学年第二学期温州市十五校联合体期中考试联考高二年级数学学科.docx
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学年第二学期温州市十五校联合体期中考试联考高二年级数学学科
2018-2019学年第二学期温州市“十五校联合体”期中考试联考高二年级数学学科
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数
与
都是纯虚数（其中
为虚数单位），则
（▲）
A.
B.
C.
D.1
2．设
，“
”是“
”的（▲）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.在复平面内复数
、
对应的点分别为
、
，若复数
对应的点
为线段
的中点，
为复数
的共轭复数，则
的值为（▲）
A.
B.
C.
D.
4．设常数
，若
的二项展开式中的常数项
，则
的值为（▲）
A.2B.
C.1D.
5.给出下列四个命题：
①已知向量
是非零向量，若
，则
.
②定义域为
的函数
在
及
上都是增函数，则
在
上是增函数.
③命题“若
，则方程
有实根”的逆否命题为：
“若方程
无实根，则
”.
④命题“若实数
满足
，则
”的否命题是假命题．
其中真命题的个数有（▲）
A.1个B.2个C.3个D.4个
6．设
的展开式的各项系数之和为
，二项式系数之和为
，若
，则展开式中含
项的系数为（▲）
A.40B.30C.20D.15
7．已知条件
；条件
，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（▲）
A．
B．
C．
D．
8.某高中举办“情系母校”活动，学校安排6名大学生到高一年级A，B，C三个班级参加活动，每个班级安排两名同学，若甲同学必须到A班级，乙和丙同学均不能到C班级，则不同的安排方法种数为（▲）
A．12B．9C．6D．5
9.设
是一个三次函数，
为其导函数，如图所示的是
的图像的一部分，则
的极大值与极小值的分别是（▲）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
10．已知函数
（
为自然对数的底数），
，若对于任意的
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为（▲）
A.
B.
C.
D.
非选择题部分（共110分）
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分．
11.已知复数
（
为虚数单位），则
▲；复数
的模是▲．
12.在G20杭州峰会期间，甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为▲．
13.已知函数
，若
，则
▲．
14．设复数
（其中
是虚数单位，
），若复数
在复平面上对应的点位于第三象限，则
的取值范围是▲；复数
的模的取值范围是▲．
15.某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，则这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的概率为▲.
16.若将函数
表示为
，其中
，
，则
▲；
▲.
17.市内某公共汽车站有7个候车位（成一排）,现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为▲；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为▲.（用数字作答）
三、解答题：
本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）一个口袋中装有
个红球（
且
）和
个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖．
（Ⅰ）若一次摸两个球，其中奖的概率为
，求
的值；
（Ⅱ）若一次摸一个球，记下颜色后，又把球放回去。
当
时，求二次摸球中奖的概率.
19.（本小题满分15分）一个口袋里有分别标上数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片，其中标上数字1，2的卡片是红色的，标上数字3，4，5的卡片是黄色的，标上数字6，7，8，9的卡片是蓝色的。
从口袋里任抽三张卡片，组成数字不重复的三位数，由这些三位数构成集合
。
（Ⅰ）求从集合
中随机抽取一个数，其各位数字的颜色只有两种的概率；
（Ⅱ）求从集合
中随机抽取一个数，其各位数字的颜色互不相同且是偶数的概率。
20.（本小题满分15分）已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极值；
（Ⅱ）若函数
在区间
上恰有一个零点，求实数
取值范围。
21.（本小题满分15分）设数列
的前
项和为
，且满足
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
关于
的表达式，并用数学归纳法加以证明．
22．（本小题满分15分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求函数
图象在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若存在
，使不等式
对于
恒成立，求
的取值范围．
2018-2019学年第二学期温州市“十五校联合体”期中考试联考高二年级数学学科
（参考答案）
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.答案A.解：
因为复数
是纯虚数，故可设
，其中
.
则
，由
是纯虚数，
得
，得
，
.
2．答案B。
解析：
由
，得
，解得
，故选B。
3.答案C.解：
由题意知点
、
的坐标为
、
，则点
的坐标为
，
则
，从而
。
4．答案A.解析：
展开式的通项公式为
，
令
，得
，则常数项为
，解得
.
5.答案B.解析：
若
，则向量
同向，所以
，故命题①是真命题.
命题②是假命题，例
在
及
上都是增函数，但
在
上不是增函数.命题③显然是真命题.
