(x)
arcsinx(1
x)x.
由于x
0是初等函数lnf(x)的可去间断点,
1
故
limlnf(x)
lnlimf(x)
lnlimarcsxin(1x)x
x
0
x0
x0
1
ln
limarcsinx
lim(1
x)x
x0
x0
ln(0e)lne1.
19.解首先在x0时,分别求出函数各表达式的导数,即
1
1
1
1
1
1
当x
0时,f(x)(xex
)ex
xex
ex(1
x2
)
x
当1
x0时,f
(x)
ln(x
1)
x
1.
1
然后分别求出在x
0处函数的左导数和右导数,即
f
(0)
lim
1
1
x
0
x
1
1
1
f
(0)
lim
e
x(1
)0
x
0
x
从而f
(0)
f
(0),函数在x
0处不可导.
1
1)
ex(1
x
0
所以f
(x)
x
1
x
0
x
1
20.解
y
sinx(y)
y
cos(x
y)(1
y)
cosx(
y)
y
cosx(
y)
①
y
sin(x
y)(1
y)
ycosx(
y)
ysinx(
y)(1y)
1cos(x
y)y
sin(x
y)(1
y)2
y
sin(x
y)(1
y)2
②
1
cosx(
y)
又由①解得y
cos(x
y)
1
cos(xy)
cos(x
2
cos(x
y)
y)1
cos(x
y)
代入②得y
1
1
cos(x
y)
sinx(
y)
1
cosx(y)3
21.解
先出求f(x)的一阶导数:
f(x)
4x3
6x2
4x2(x
3)
2
令f
(x)
0即4x2(x
3)
0
解得驻点为x10,x2
3.
2
2
再求出f(x)的二阶导数f(x)
12x2
12x
12x(x1).
当x2
3
时,f(
3
)
9
0
,故f(
3
)
27
是极小值.
2
2
2
16
0,在(0,3)内f(x)0
当x1
0
时,f(0)
0,在(
0)内,f(x)
2
故x10不是极值点.
总之
曲线f(x)
x4
2x2只有极小值点x
3.
2
22.解
x3
x3
xx
x(x2
1)x
x
x
2
1
x
2
1
x2
1
x
2
1
x
x
3
dx
(x
x
)dx
xdx
x
dx
x2
1
x
2
x2
1
1
1x2
1d(x2
1)
1x2
1lnx(2
1)C
2
2
x
1
2
2
23.解由题设知f(x)
(xlnx)
lnx
x(lnx)
lnx
1
故x
f(x)dx
x(lnx
1)dx
xlnxdx
xdx
lnx
1
dx2
1
x2
1
2
2
1x2
lnxx2
x2d(lnx)
2
2
1lnxx2
1x21dx
1x2
2
2
x
2
1x2lnx
1
xdx
1x2
2
2
2
1x2lnx
1x2
C.
k
2
1
4
1
0
dx
0
dx
k
lim
0
dx
24.解
1
x
2
k
1
x
2
a
1
x
2
a
k
lim
arctanxa0
k
lim(
arcta)nk
a
a
2
又
0
k
dx
1
1
x
2
2
故
k
1
解得k
1.
2
2
25.解
f
2x
6,
f
3y2
12
x
y
解方程组
2x
6
0
得驻点A0(3,2),B0(3,
2)
3y2
12
0
又
A
fxx
2,B
fxy
0,C
f
yy
6y
对于驻点A0:
A
2,B
0,C
6yx
3
12,故B2
AC240
y
2
驻点A0不是极值点.
对于驻点B0:
A
2,B0,C6yx
3
12
y
2
故B2
AC
240,又A20.
函数f(x,y)在B0(3,2)点取得极大值
f(3,2)
(
2)3
9
18
24
5
30
26.解由y
x2与x
y2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)
x
y2(y
0)的反函数为y
x.
(x2
1
x
(x2
1
2y
1y2)
2xdx
y)dxdy
0
dx
2
y)dy
(x
x
D
x
0
2
1
5
1x)(x4
1x4)dx
0
(x2
2
2
(2x27
1x2
3x5)10
33
7
4
10
140
27.证
a
a
2
a
dx
f(x)dx
x
f(x)dx
0
0
0
a
a
a
x2dx
0
f(x)dxdx
0
0
1x3
0a
a
a
f(x)dx
dx
3
0
0
a3
a
af(x)dx
30
a
a
a3
f(x)dxa
f(x)dx
0
0
3
a
a
3
于是f(x)dx
.
0
3(a
1)
28.解
(1)先求函数的定义域为(0,).
(2)求y
和驻点:
y
1
lnx,令y0得驻点xe.
x2
(3)由y
的符号确定函数的单调增减区间及极值.
当0
x
e时,y
1
lnx
0,所以y单调增加;
x2
当x
e时,y0
,所以y单调减少.
由极值的第一充分条件可知
1为极大值.
yxee
(4)求y
并确定y的符号:
2lnx3,令y
3
y
0得xe2.
x3
3
当0
x
e2时,y
0,曲线y为凸的;
3
当x
e2
时,y
0,曲线y为凹的.
33
根据拐点的充分条件可知点(e2,3e2)为拐点.
2
这里的y和y的计算是本题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:
x
(0,e)
e
3
3
3
(e,e2)
e2
(e2,)
y
+
0
-
-
-
y
-
0
+
就表上所给的y和y符号,可得到:
函数y
lnx的单调增加区间为(0,e);
x
函数y
lnx的单调减少区间为(e,
);
x
函数y
lnx的极大值为y(e)
1;
x
e
lnx
3
函数y
的凸区间为(0,e2);
x
lnx
3
函数y
的凹区间为(e2,
);
x
3
3
函数y
lnx
的拐点为(e2,3
e
2).
x
2
(5)因为