学年苏科版七年级数学下册 第7章 平面图形的认识二章末解答题突破训练三.docx

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学年苏科版七年级数学下册第7章平面图形的认识二章末解答题突破训练三

七年级数学下册第7章平面图形的认识

（二）

章末解答题突破训练（三）

1．如图，点B在AC上，AF与BD、CE分别交于H、G，已知∠1＝40°，∠2＝140°，∠ABH＝∠A．

（1）证明：

∠C＝∠ABH；

（2）求∠C的度数．

2．已知，AE∥BD，∠A＝∠D．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：

∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．

3．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．

（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．

（2）求证：

DF∥AC．

（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．

4．如图1，在△ABC的AB边的异侧作△ABD，并使∠C＝∠D，点E在射线CA上．

（1）如图，若AC∥BD，求证：

AD∥BC；

（2）若BD⊥BC，试解决下面两个问题：

①如图2，∠DAE＝20°，求∠C的度数；

②如图3，若∠BAC＝∠BAD，过点B作BF∥AD交射线CA于点F，当∠EFB＝7∠DBF时，求∠BAD的度数．

5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，DE交BF于点G，∠1与∠2互补．

（1）试判断AC，DE的位置关系，并说明理由；

（2）如图，EF⊥BC，垂足为点E，过点G作GH⊥EF，垂足为点H，点N是线段BE上一点，∠NBH＝∠NHB，HM平分∠NHF．

①求证：

HB平分∠GHN；

②问∠BHM的大小是否改变？

若不变，请求出∠BHM的度数；若改变，请求出∠BHM的度数的取值范围．

6．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：

AB∥CD．

证明：

∵AF⊥CE　　，

∴∠CGF＝90°，

∵∠1＝∠D　　，

∴AF∥　　，

∴∠4＝　　＝90°（　　），

又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，

∴∠C＝　　，

∴AB∥CD　　．

7．如图，在四边形ABCD中，已知BE平分∠ABC，交AD于E，∠AEB＝∠ABE．

（1）求证：

AD∥BC；

（2）若AB∥CD，求证：

∠D＝2∠CBE．

8．如图，在△ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3＝∠C．

（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度数；

（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．

9．探究归纳题：

（1）试验分析：

如图1，经过A点可以做　　条对角线；同样，经过B点可以做　　条；经过C点可以做　　条；经过D点可以做　　条对角线．

通过以上分析和总结，图1共有　　条对角线．

（2）拓展延伸：

运用

（1）的分析方法，可得：

图2共有　　条对角线；

图3共有　　条对角线；

（3）探索归纳：

对于n边形（n＞3），共有　　条对角线．（用含n的式子表示）

（4）特例验证：

十边形有　　对角线．

10．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°，

（1）求∠ACE的度数；

（2）若∠2＝58°，求证：

CF∥AG．

11．已知直线BC∥ED．

（1）如图1，若点A在直线DE上，且∠B＝44°，∠EAC＝57°，求∠BAC的度数；

（2）如图2，若点A是直线DE的上方一点，点G在BC的延长线上，求证：

∠ACG＝∠BAC+∠ABC；

（3）如图3，FH平分∠AFE，CH平分∠ACG，且∠FHC比∠A的2倍少60°，直接写出∠A的度数．

12．完成推理填空

如图，已知∠B＝∠D，∠BAE＝∠E．将证明∠AFC+∠DAE＝180°的过程填写完整．

证明：

∵∠BAE＝∠E，

∴　　∥　　（　　）．

∴∠B＝∠　　（　　）．

又∵∠B＝∠D，

∴∠D＝∠　　（等量代换）．

∴AD∥BC（　　）．

∴∠AFC+∠DAE＝180°（　　）．

13．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．

（1）∠ABO的度数为　　°，△AOB　　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

14．已知：

如图，DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H，∠C＝∠D．求证：

∠A＝∠F．

证明：

∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），

∴∠DGH＝∠EHF＝90°（　　）．

∴DB∥EC（　　）．

∴∠C＝　　（　　）．

∵∠C＝∠D（已知），

∴∠D＝　　（　　）．

∴DF∥AC（　　）．

∴∠A＝∠F（　　）．

15．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：

∠BAN＝2：

1．

（1）填空：

∠ABQ＝　　；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠1＝40°，∠2＝140°，

∴∠1+∠2＝180°，

∴BD∥CE，

∴∠ABH＝∠C；

（2）解：

∵∠ABH＝∠A，∠ABH＝∠C，

