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数学发展史教案

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数学发展史教案

数学发展史和三大数学危机

（2个课时）

数学的发展包括数学的萌芽期、常量数学时期、变量数学时期、

近代数学时期。

一、数学的萌芽期（小学数学）主要以记数为主，还未形成独立的学科。

这一时期贡献最大的国家有：

中国，古巴比伦，埃及，印度。

主要贡献：

十进制记数法，记数符号，三角形、梯形和圆的面积的计算，立方体和柱体的体积，截棱锥体的体积公式等。

二、常量数学时期（中学数学）这一时期又称为初等数学时期，

主要发展了算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）等。

主要代表人物:

毕达哥拉斯、祖冲之、杨辉、笛卡儿、韦达等。

三、变量数学时期（大学数学）这一时期又称为高等数学时期。

主要创立了解析几何和微积分，这是数学史上最伟大的贡献。

主要代表人物：

牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、傅里叶。

四、近代数学时期（数学研究）20世纪40-50年代，电子计算机的出现和非欧几何的建立，使整个数学王国蓬勃发展。

主要贡献：

1.纯数学方面：

拓扑学（也称位置几何学、橡皮几何学。

画在橡皮上的几何图形，图中的某些性质不变，如封闭性等）、泛函分析、抽象代数等。

2.应用数学方面：

非标准分析、模糊数学、突变理论、计算机理论、运筹学、优选法、对策论（博奕论）、排队论等。

主要代表人物：

黎曼、冯.诺依曼、华罗庚、陈省身。

刚才给大家简单介绍了整个数学的发展史，实际上，数学发展到今天，并不是一帆风顺的，其中至少面临了3次大的危机。

第一次是公元前5世纪（距今约2500年），古希腊毕达哥拉斯学派的理论被推翻；第二次危机是17世纪，微积分理论的基础受到质疑；第三次是19世纪，数学家罗素提出了集合理论的悖论。

首先，我们来看一下第一次数学危机——毕达哥拉斯学派的理论被推翻。

生平轶事：

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的着名数学家与哲学家。

他出生在爱琴海中的萨摩斯岛（现在希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学。

相传他小时候有一次背着木柴从街上走过，一位长者看见他捆柴的方法与别人不同，便说：

“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。

”毕达哥拉斯特别向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——古巴比伦和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。

后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个所谓集政治和宗教于一身的团体——毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯在那个时代是一位思想非常进步的学者：

因为他允许妇女来听他的课。

他认为妇女和男人一样都有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者，这是其他学派所没有的现象。

他认为每一个人都应该懂一些数学几何知识。

有一次他看到一个穷人，他想教他学习几何，因此对这个人说：

如果你能学懂一个定理，那么我就给你三块银币。

这个人看在钱的份上就和他学几何了，过了一个时期，这个穷人对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，他跟毕达哥拉斯说：

如果老师你多教我一个定理，我就给一个银币。

没过多长时间，毕达哥拉斯就把他以前给那穷人学生的钱全部收回了。

毕达哥拉斯提出的着名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

他们很重视数学，企图用数来解释一切。

宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。

他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。

这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。

在实用数学方面，它使得算术成为可能。

在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，他们认为“一切数都可表示成整数或者整数之比”。

主要成就：

毕达哥拉斯在数论和几何上有很多成就，其中有2大成就特别突出。

一是他发现了勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，可画图讲解一下）。

二是他提出了着名的“万物皆数”理论，毕达哥拉斯认为世界上所有的数都可以表示成整数或者整数之比，大家觉得这个理论正确吗？

当然是错误的，因为毕达哥拉斯所说的数仅仅包含有理数，除了有理数之外，其实还有无理数的存在。

大家能说说自己知道的无理数吗？

我们发现的第一个无理数是√2（念做根号二），他的发现者叫希帕索斯

生平轶事：

希帕索斯是毕达哥拉斯的学生，他提出了一个问题：

边长为1的直接三角形的斜边长度是多少呢？

他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数√可推理）。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

希帕索斯之死：

无理数的出现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击,也严重伤害了当时全体希腊人的信仰。

一个数,是无限又不循环的,永远不能绝对精确呈现。

这样的数毁灭了当时人们的信仰、破坏了他们的安全感、导致了严重的认识危机。

毕达哥拉斯的门徒们恼羞成怒，将希帕索斯扔进了大海。

从现有的资料来看,因无理数而死的人还不止希帕索斯一个,因为古希腊数学家普罗科拉斯在给《几何原本》作注时写道：

“首先泄露无理数秘密的人都丧了命,因为对所有不能表达的和不定形的东西,都要严守秘密,凡是揭露和过问的人,必会遭到毁灭,并万世都被永恒的波涛吞噬。

”

希帕索斯还有很多其他的数学家以自己的生命为代价使得无理数的真理为世人所知，为数学的发展做出了重大贡献，如果没有他们的英勇牺牲，我们今天可能都还不知道无理数的存在。

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。

1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

接着我们来看数学史上的第二次大危机——微积分的基础受到质疑。

微积分的概念：

以大家熟悉的速度路程问题来看，一辆小汽车在一段颠簸不平的路上行走，每时每刻的速度其实都是不一样的，微分学就是把车子走过的路程分成无穷多个小段（无穷小量，趋近于0但不等于0，像划分一根1米长的绳子，每次减掉绳子的1/2,划分无数次以后剩下的长度就是一个大于0的无穷小量），然后计算车子在经过每一个小段（无穷小量）时的速度的过程。

