运筹学习题集.docx
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运筹学习题集
第一章 线性计划
1．1将下述线性计划问题化成标准形式
1）minz＝－3x1＋4x2－2x3＋5x4
4x1－x2＋2x3－ x4 ＝－2
st.x1＋x2－x3＋2x4≤14
－2x1＋3x2＋x3－x4≥2
x1，x2，x3≥0，x4 无约束
2）minz＝2x1－2x2＋3x3
－x1＋x2＋x3＝4
st.－2x1＋x2－x3≤6
x1≤0，x2≥0，x3无约束
1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解仍是无可行解。
1）minz＝2x1＋3x2
4x1＋6x2≥6
st 2x1＋2x2≥4
x1，x2≥0
2）maxz＝3x1＋2x2
2x1＋x2≤2
st 3x1＋4x2≥12
x1，x2≥0
3）maxz＝3x1＋5x2
6x1＋10x2≤120
st 5≤x1≤10
3≤x2≤8
4）maxz＝5x1＋6x2
2x1－x2≥2
st －2x1＋3x2≤2
x1，x2≥0
1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确信最优解
（1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4
x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7
st 2x1＋2x2＋x3＋2x4＝3
x1，x2，x3，x4≥0
1．4别离用图解法与单纯形法求解以下LP问题，并对照指出最优解所对应的极点。
1）maxz＝10x1＋5x2
3x1＋4x2≤9
st 5x1＋2x2≤8
x1，x2≥0
2）maxz＝2x1＋x2
3x1＋5x2≤15
st 6x1＋2x2≤24
x1，x2≥0
1．5别离用大M法与两时期法求解以下LP问题。
1）minz＝2x1＋3x2＋x3
x1＋4x2＋2x3≥8
st 3x1＋2x2 ≥6
x1，x2，x3≥0
2）maxz＝4x1＋5x2＋x3
.3x1＋2x2＋x3≥18
St.2x1＋x2≤4
x1＋x2－x3＝5
3）maxz＝5x1＋3x2+6x3
x1＋2x2 －x3≤18
st 2x1＋x2 －3x3≤16
x1＋x2 －x3＝10
x1，x2，x3≥0
1．6求下表中a～l的值。
cj→
（a）
－1
2
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
6
（b）
（c）
（d）
1
0
0
x5
1
-1
3
（e）
0
1
σj→
（a）
-1
2
0
0
（a）
x1
（f）
［（g）］
2
-1
1/2
0
0
x5
4
（h）
（I）
1
1/2
1
σj
0
-7
（j）
（k）
（l）
某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
依照体会，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。
问应如何安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？
请成立此问题的线性计划模型，没必要求解。
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各类牌号糖果中A、B、C含量，原料本钱，各类原料的每一个月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每一个月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？
试成立此问题的线性计划的数学模型。
甲乙丙原料本钱（元/千克）每一个月限量（千克）
A≥60％≥15％2000
B2500
C≤20％≤60％≤50％1200
加工费（元/千克）
售价
某商店制定7－12月进货售货打算，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每一个月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？
请成立此问题的线性计划模型。
月份789101112
买进单价282425272323
售出单价292426282225
某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。
这两种产品的生产都通过毛坯制造与机械加工两个工艺时期。
在毛坯制造时期，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。
机械加工时期又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。
假设毛坯生产时期能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。
又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时别离为每小时3元、3元、2元。
另外在粗加工时期许诺设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时刻内每小时增加额外本钱4.,5元。
试依照以上资料，为该厂制订一个本钱最低的生产打算。
某公司有三项工作需别离招收技工和力工来完成。
第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。
第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。
第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。
已知技工和力工每周工资别离为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数别离为42和36。
为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：
第一项工作10000小时。
第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。
又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。
试成立数学模型，确信招收技工和力工各多少人。
使总的工资支出为最少（
第二章对偶与灵敏度分析
2．1 写出以下线性计划问题的DLP
1）minz＝2x1＋2x2＋4x3
x1＋3x2＋4x3 ≥2
st2x1＋x2＋3x3 ≤3
x1＋4x2＋3x3 ＝5
x1，x2≥0，x3无约束
2）maxz＝5x1＋6x2＋3x3
x1＋2x2＋2x3 ＝5
st－x1＋5x2－x3 ≥3
4x1＋7x2＋3x3 ≤8
x1无约束，x2≥0，x3≤0
3）maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3
a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1
sta21x1＋a22x2＋a23x3＝b2
a31x1＋a32x2＋a33x3 ≥b3
x1≥0，x2≤0，x3无约束
2．2 关于给出的LP：
minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4
