7．给出以下四个说法：
π
①在极坐标系中tanθ＝1与θ＝
4
表示同一条曲线；
②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；
③若P点的柱坐标是（2,,1），则它的直角坐标是（1,3,1）；
3
a＋i
④设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“
为纯虚数”的充要条件．
其中正确的说法是（）
a－i
A．①④B．②③C．①③D．②④
8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：
4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：
3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：
1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：
4，
5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1
人猜对比赛结果，此人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P10.3；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1．现在李某单独研究项目M，且这
n个人组成的团队也同时研究项目M，设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2P1，
则n的最小值是（）（lg7
0.845,lg3
0.477）
A．3B．4C．5D．6
10．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝
a
n（n1）
（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则
15
P（＜X＜
）的值为（）
22
2345
A．B．
34
C．D．
5
6
11．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x，x，且f（x）=x，则关于x的方程
1211
3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）
A．3B．4C．5D．6
12．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字
“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）
A．53个B．59个C．66个D．71个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．）
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为．
14．已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为．（附：
若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<ξ<μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ）≈0.9545．）
15．某人一周晚上值2次班，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为．
16．如图1是杨辉三角，最早出现于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）
一书中，图2是17世纪德国数学家莱布尼茨所发现的世界著名的“莱布尼茨三角形”，则“莱布尼茨三角形”中第10行从左边数第3个数是．
图1
图2
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
5x2＋
已知（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于16
开式的系数最大的项等于54，求a的值．
15的展开式的常数项，而（a2＋1）n的展
x
18．（本小题满分12分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
19．（本小题满分12分）
已知z为复数z的共轭复数，i为虚数单位，zzzz，复数z在复平面内对应的点为
M．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是2sin33，射线OM:
与轨迹C的交点为
33
O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
随着节能减排意识深入人心以及市区自行车道的建成，越来越多的市民在出行时喜欢选
择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在全市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，小于等于3次的用户为“不喜欢骑行共享单车”请完成22列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过
0.05的前提下认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在全市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励
总金额为X，求X的数学期望及方差．
nadbc2
附表及公式：
K2
abcdacbd
，其中n
abcd
P（K2≥k0）
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
已知函数f（x）
1
（x0），对于正数x1，x2，…，xn（n∈N+），记，
x
如图，由点（0,0），（xi,0），（xi,f（xi）），（0,f（xi））构成的矩形的周长为Ci（i1,2,,n），
都满足Ci4Si．y
（1）求出x1，x2，x3的值；
（2）猜想xn的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．
f（xi）
（xi,f（xi））
Oxix
22．（本小题满分12分）
已知f（x）（e1）lnx1xex
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）ln（x1）axex，对于任意x
[0,）,x
[1,），总有
g（x）ef（x）
122
12
成立，求实数a的取值范围．
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