积分学就是将这些无穷多个小段加总起来后得到车子行驶的总路程的问题，微分学和积分学可以简单看做一组逆运算。

微积分理论可以计算出物体任何时刻的瞬时速度（解决“0/0没有意义，但是物体每一个时刻都是有速度”的问题，可适当引导），还可以计算曲线（画一条曲线）的长度、曲面的面积等等，有了微积分，我们就可以推断轮船、火箭、卫星的运行轨迹。

微积分理论的创建者：

牛顿（英国人）和莱布尼兹（德国人）。

左边是牛顿，右边是莱布尼兹，外国人都长得长不多（哈哈哈）。

关于他们俩谁先创立的微积分理论，还有一段有名的争论。

1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。

刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。

这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。

在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。

他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。

但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。

而首次发表有关微积分研究论文的是德国数学家莱布尼茨。

莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。

1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。

两年后，他又发表了有关积分的研究。

在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。

到1696年时，已有微积分的教科书出版。

起初没有人来争夺微积分的发现权。

1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人（牛顿是英国人），另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。

1704年，牛顿首次完整地发表了其流数术。

当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。

于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。

1711年，英国王家学会组成了一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。

此时牛顿是王家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。

他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。

当然，争论并未因为这个英国王家学会的调查报告而平息。

事实上，这场争论一直延续到了现在。

后人通过研究莱布尼茨的手稿发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的：

牛顿是为解决运动问题，先有微分概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，先有积分概念，后有微分概念。

牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。

实际上，如果这个事件发生在现在的话，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。

牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至英国科学界与整个欧洲大陆科学界的对抗。

英国数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成果。

这使得英国的数学研究停滞了一个多世纪。

虽然说“科学没有国界，但是科学家有祖国”（巴斯德语），但是让民族主义干扰了科学研究，就很容易变成了科学也有国界，被排斥于国际科学界之外，反而妨碍了本国的科学发展。

微积分理论的缺陷——不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击，所谓基础不牢、地动山摇，随着微积分理论的不断发展，基础不明确的问题严重制约了微积分的进一步发展，也引发了数学史上的第二次危机。

危机的解决者，微积分的收官人——柯西。

1821年，柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，通过柯西等人的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。

从而结束了微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直观了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。

人物生平：

柯西（1789-1857），出生于巴黎，他在数学领域，有很高的建树和造诣。

很多数学的定理和公式都是以他的名字来命名的，比如柯西不等式、柯西积分公式等。

柯西在学生时代，有个绰号叫“苦瓜”，因为他平常像一颗苦瓜一样，静静地不说话，如果说了什么，也很简短，令人摸不着头绪。

天才往往是孤独的，柯西的朋友很少，只有一群妒嫉他聪明的人。

当时法国正在流行社会哲学，而柯西工作之余常看的书，却是数学家拉格朗日写的的数学书，还有灵修书籍《效法基督》，这使他有了另一个外号“脑筋劈哩啪啦叫的人”，也就是神经病的意思。

但是性格孤僻并不妨碍他在数学上取得的丰功伟绩，传说柯西年轻的时候向巴黎科学院投寄论文，他的论文写得非常快、非常多，当时的印刷厂为了印制这些论文，抢购了当时巴黎市面上所有店铺的纸张，使得市面上纸张短缺，纸价大增，印刷厂成本上升（洛阳纸贵的故事），于是法国科学院要求发表的论文每篇篇幅不得超过4页，导致柯西不少长篇论文不能在法国发表，只能在其他国家发表。

柯西的天才和努力，使他完美地解决了第二次数学危机，成为了微积分理论的收官之人，对人类科学的发展做出了巨大贡献。

下面，我们接着讲数学史上的第三次大危机——罗素提出了集合理论的着名悖论——“罗素悖论”。

首先我们来了解一下集合理论：

学校图书馆的所有书籍是一个集合，其中每一本书是集合中的一个成员，我们把集合的成员称为元素。

我们班上所有同学也构成一个集合，而你们每一个让你就是这个班集体的成员，也是班级这个集合的元素。

集合理论的发明者——康托尔（1845-1918）：

康托尔是德国数学家，集合论的创始人。

康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。

早期在数学方面的兴趣是数论，由于研究无穷理论时往往推出一些合乎逻辑但又荒谬的结果（称为“悖论”），许多大数学家唯恐陷入进去而采取退避三舍的态度。

在1874-1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战，他靠着辛勤的汗水，成功的证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应，这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋中的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。

由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。

真金不拍火炼，康托尔的思想终于大放光彩，1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认。

罗素悖论的提出。

1903年，一个震惊数学界的消息传出：

集合论是有漏洞的！

这就是英国数学家罗素提出的着名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：

S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：

S是否属于S呢？

根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。

因此，对于一个给定

相关书籍的集合，问是否属于它自己是有意义的。

但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

无论如何都是矛盾的。

罗素的故事：

在一个村子里，理发师挂出一块招牌：

“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。

”有人问他：

“你给不给自己理发？

”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理：

如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。

有言在先，他应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。

这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。

这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。

显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

总结：

整个数学发展史其实就是一部“危机”的发生和解决史，每一次数学危机的解决都无一例外推动了数学学科的巨大进步。

着名数学家华罗庚曾说过:

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献。

他指出，数学是一切科学得力的助手和工具。

数学发展到今天，对人类的生活产生了重大影响，极大地推动了科学技术的进步，不断促进着人类文明的前进。

正是因为无数前辈数学家的孜孜探索，数学才能发展到今日的高度，但仍然存在很多没有解决的世界性难题——比如“哥德巴赫猜想”至今尚未有人证明。

我们应该站在巨人的肩膀上，刻苦学习，努力探索，勇于挑战，攻坚克难，继续开创数学发展的新局面。