x1＋2x2＋3x3＋x4 ≥2
st－2x1＋x2－x3＋3x4 ≤－3
xj≥0（j=1,2,3,4）
1）写出DLP；
2）用图解法求解DLP；
3）利用2）的结果及依照对偶性质写出原问题的最优解。
2．3 关于给出LP：
maxz＝x1＋2x2＋x3
x1＋ x2－ x3 ≤2
st x1－ x2＋ x3 ＝1
2x1＋ x2＋ x3 ≥2
x1≥0，x2≤0，x3无约束
1）写出DLP；
2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1
2．4 已知LP：
maxz＝x1＋x2
－x1＋ x2＋ x3 ≤2
st－2x1＋x2－ x3 ≤1
xj≥0
试依照对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。
2．5 给出LP：
maxz＝2x1＋4x2＋x3＋x4
x1＋3x2 ＋x4 ≤8
2x1＋x2 ≤6
st. x2＋ x3＋x4≤6
x1＋x2＋ x3 ≤9
xj≥0
1）写出DLP；
2）已知原问题最优解X＝（2,2，4,0），试依照对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2．6 用对偶单纯形法求解以下线性计划问题
1）minz＝4x1＋12x2＋18x3
x1 ＋3x3≥3
st 2x2＋2x3 ≥5
xj≥0（j=1,2,3）
2．7 考虑如下线性计划问题
minz＝60x1＋40x2＋80x3
3x1＋2x2＋x3 ≥2
st4x1＋x2＋3x3 ≥4
2x1＋2x2＋2x3 ≥3
xj≥0
1）写出DLP；
2）用对偶单纯形法求解原问题；
3）用单纯形法求解其对偶问题；
4）对照以上两题计算结果。
2．8 已知LP：
maxz＝2x1－x2＋x3
x1＋x2＋x3≤6
st －x1＋2x2 ≤4
x1，x2，x3≥0
1）用单纯形法求最优解
2）分析当目标函数变成maxz＝2x1＋3x2＋x3时最优解的转变；
3）分析第一个约束条件右端系数变成3时最优解的转变。
2．9 给出线性计划问题
maxz＝2x1＋3x2＋x3
1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1
st1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3
xj≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表如下
cj→
2
3
1
0
0
CB
XB
B
x1
x2
x3
x4
X5
2
x1
1
1
0
－1
4
－1
3
x2
2
0
1
2
－1
1
σj
0
0
－3
－5
－1
试分析以下各类条件下，最优解（基）的转变：
1）目标函数中变量x3的系数变成6；
2）别离确信目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变更时最优解不变；
3）
约束条件的右端由1变为 2；
33
某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。
产品原料
甲
乙
可用量（千克）
原料成本（元/千克）
A
2
4
160
B
3
2
180
销售价（元）
13
16
（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
（2）原料A、B的影子价钱各为多少。
（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价钱至少为多少时才值得投产。
（4）工厂可在市场上买到原料A。
工厂是不是应该购买该原料以扩大生产？
在维持原问题最优基的不变的情形下，最多应购入多少？
可增加多少利润？
某玩具公司别离生产三种新型玩具，每一个月可供量别离为1000、2000、2000件，它们别离被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。
已知每一个月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面缘故，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。
又知丙百货商店要求至少供给C玩具1000件，而拒绝进A玩具。
求知足上述条件下使总盈利额最大的供销分派方案。
甲乙丙可供量
A54－1000
B16892000
C1210112000
第三章运输问题
3．1 依照下表，用表上作业法求最优解。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
3．2 依照下表，用表上作业法求最优解。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
A2
4
9
4
5
3
A3
5
7
6
2
5
销量
1
3
2
5
11
3．3 求给出的产销不平稳问题的最优解
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
12
3
4
8
A2
11
8
5
9
5
A3
9
7
1
5
9
销量
4
3
5
6
某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。
假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食物的利润别离为12元、16元和11元，试确信使总效益最大的面粉分派打算（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。
食品厂
面粉厂
1
2
3
面粉厂产值
1
2
3
3
4
8
10
11
11
2
8
4
20
30
20
销量
15
25
20
光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。
已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
已知上年末库存103台绣花机，若是当月生产出来的机械当月不交货，那么需要运到分厂库房，每台增加运输本钱万元,每台机械每一个月的平均仓储费、保护费为万元。
在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。
加班生产机械每台增加本钱1万元。
问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、保护）最少？
设有A、B、C三个化肥厂供给1、2、3、4四个地域的农用化肥。
假设成效相同，有关数据如下表：
试求总费用为最低的化肥挑唆方案
第四章 动态计划
4．1现有天然气站A，需铺设治理到用气单位E，能够选择的设计线路如以下图，B、C、D各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：
万元），试设计费用最低的线路。
4．2一艘货轮在A港装货后驶往F港，半途需靠港加油、加淡水三次，从A港到F港全数可能的航运线路及两港之间距离如图，F港有3个码头F1，F2，F3，试求最合理停泊的码头及航线，使总路程最短。
4．3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。
项目
投资额及收益
