复数题型归纳史上最全.docx
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复数题型归纳史上最全
Io
复数题型归纳（史上最全）
-标准化文件发布号：
（9556∙EUATWK∙MWUB-WUNN∙INNUL-DDQTY-KII
北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入
自我总结卷
一、选择题：
1、复数z=l+/（i是虚数单位），则复数（z+DU-D虚部是（）【答案】D
A、∙l+2iB、
-1
C、2i
D、2
1>α=0是复数"+加
3,bwR）为纯虚数的（）
【答案】B
A>充分条件B、
必要条件
C、充要条件D、
非充分非必要条件
IX已知复数Z1=3+4/,
z2=t+i9
且总是实数,
则实数/等于（A）.期中
考试题
34
4
3
A∙4Bic∙
——
3
D—-
54
————3
解析Zi-Z2=（3+4i）（t-i）=（3t+4）+（4t-3）i.W为ZUn足实数，所以&一3=0,所以件孑因此选几
1、若复数（m2-3m-4）+（m2-5∕w-6）/是虚数，则实数加满足（）【答案】D
（A）In≠-1（B）m≠6（C）〃？
工一1或〃？
工6（D）也H-I且〃7H6
IN若则zl∙z2+Zι∙z2是（）【答案】B
A纯虚数B实数C虚数D无法确定
1、若（√-1）+（x2+3x+2）/是纯虚数，贝IJ实数X的值是（）【答案】A
AIB-IC±1D以上都不对
1.已知复数Z严加+2i,“3-4i,若色为实数，则实数加的值为（）【答案】Z2
D
A、2
B・-2
广3TX3
CX-D.--
22
2・j表示虚数单位，
则J+i2+i'+•
→严W的值是（）答案A
A・0
B・1
C./D.-/
2、已馭一労则"+刑的值为（A）
A./BX1CS2+iDX3
2、复数α∣［等于（
（I-√3∕∙）
答案：
B
A.l+√3∕B.-l+√3⅛
C.l-√3∕D∙-l-√3∕
【答案】A
【答案】A
2、复数（T^的值是
A.-1B.1
2、已知x+-=l,则d996+的值为（）
A-1B1C-/
2、f（n）=il'+Γn,（neN-）的值域中，元素的个数是（B）
A、2BX3C、4DS无数个
3、在复平面内，若复数满足∣^+1I=IZ-ZI,则所对应的点的集合构成的醒
直线y=-x
3、∣z+3+4ilS2,贝IJIZl的最大值为（B）
A3B7C9D5
3•若ZeC且IzI=I,则lz-2-2/1的最小值是（C）
A・2√2B・2√2+lC∙2√Σ-1D・
3.如果复数Z满足∣z÷i∣+∣z-i∣=2,那么∣z÷ι+i∣的最小η值是（）.・;]r
A.1B.√2：
-4-1
C.2D.√5
解析∣z÷i∣÷∣z-i∣=2,则点Z在以（0,1）和（0,—1）为端点的线段
±,∣z+l+i∣表示点Z到（一1,一1）的距离.由图知最小值为1.
答案A
3.⅛μ∣=2⅛∣z+/I=IZ-I|,贝IJ复数*Z=^（I-∕）⅛∑=-√2（1-/）
3•如果ZeCt且同=1,贝∣J∣z-l-2∕∙∣的最大值为【答
案】√5+l
答案:
3•若ZeC且lz+2-2门=1,则収-2-2门的最小值是（）
A.2B.3C.4D.5
3.己知复数z=x+yi（x,y∈∕?
x≥^）,满足IZ-Il=兀，那么Z在复平面上对应的点（x,y）的轨迹是（）.