命题“若实数
满足
，则
”的否命题是“若实数
满足
，则
”，因为
，则
，从而也有
，即命题“若实数
满足
，则
”的否命题是真命题，即命题④是假命题，故选B.
6．答案D.解析：
由
，得
。
，令
，得
。
故展开式中含
项的系数为
。
7.答案D.解：
由
，得
.由
，
得
.依题意有
，
即得
，得
，故选D.
8.答案B.解析：
从甲、乙、丙之外的三个同学中选两位同学到C班级有
种不同的安排方法，再从甲之外的三个同学中选一位同学到A班级有
种不同的安排方法，总共有
种不同的安排方法。
9.答案A.解：
由图像知，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
。
所以
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，在区间
上为增函数，故选A.
10.答案A.解：
，
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数.
，
，又
，则函数
在区间
上的值域为
.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有
，则有
，得
.
当
时，函数
在区间
上的值域为
，不符合题意.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有
，则有
，得
.
综合有实数
的取值范围为
.
非选择题部分（共110分）
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分．
11.答案
，
。
解析：
；
。
12.答案
。
解析：
甲和乙在同一岗位服务的概率为
，故甲和乙不在同一岗位服务的概率为
。
13.答案
解：
，
，
.
14．答案
，
.解析：
，
复数
在复平面上对应的点为
，则有
，得
.
，又
，
，
则
，即复数
的模的取值范围为
。
15.答案
.解：
因为每名学生都有3种报考方法，则5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为
种。
而三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的方式有两种情形：
第一种：
三所高校报名人数为3人，1人，1人，报考方法共有
种。
第二种：
三所高校报名人数为2人，2人，1人，报考方法共有
种。
而三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的不同方法种数共有150种，
故所求概率
。
16.答案0，1024（或
）.解：
令
，则有
，取
，得
.
展开式的通项为
，
，
，
则
，取
，
得
.
17.答案480，720.解析：
甲，乙相邻用捆梆法有
种，然后从4个位置中选两个安排甲，乙，戊有
种排法，最后用插空法安排丙，丁2人，即从5个空档中插入2人，有
种.故甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为
。
3人相邻另2人也相邻，但5位同学不能坐在一起，即要把5人分成3，2两组，每组的人要相邻，两组的人要互不相邻，先捆梆有
种，把两组排列有
种，再把两个空位插入有3种，共有
.
三、解答题：
本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解：
（Ⅰ）一次摸奖从
个球中任选两个，有
种，它们等可能，
其中两球不同色有
种，………………………3分
一次摸奖中奖的概率
．………………………6分
由
，得
或
.………………………8分
（Ⅱ）若
，二次摸奖（每次摸球后放回）中奖的概率是
．………………………13分
答：
二次摸球（每次摸球后放回）中奖的概率为
………………………14分
19.解：
（Ⅰ）记“三位数字的颜色是两红一黄或两红一蓝”的事件为
，
则
.………………………2分
记“三位数字的颜色是两黄一红或两黄一蓝”的事件为
，
则
.………………………4分
记“三位数字的颜色是两蓝一红或两蓝一黄”的事件为
，
则
.………………………6分
而事件
，
，
是互斥事件，
则其各位数字的颜色只有两种的概率为
………………………7分
（Ⅱ）记“三位数字的颜色互不相同且是偶数”的事件为
，
记“含有
个偶数数字，且三位数字的颜色各异的偶数”的事件为
。
则
，且
互斥。
因
，………………………9分
，………………………11分
。
………………………13分
，
故从集合
中随机抽取一个数，其三位数字的颜色各异且是偶数的概率为
。
……15分
20.解析：
（Ⅰ）
，………………………2分
故函数
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，
在区间
上为增函数.………………………4分
所以函数
的极大值为
；………………………6分
函数
的极小值为
.………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当
时，
，………………………9分
当
时，
。
………………………10分
要使函数
在区间
上恰有一个零点，则
或
，……………14分
得
，或
。
………………………15分
21．解：
（Ⅰ）当
时，有
，
即
，得
．………………3分
当
时，有
，
得
，得
．………………6分
（Ⅱ）当
时，有
，从而有
，
即有当
时，
，从而有
.
由此猜想
．………………10分
下面用数学归纳法证明这个结论．
（ⅰ）
时，已知结论成立．………………11分
（ⅱ）假设
时结论成立，即
.……………
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