矩阵奇异值分解_精品文档.ppt

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第三节第三节奇异值分解奇异值分解矩阵的奇异值分解在矩阵特征值矩阵的奇异值分解在矩阵特征值问题，最小二乘法问题及广义逆矩阵问题，最小二乘法问题及广义逆矩阵问题等有重要应用问题等有重要应用矩阵的等价标准型矩阵的等价标准型定理定理：

设：

设则则存在存在使得使得右式右式称为矩阵称为矩阵AA的等价标准型的等价标准型酉酉等价等价：

设：

设若若存在存在mm阶酉阶酉矩阵矩阵UU和和nn阶酉矩阵阶酉矩阵VV，使得使得则称则称AA与与BB酉等价。

酉等价。

矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。

矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。

引理引理1证明证明设设是是AHA的特征值，的特征值，x是相应的特征向量，是相应的特征向量，则则AHAx=x由于由于AHA为为Hermite矩阵，故矩阵，故是实数。

又是实数。

又同理可证同理可证AAH的特征值也是非负实数。

的特征值也是非负实数。

证明证明设设xx是是方程组方程组AAHHAxAx=0=0的的非非00解解，引理引理22则由则由得得对于对于Hermite矩阵矩阵AHA，AAH，设设AHA，AAH有有r个非个非0特征值，分别记为特征值，分别记为即：

即：

AHA与与AAH非非0特征值相同，并且非零特特征值相同，并且非零特征值的个数为征值的个数为奇异值的定义奇异值的定义说明：

说明：

A的正奇异值个数恰等于的正奇异值个数恰等于，并且，并且A与与AH有相同的奇异值。

有相同的奇异值。

定理定理酉等价的矩阵有相同的奇异值酉等价的矩阵有相同的奇异值由由称为矩阵称为矩阵AA的酉等价标准形的酉等价标准形.奇异值分解定理奇异值分解定理证明证明由于由于AAHHAA是是Hermite矩阵，存在矩阵，存在nn阶酉矩阵阶酉矩阵V,V,使使其中其中将将矩阵矩阵VV分块，分块，则有：

则有：

比较等式两端得比较等式两端得：

从而有从而有设设即即UU11的的rr个列是两两正交的单位向量，则个列是两两正交的单位向量，则于是于是推论推论在矩阵在矩阵AA的的奇异值分解奇异值分解AA=UDVUDVHH中，中，UU的列向量为的列向量为AAAAHH的特征向量，的特征向量，VV的列向量为的列向量为AAHHAA的特征向量的特征向量.说明：

此定理仅是奇异值分解的必要条件，但说明：

此定理仅是奇异值分解的必要条件，但不是充分条件。

不是充分条件。

11求矩阵求矩阵AAHHAA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵VV;55构造奇异值分解构造奇异值分解44扩充扩充UU11为酉矩阵为酉矩阵U=（U=（UU11,UU22）33令令22记记奇异值分解方法奇异值分解方法11利用利用矩阵矩阵AAHHAA求解求解例例1、求矩阵、求矩阵的的奇异值分解奇异值分解可可求得求得的特征值为的特征值为对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为于是可得：

于是可得：

令令其中其中计算：

计算：

构造：

构造：

则则的的奇异值分解为奇异值分解为奇异值分解方法奇异值分解方法2-2-利用矩阵利用矩阵AAAAHH求解求解11先求矩阵先求矩阵AAAAHH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵UU;44扩充扩充VV11为酉矩阵为酉矩阵V=（V=（VV11,VV22）55构造奇异值分解构造奇异值分解22记记33令令例例求矩阵求矩阵A的奇异值分解的奇异值分解利用矩阵利用矩阵AAH求解求解