材料力学-6-弯曲刚度_精品文档.ppt

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NanjingUniversityofTechnology,材料力学（6）,材料力学,第6章弯曲刚度,限制弯曲变形（刚度问题）,工程中的弯曲变形问题,第6章弯曲刚度,机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时（图中虚线所示），两齿轮的啮合处也将产生较大的变形。

加大齿轮磨损，产生很大的噪声,限制弯曲变形（刚度问题）,影响两个齿轮之间的啮合,机床主轴的挠度过大会影响加工精度；,第6章弯曲刚度,各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成。

可以承受很大的力而不发生破坏,能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。

利用弯曲变形（刚度问题）,第6章弯曲刚度,求解静不定问题,第6章弯曲刚度,建立补充方程,利用弯曲变形（求解静不定问题）,6.1梁的变形与位移,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,6.5提高梁刚度的措施,6.4梁的刚度问题,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,第6章弯曲刚度,6.6简单的静不定梁,6.1梁的变形与位移,第6章弯曲刚度,取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴（向右为正），横截面的铅垂对称轴为w轴（向下为正），xw平面为纵向对称面。

度量梁变形后横截面位置改变，即位移，有三个基本量。

6.1梁的变形与位移,1.基本概念,A,B,x,w,挠度deflection（w）：

横截面形心C（即轴线上的点）的铅垂位移。

转角slope（）：

变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。

6.1梁的变形与位移,轴向位移（u）：

横截面形心沿水平方向的位移。

在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

6.1梁的变形与位移,挠曲线：

梁变形后的轴线。

注意：

当变形保持在弹性范围内，挠曲线为连续光滑曲线。

挠度方程：

转角方程：

2.挠度与转角的关系,6.1梁的变形与位移,在小变形条件下，挠度曲线较为平坦。

即很小，因而上式中tan。

于是有,挠度与转角的相互关系,6.1梁的变形与位移,挠度和转角符号的规定,挠度：

向下为正，向上为负。

转角：

顺时针转为正，逆时针转为负。

6.1梁的变形与位移,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,第6章弯曲刚度,力学中的曲率公式,数学中的曲率公式,1.小挠度微分方程,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,横力弯曲时,M和都是x的函数。

细长梁可以略去剪力对梁的位移的影响,则,小挠度情形下,对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。

本书规定的坐标系为：

x轴水平向右为正,w轴竖直向下为正。

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,因此,M与w的正负号正好相反，所以,（小挠度微分方程）,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,近似原因：

（1）略去了剪力的影响；

（2）小挠度略去了w2项。

对于等截面梁，弯曲刚度为常量时,2.小挠度微分方程的积分,积分一次：

（转角方程）,积分二次：

（挠度方程）,式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,在固定端处：

A,B,梁的边界条件,在固定铰支座和滚动铰支座处：

3.小挠度微分方程积分常数的确定梁的约束条件（边界条件和连续性条件）,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,梁的连续性条件,在集中力作用处：

在中间铰处：

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,写出下图的边界条件、连续性条件：

由M的方向确定轴线的凹凸性。

由约束性质及连续光滑性确定挠度曲线的大致形状及位置。

4.梁的连续光滑挠曲线的绘制,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。

弯矩？

约束？

连续光滑？

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。

弯矩？

约束？

连续光滑？

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。

弯矩？

约束？

连续光滑？

例题1,求：

梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布荷载。

均布荷载集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。

q、EI、l均已知。

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,5、积分法求解小挠度微分方程举例,解：

1建立Oxw坐标系,2建立梁的弯矩方程,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,3建立微分方程并积分,将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得,例题1,积分后，得到,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,例题1,4利用约束条件确定积分常数,固定端处的约束条件为：

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,例题1,5确定挠度与转角方程,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,6确定最大挠度与最大转角,从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

例题1,例题2,求：

加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

简支梁受力如图所示。

FP、EI、l均为已知。

6.2梁的小挠度微分方程及其积分,解：

1确定梁约束力,首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

AB段,解：

2.分段建立梁的弯矩方程,BC段,于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,例题2,3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,例题2,积分后，得,4利用约束条件和连续性条件确定积分常数,x0，w10;xl，w20,xl/4，w1w2;xl/4，1=2,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,D1D2=0,例题2,5确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段,BC段,算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,6.2梁的小挠度微分方程及其积分,例题2,讨论：

积分法步骤总结,处理具体问题时的注意点,确定约束力,分段建立挠度微分方程并积分,利用约束条件确定积分常数,确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,分段写出弯矩方程,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,第6章弯曲刚度,1.叠加法前提,在小变形，服从胡克定律的前提下,挠度、转角与荷载均为一次线性关系,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,实用的工具：