∴∠A＝∠C，

又∵∠A+∠C＝∠2，∠2＝140°，

∴∠C＝

2＝

＝70°．

2．

（1）证明：

∵AE∥BD，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝∠D，

∴∠D+∠B＝180°，

∴AB∥CD；

（2）证明：

如图2，过点E作EP∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥EP，

∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，

∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，

∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，

即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，

∵AF是∠BAE的平分线，

∴∠EAF＝∠FAB＝

EAB，

∵FH是∠CFG的平分线，

∴∠CFH＝∠HFG＝

CFG，

∵CD∥AB，

∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，

设∠FAB＝α，∠CFH＝β，

∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，

∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）解：

如图，延长DC至点Q，

∵AB∥CD，

∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，

∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，

∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，

∴∠ECF＝∠CFG，

由

（2）问知：

∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，

∴∠AEC＝2∠AFH，

∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，

∴∠AFH＝20°，

由

（2）问知：

∠CFM＝2β，∠FHG＝β，

∵FH⊥HM，

∴∠FHM＝90°，

∴∠GHM＝90°﹣β，

过点M作MN∥AB，

∴MN∥CD，

∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，

∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，

由

（2）问知：

∠EAF＝∠FAB，

∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，

∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，

∴∠EAF+∠GMH＝70°．

3．解：

（1）与∠A构成的同旁内角：

∠AFD，∠AED，∠B，∠C；

（2）证明：

∵DE∥AB，

∴∠BFD＝∠1，

∵∠A＝∠

1，

∴∠BFD＝∠A，

∴DF∥AC；

（3）∵DE∥AB，

∴∠B+∠BDE＝180°，

∵DF∥AC，

∴∠CDF+∠C＝180°，

∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，

∵∠BDE+∠CDF＝215°，

∴∠B+∠C＝145°．

4．解：

（1）如图1所示：

∵AC∥BD，

∴∠D＝∠DAE，

又∵∠C＝∠D，

∴∠DAE＝∠C，

∴AD∥BC；

（2）①如图2所示：

∵BD⊥BC，

∴∠HBC＝90°，

∴∠C+∠BHC＝90°，

又∵∠BHC＝∠DAE+∠D，

∠C＝∠D，∠DAE＝20°，

∴20°+2∠C＝90°，

∴∠C＝35°；

②如图3所示：

∵BF∥AD，

∴∠D＝∠DBF，

又∵∠C＝∠D，

∴∠C＝∠D＝∠DBF，

又∵BD⊥BC，

∴∠DBC＝90°，

又∵∠D+∠DBA+∠BAD＝180°，

∠C+∠CBA+∠BAC＝180°．

∠BAC＝∠BAD，

∴∠DBA＝∠CBA＝45°，

又∵∠EFB＝7∠DBF，

∠EFB＝∠FBC+∠C，

∴7∠DBF＝2∠DBF+∠DBC，

解得：

∠DBF＝18°，

∴∠BAD＝180°﹣45°﹣18°＝117°．

5．解：

（1）AC∥DE，理由如下：

∵∠1与∠2互补，

∴∠1+∠2＝180°，

∵∠2＝∠DGF，

∴∠1+∠DGF＝180°，

∴AC∥DE；

（2）①∵EF⊥BC，GH⊥EF，

∴∠BEF＝∠GHF＝90°，

∴BE∥GH，

∴∠NBH＝∠BHG，

∵∠NBH＝∠NHB，

∴∠BHG＝∠NHB，

∴HB平分∠GHN；

②∠BHM的大小不发生改变，∠BHM＝45°．理由如下：

∵HM平分∠NHF．

∴∠FHM＝∠NHM，

即∠FHM＝∠GHM+∠BHG+∠NHB，

∵∠FHM+∠GHM＝90°，

∴∠GHM+∠BHG+∠NHB+∠GHM＝90°，

∵∠BHG＝∠NHB，

∴2∠GHM+2∠BHG＝90°，

∴∠GHM+∠BHG＝45°．

即∠BHM＝45°．

答：

∠BHM的大小不发生改变，∠BHM＝45°．

6．证明：

如图所示：

∵AF⊥CE（已知），

∴∠CGF＝90°，

∵∠1＝∠D（已知），

∴AF∥ED，

∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），

又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，

∴∠C＝∠3，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），