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
解析VZ=x+yi（χ9y∈R,>满足∖z~l∖=χ9.∖（χ-l）a+y=x>故y=2x~l.答案D
3、已知方程Iz-21-∣z+2l=α表示等轴双曲线，则实数α的值为（A）
A>±2√2BV2√2CX土迈DX迈
4.己知复数Z=-I+/,贝贬在复平面内对应的点在第几象限（）【答案】
D-四
【答案】D
B.第二象限
D.第四象限
）【答案】B
D.第四象限
A∙—B.二C∙三
4•在复平面内，复数注对应的点位于（）
A.第一象限
C.第三象限
4・在复平面内，复数-Lτ+（l+√3/）2对应的点位于（
1+/
A.第一象限B.第二象限C•第三象限
4•已知i为虚数单位，则占所对应的点位于复平面内点（）【答案】A
A•第一象限B.第二象限
C.第三象限
5、（m+i）3eR,则实数加的值为（B
A、±2√3
B、
5、⅛x∈C,贝IJ方程IXl=I+3f-x的解是
（C）
AX
XI=4,吃=_1
C、-4+3/
DS
1√3.
1
22
5、复数z=1+COSa+iSina∖πA2cos—
2
6.f⅛÷f⅛的值是（
1-2z1+2z
B-2cosI
C2sinI
-2tanI
【答案】C
B∙2i
6•复数"巳的虚部是（
【答案】B
C•2/
D•-2/
（1+2沪（2—沪等于（
I-Z1+/
【答案】
A.3-4/
B.-3+4/
C•3+4/
D.-3-4?
6•若复数器
2+ι
（i是虚数单位）
的实部和虚部相等,
则实数d等于（）【答
案】D
A•-16•已知复数=3-/7/,z2=1-2/,若乞是实数，则实数0的值为（）【答案】A
B•-6
7・对于两个复数α=-l+^-∕∙,β=-∣-⅛∕∙,有下列四个结论:
φaβ=lJ
乙乙乙乙
②汁
③罟=1:
④o√+卩—，其中正确的结论的个数为（）【答案】B
Ipl
A.1B.2C.3D.4
7.下面是关于复数Z=f的四个命题：
【答案】C
I-Z
Pl∙∖z∖=2,p2:
z2=2/“3：
Z的共辄复数为-1÷∕“4：
Z的虚部为1
其中真命题为（）
A■PsB.P∖PlC∙P29PaD.P39Pa
8•若复数二满足方程孑+2=0,则F的值为（）【答案】C
A.±2√2B.-2√ΣC.±2√2∕D.-2√2i
ab-ZI
12.定义运算Cd=Mfc,则对复数Z=χ+ji（χ,J∈R）符合条件〜2i3+21的复数Z等于.
解析由定义运算，得:
2i=2Zi-Z=3+2i,则Z=仝菁打3+2i-I-2i1_8
—14-21—1—2155，
Aertta18
答案i^?
二、填空题：
1.若复数z=2r-3r-2+（r2-4）∕（r∈7?
）为纯虚数,则t的值为
【答案】
2•已知i为虚数单位，复数Z=—,贝IJlZI=.【答案】
1-1
√iδ
3.若i为虚数单位，则复数M=.【答案】1-2/
1+z
4•已知-^T=I-/2/,其中心是实数，，是虚数单位，则m-ni=【答案】
1+z
2-i
5•若（a-2i）i=b-i1其中a,heR1i是虚数单位，复数a+bi=
【答案】-1+2/a+3：
6•若复数匕iIaeR9i为虚数单位）是纯虚数,则实数G的值为
1+2ι
【答案】一6
7、设iy=-g+f√,则集合k={x∖x=ωk+ω~l伙eZ）}中元素的个数是2。
8、已知复数心十心，则复数±+⅜=
9、
计算：
答案：
3.解答题:
【复数的分类问题】
IX实数加取什么值时，复数Z=rn（m-l）+（m-l）i是
（I）实数（II）纯虚数（Hl）虚数【答案】⑴m=l
（2）m=0
2、已知复数z=（2m2+3m-2）+（∕n2+m-2）/,（m∈R）根据下列条件,求加值.
（I）Z是实数；（IDZ是虚数;（IlI）Z是纯虚数；（IV）Z=O.
【答案】⑴当m‰-2=0,即呼一2或m=l时，Z为实数；
⑵当mc÷m-2≠0,即m≠-2且mHl时，Z为虚数;
In≠一2且m≠1
2m^+3m—2=0⑷当＜.
IiT+m-2=0
m=一或m=-2解得］2
m=一2或m=1
即呼一2时，z=0.