挠度表（P157）为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一一列出，并形成手册。

重要的方法：

叠加法（superpositionmethod）应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下的挠度与转角。

6.3叠加法确定梁的挠度与转角,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：

C截面的挠度wC；B截面的转角B。

例题3,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,2.第一类叠加法应用于多个荷载作用的情形,解：

1.将梁上的荷载变为三种简单的情形。

6.3叠加法确定梁的挠度与转角,例题3,2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。

6.3叠加法确定梁的挠度与转角,例题3,3.应用叠加法，将简单荷载作用时的结果分别叠加。

6.3叠加法确定梁的挠度与转角,例题3,讨论：

叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤,处理具体问题时的注意点,将所得结果叠加,将其分解为各种荷载单独作用的情形,由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角,二梁的受力（包括荷载与约束力）是否相同？

二梁的弯矩是否相同？

二梁的变形是否相同？

二梁的位移是否相同？

位移不仅与变形有关，而且与约束有关。

BC段有没有变形？

有没有位移？

没有变形为什么会有位移？

总体变形是微段变形累加的结果。

有位移不一定有变形。

BC段梁均视为刚体。

悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：

C截面的挠度wC和转角C。

例题4,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,3.第二类叠加法应用于间断性分布荷载作用的情形,解：

1.首先，将梁上的荷载变成有表可查的情形,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,2再将处理后的梁分解为简单荷载作用的情形，计算各个简单荷载引起的挠度和转角,例题4,3将简单荷载作用的结果叠加,6.3叠加法确定梁的挠度与转角,例题4,6.4梁的刚度问题,第6章弯曲刚度,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角（或者指定截面处的挠度和转角）限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：

w许用挠度许用转角均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

1、弯曲刚度条件,6.4梁的刚度问题,钢制圆轴，左端受力为FP，FP20kN，alm，l2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。

规定轴承B处的许用转角=0.5。

试求：

根据刚度要求确定该轴的直径d。

B,例题5,6.4梁的刚度问题,B,解：

1查表确定B处的转角,由挠度表中查得承受集中荷载的外伸梁B处的转角为,6.4梁的刚度问题,2根据刚度设计准则确定轴的直径,例题5,B,其中，的单位为rad（弧度），而的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，有,6.4梁的刚度问题,从而得到轴的直径,例题5,矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。

已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，s=118MPa，许用最大挠度与梁跨度比值wmax/l=1/250，且已知截面高与宽之比为2，即h=2b。

试：

确定截面尺寸b和h。

例题6,6.4梁的刚度问题,6.4梁的刚度问题,解：

1.强度条件,2.刚度条件,综合上述设计结果，取刚度设计所得到的尺寸,作为梁的最终尺寸,即,例题6,6.5提高梁刚度的措施,第6章弯曲刚度,梁的变形除了与荷载与梁的约束有关外，还取决于以下因素：

材料梁的变形与弹性模量E成反比。

截面梁的变形与截面的惯性矩I成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比；,1、提高梁刚度的措施,6.5提高梁刚度的措施,因此,减小弹性位移主要是减小梁的长度l。

当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座（即采用超静定结构）。

减小跨长,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比；,选择合理的截面形状,截面的惯性矩I,6.5提高梁刚度的措施,例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。

减小跨长,6.5提高梁刚度的措施,此外，选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。

但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。

增大弹性模量,6.5提高梁刚度的措施,2、拓展到圆轴扭转和拉压情况,类似地，提高受扭圆轴的刚度，也可以通过减小轴的长度、增加轴的扭转刚度（GIP）来实现。

同样，对于各种钢材，切变模量G的数值相差甚微，所以通过采用高强度钢材以提高轴的扭转刚度，其效果是不明显的。

6.5提高梁刚度的措施,6.6简单的静不定梁,第6章弯曲刚度,静不定次数：

未知力个数与独立平衡方程数之差,静定问题与静定结构：

未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数,静不定问题与静不定结构：

未知力个数多于独立的平衡方程数,多余约束：

保持结构静定多余的约束,6.6简单的静不定梁,1、基本概念,多余约束的存在,2、求解静不定梁的基本方法,使问题由静力学可解变为静力学不可解。

由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。

6.6简单的静不定梁,求解静不定问题，需要以下三方面的联立。

3、物理方程（或称本构方程）：

建立的力与位移或变形之间的关系。

2、变形协调方程（或称为几何方程）：

根据多余约束对位移或变形的限制，建立的各部分位移或变形之间的几何关系。

1、平衡方程。

6.6简单的静不定梁,求：

梁的约束力。

已知：

A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI，长