故答案为：

已知，已知，ED，两直线平行，同位角相等；∠3，内错角相等，两直线平行．

7．解：

（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

又∵∠AEB＝∠ABE．

∴∠AEB＝∠CBE，

∴AD∥BC．

（2）∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴∠D＝∠ABC；

∵∠ABC＝2∠CBE，

∴∠D＝2∠CBE．

8．解：

（1）∵∠1与∠2互补，

∴AC∥DF，

∴∠BFD＝∠C＝40°；

（2）DE∥BC，理由如下：

由

（1）可知：

∠BFD＝∠C，

∵∠C＝∠3，

∴∠BFD＝∠3，

∴DE∥BC．

9．解：

经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．

通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．

（2）拓展延伸：

运用

（1）的分析方法，可得：

图2共有5条对角线；

图3共有9条对角线；

（3）探索归纳：

对于n边形（n＞3），共有

条对角线．

（4）特例验证：

十边形有

＝35对角线．

故答案为：

（1）1，1，1，1，2；5，9；

；35．

10．解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠1＝∠DCE＝32°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE＝32°；

（2）∵CF⊥CE，

∴∠FCE＝90°，

∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，

∵∠2＝58°，

∴∠FCH＝∠2，

∴CF∥AG．

11．解：

（1）∵BC∥ED，∠B＝44°，

∴∠DAB＝∠B＝44°，

∵∠BAC＝180°﹣∠DAB﹣∠EAC

∴∠BAC＝180°﹣44°﹣57°＝79°．

（2）过点A作MN∥BG，

∴∠ACG＝∠MAC，∠ABC＝∠MAB

而∠MAC＝∠MAB+∠BAC

∴∠ACG＝∠MAB+∠BAC＝∠ABC+∠BAC．

（3）如图，设AC与FH交于点P

∵FH平分∠AFE，CH平分∠ACG

∴∠AFH＝∠EFH＝

∠AFE，∠ACH＝∠HCG＝

∠ACG

∵BC∥ED

∴∠AFE＝∠B

∴∠AFH＝

∠B

∵∠A+∠B＝∠ACG

∴∠ACH＝

∠ACG＝

∠A+

∠B

在△APF和△CPH中

∵∠APF＝∠CPH

∴∠A+

∠B＝

∠A+

∠B+∠FHC

∴∠FHC＝

∠A

∵∠FCH＝2∠A﹣60°

∴

∠A＝2∠A﹣60°

∴∠A＝40°．

12．证明：

∵∠BAE＝∠E，

∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）．

∴∠B＝∠BCE（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠B＝∠D，

∴∠D＝∠BCE（等量代换）．

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．

∴∠AFC+∠DAE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：

AB，DE，内错角相等，两直线平行；BCE，两直线平行，内错角相等；BCE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

13．解：

（1）∵AB⊥OM，

∴∠BAO＝90°，

∵∠AOB＝60°，

∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，

∵90°＝3×30°，

∴△AOB是“灵动三角形”．

故答案为：

30，是．

（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，

∴∠OAC＝20°，

∵∠AOC＝60°＝3×20°，

∴△AOC是“灵动三角形”．

故答案为：

是．

（3：

①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；

②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．

③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．

综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．

14．解：

∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），

∴∠DGH＝∠EHF＝90°（垂直的定义），

∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），

∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），

∵∠C＝∠D（已知），

∴∠D＝∠DBA（等量代换），

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DBA，两直线平行，同位角相等；∠DBA，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

15．解：

（1）∵∠BAM：

∠BAN＝2：

1，∠BAM+∠BAN＝180°，

∴∠BAM＝120°，∠BAN＝60°，

∵PQ∥MN，

∴∠ABQ＝∠BAN，

∴∠ABQ＝60°，

故答案为：

60°；

（2）设A灯转t秒时，两灯的光束互相平行，

30×1+t＝2t或30+t+2t﹣180＝180，

解得，t＝30或110，

答：

A灯转动30或110秒，两灯的光束互相平行．