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76
某厂有1000台机械，高负荷生产，产品年产量S1与投入机械数Y1的关系为S1＝8Y1，机械完好率为；低负荷生产，产品年产量S2与投入机械数Y2的关系为S2＝5Y2，机械完好率为；请制定一个五年打算，使总产量最大。
某厂预备持续3个月生产A种产品，每一个月初开始生产。
A的生产本钱费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。
仓库存货本钱费是每一个月每单位为1元。
估量3个月的需求量别离为d1＝100，d2＝110，d3＝120。
现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。
试问：
每一个月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。
某公司为要紧电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，因此该公司能够预测以后几个月的需求量。
为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产打算，这四个月的需求如表1所示。
生产本钱随着生产数量而转变。
调试费为4，除调度费用外，每一个月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。
最大生产能力每一个月为4台，生产本钱如2所示。
表1
表2
某工厂生产三种产品，各类产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6t，问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。
产品
重量（t/件）
利润（千元/件）
1
2
80
2
3
130
3
4
180
用动态计划方式求解
第五章 存储论
5．1某建筑工地每一个月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。
设每t每一个月保管费率为%，每次订购费为300元，求最正确订购批量、经济周期与最小费用。
5．2一汽车公司每一年利用某种零件150，000件，每件每一年保管费元，不许诺缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情形下的经济订购批量、经济周期与最小费用。
5．3某拖沓机厂生产一种小型拖沓机，每一个月可生产1000台，但对该拖沓机的市场需要量为每一年4,000台。
已知每次生产的预备费用为15,000元，每台拖沓机每一个月的存贮费为10元，许诺缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。
5．4某产品每一个月需求量为8件，生产预备费用为100元，存贮费为5元/月件。
在不许诺缺货条件下，比较生产速度别离为每一个月20件和40件两种情形下的经济生产批量、经济周期与最小费用。
5．5对某种电子元件每一个月需求量为4,000件，每件本钱为150元，每一年的存贮费为本钱的10%，每次订购费为500元。
求：
（1）不许诺缺货条件下的最优存贮策略；
（2）许诺缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。
5．6某农机维修站需要购一种农机配件，其每一个月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为元/件月，并非许诺缺货。
（1）求经济订购批量、经济周期与最小费用；
（2）该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。
因此，决定使订购和存贮总费用能够超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。
5．7某公司每一年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不许诺缺货。
假设采购量少于1000个时，每一个单价为5元，当一次采购1000个以上时每一个单价降为元。
求该公司的最优采购策略。
5．8某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次定货费为2,000元，存贮费率为20%。
该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。
求最优采购策略。
5．9某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不许诺缺货；一次订购费为100元；存贮费为元/件月。
该外购件进货单价和订购批量Q有关，具体如下表，求最正确订购策略。
批量（件）
0≤Q＜10000
10000≤Q＜30000
30000≤Q＜50000
Q≥50000
单价（元）
5．10试证明：
一个许诺缺货的EOQ模型的费用，决可不能超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不许诺缺货的EOQ模型的费用。
5．11某时装屋在某年春天欲销售某种流行时装。
据估量，该时装可能的销售量见下表：
销售量r（套）
150
160
170
180
190
概率P（r）
该样式时装每套进价180元，售价200元。
因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。
问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？
第六章 排队论
6．1某店仅有一个修理工人，顾客抵达进程为Poisson流，平均3人/h，修理时刻服从负指数散布，平均需10min。
求：
（1）店内空闲的概率；
（2）有4个顾客的概率；
（3）至少有1个顾客的概率；
（4）店内顾客的平均数；
（5）等待效劳的顾客的平均数；
（6）平均等待修理时刻；
（7）一个顾客在店内停留时刻超过15min的概率。
6．2设有一单人打字室，顾客的抵达为为Poisson流，平均抵达时刻距离为20min，打字时刻服从负指数散布，平均为15min。
求：
（1）顾客来打字没必要等待的概率；
（2）打字室内顾客的平均数；
（3）顾客在打字室内的平均停留时刻；
（4）假设顾客在打字室内的平均停留时刻超过，那么主人将考虑增加设备及打字员。
问顾客的平均抵达率为多少时，主人材会考虑如此做。
6．3汽车按平均90辆/h的Poisson流抵达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时刻为38s。
由于驾驶人员反映等待时刻太长，主管部门打算采纳新装置，使汽车通过关卡的平均时刻减少到平均30s。
但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时刻不超过10%时才是合算的。
依照这一要求，分析采纳新装置是不是合算。
有一个M/M/1/5系统，平均效劳率µ＝10。
就两种抵达率λ＝6，λ＝15已取得相应的概率pn,如下表所示，试就两种抵达率分析：
（1）有效抵达率和系统的效劳强度；
（2）系统中顾客的平均数；
（3）系统的满员率；
（4）效劳台应从哪些方面改良工作，理由是什么？
系统中顾客数n
（λ＝6）pn,
（λ＝15）pn,
0
1
2
3
4
5
1
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