35取何值时,复数"气罟+—5”
（I）是实数；
（II）是纯虚数.
【答案】⑴
w2—2w-15=0IW=5或《?
=-3
/.当W=
£是实数
w÷3≠0'w≠-3
Hr-2///-15≠O
（2）m=3或加=-2
Ur-m-6=0
・•・当加=3或也=一211寸，Z是纯虚数・
4、设复数z=lg（m2-2m-2）+（∕n2+3m+2）f当川取何实数时？
（I）Z是纯虚数;
（II）Z对应的点位于复平面的第二象限。
【答案】
（1）Z是纯虚数当且仅当怦"-2,π-2）=°
[nr+3nι+2≠0解得，加=3
⑵由卩防-2〃_2）VO
nr+3m+2>0
-IV加Vl-√3,或1+厉-1
所以当—IV加VI-√3⅛Kl+√3Z对应的点位于复平面的第二象限。
【求复数类型】
1、设复数二满足μ∣=√io,且（i+2i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线y=χ上，求z.
【答案】设z=χ+yi（X.yeR）VlzI=Tioi.∙.x2+r=10
而（1+2i）z=（1+2/）（X+yi）=（X一2y）+（2x+y）i
・・.x-2y=2x+y
又・・•（1+2/）Z在复平面上对应的点在直线y=x±,
即[宀宀K）
x=-3y
SPz=±（3-0
Q
2、求虚数z,使z+-eRf且IZ-3∣=3.
解:
设z=a+bi（a,beZRb≠O）I
则：
999α9b9
z+-=a+bi+——=（«+———）+（b-——）iI⅛z+-∈7?
Za+bi6Γ+∕rrr+∕rZ
得AT⅛"'又"故/+庆注①;
3
又由∣z-3∣=3得：
y∣（a-3）2+b2
a=—=3②，由①②得｛2
3√3
I-
b=±
4x2=4,3（x2+∕）=12.
解得
x=l
OV<[y=±^\
兀=一1y=±√J
•对应四组解略。
3、把复数Z的共轨复数记作？
，已知（1+2证=4+3八求乙及2。
Z
解：
设Z=d+仞∙（α,bwR）,贝∣JJ=6∕-W,由已知得（l+2f）（α—仞）=4+3Z,
化简得：
（α+"）+（2dW=4+3j所以α+"=4,2α"=3,解得
rt=2√?
=II所以z=2+ZI
Z2+/34.
—==—I—/O
Z2_i55
4、设αb为共辄复数，且（“+疔-3朋=4-12：
I求Sb的值。
【教师用
书】
解:
Sa=X+yiyb=x-yi^（x,y∈R）o带入原方程得
4√-3（√+∕）z∙=4-12/,由复数相等的条件得、
★★£已知Z2为复数，（l+3,）∙z为纯虚数，^=-≡,且I^∣=5√20
2+z
求复数Oo（教师用书章末小结题）解法1：
设Z=X+）7；（x9y∈R）I则（1+3z）∙Z=CV-3y）+（3x+y）i为纯虚数，所
以x=3y≠01因为√-∣=5√2,所以IZI=JX2+/=5√10；又
2+ι
x=3y。
解得x=15,y=5;x=_15,y=_5所以
15+5/
2+/
=±（7-/）O
I还可以直接计算）
解法2：
设3二x+yi（x,y∈R）,
2+i
=>Z=ω（2+z）=（x+y∕）（2+z）
依题意得（l+3i）（2+i）ω=（-l+7i）3为实数,且lωl=5√2l
Yv-y=O
X2+y2=50
Λω=l+7i或3二一1一7i。
解法3：
（提示：
设复数乙直接按照已知计算，先纯虚数得a=3bl再模长
7b-bi
5
6、已知复数满足收―耳+去为实数，求。
解:
z=x+yi∖xyy^R）l因为k-4I=I-4/1,带入得x=yi所以
Z=x+xι.xeR
又因为z+匕一十为实数，所以z+匕一十=Z+三一亠，
Z-IZ-IZ-I
化简得，所以有Z-Z=O或IZ-Il2=13
由Z-Z=O得X=O；由IZ-Il2=13得X=-2,SEX=3。
所以Z=^Z=-2-2i∙z=3+3i.（也可以直接用代数形式带入运
算）
7、求同时满足下列两个条件的所有复数；
（1）z+-∈∕?
且l（2）的实部与虚部都是整数。
解:
设z=x+>‰（x.yeR）
10・10・IO（X-W）Zl10∖Zl10、・
z+-=x+yι+=x+yι+一,一L=X（1+——）+y（l--——）/
Zx+yι+y・Xe+>rf+y
因为z+-eR,所以y（l--）=0o所以y=0⅛2+y2=IOo
Z2+:
T
当y=o时，Z=A-I又1<^+—≤61所以XeR^I而
^+-≥2√iθ>6,所以在实数范围内无解。
当χ2+y2=iQ时，贝IJz+-=Z+-=Z+Z=2xo由
ZZ
1<2x<6=>—<%≤3
2
因为x,y为正整数，所以X的值为1,或Z或3。
当X=I时,y=±3;当χ=2⅛,y=±A（舍）；当χ=3Hty=±lo
贝IJZ=I±37或,z=3±i°
【根的问题】
1、关于X的方程是√-（tan+/>-（2+0=0;若方程有实数根，求锐角&和实数
根；
a1-atan-2=0,α+1=0;
解:
设实数根是5则«2-（tan^+i）x-（2+/）=0,
Cr一atan&—2—（a+l）z=0,β.*aStanBwR
.∙.a=—1,且tan&=1,XO<^<—,・λ.θ=—,a=—1；24
2、若关于X的方程√+（l+2z）x+3∕n+∕=0有实根,则实数川等于（）
—I
A•一B.—/C.——
121212
【答案】A
【向量计算】
1、在复平面上，设点A、B、C,对应的复数分别为/,l,4+2∕0过A、B、C做
平行四边形ABCD,求此平行四边形的对角线BD的长。
解：
由题知平行四边形三顶点坐标为A（0,l）,B（l,0）,C（4,2）,设D点的坐标为
（t_4=_]
^（VoT）o因为BA=CD,得（-1J）=（X-4,y-2）l得fI•得
y-2=1.
）=3
<^.即D（3,3）所以而=（2,3）t贝IJIBDI=JB。
2、（本小题满分12分）在复平面上，正方形的两个顶点人方对应的复数分别为1+2/x3-5ZO求另外两个顶点C,D对应的复数。
解：
设D（x,y）
AD=x+yi-（∖+2i）=x-∖+（y-2）i=（x-l,y-2）
ΛD±AB=>（x-l）∙2-7（y-2）=0
IAZ）I=IABI=√53=>√（x-D2+（y-2）1=√53
X=—6..
Γx=8
或、
・•・Zn=一6或ZD=8+4Z
Iy=O
Iy=4
由¾c=SDn
5一S=S_ZAnZC=S_Z71+Zg
S=-6
或<
ZD=8+4/
G=-4-7,
I厂P
ZC=IO-3/
3、在复平面内，O是原点，OAiOCl入力表示的复数分别为
—2+Z93+2/τ1+5/1
那么就表示的复数为4-4i
个正方形的第四个顶点对应的复数为（）・
B.3-i
D.-l+3i
4・如图在复平而上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1÷2∕,-2+/,0,那么这
A.3+i
C.l-3i
解析0Γ=Qi+加=l+2i-2+i=-l+3i,所以Q对应的复数为一l+3i.
答案D
【杂乱】
1、计«[（1+2/）.1100+（l≡i）5J2-（I^）20
[（1+2Z）-Zn）O
=[（1+2∕）∙1+（-O5]2-Z10
=（l+∕）2-∕ιυ=l+2z
2、已知复数Z]=m+（4-m2）iI（Jn∈R）IZl=2cos^+（Λ+3sinθ）i,（ΛθeR）
并且勺=?
2，求兄的取值范围。
解:
由Z1=Z2得“
加=2cos8
4-w2=几+3sin0
消去加可得:
兄=4sin'0-3sin8=4（sin8—討一由于一l≤sin8≤l,故一善≤2M7
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