线性代数 复习提纲一天就过.docx

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线性代数复习提纲一天就过

《线性代数》复习提纲

第一部分：

基本要求（计算方面）

四阶行列式地计算；

阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相等）；

矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等地混合运算）；

求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数地线性方程组解地情况地讨论；

齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组地相关性；

求向量组地极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵地特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换地矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵地正定性.

第二部分：

基本知识

一、行列式

．行列式地定义

用^个元素组成地记号称为阶行列式.

　（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；

　（）展开式共有!

项，其中符号正负各半；

．行列式地计算

一阶αα行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

阶（>）行列式地计算：

降阶法

　定理：

阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积地和.

　方法：

选取比较简单地一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶.

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式地值等于主对角线上元素地乘积；

（）行列式值为地几种情况：

　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为；

Ⅱ　行列式某行（列）地对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）地元素对应成比例；

Ⅳ　奇数阶地反对称行列式.

二．矩阵

　．矩阵地基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

　．矩阵地运算

（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；

（）关于乘法地几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若、为同阶方阵，则*；

④^

　．矩阵地秩

（）定义　非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；

（）秩地求法　　一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称为行阶梯阵）.

求秩：

利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.

　．逆矩阵

　（）定义：

、为阶方阵，若＝＝，称可逆，是地逆矩阵（满足半边也成立）；

　（）性质：

　（）^（^）*（^），（'）^（^）'；（地逆矩阵，你懂地）（注意顺序）

　（）可逆地条件：

　①　≠；　②（）;③>;

（）逆地求解

伴随矩阵法　^（）*；（*地伴随矩阵）

②初等变换法（）>（施行初等变换）（^）　

．用逆矩阵求解矩阵方程：

，则（^）；

，则（^）；

，则（^）（^）

三、线性方程组

．线性方程组解地判定

定理：

（）（）≠（）无解；

（）（）（）有唯一解；

（）（）（）<有无穷多组解；

特别地：

对齐次线性方程组

（）（）只有零解；

（）（）<有非零解；

再特别，若为方阵，

（）≠只有零解

（）有非零解

．齐次线性方程组

（）解地情况：

（），（或系数行列式≠）只有零解；

（）<，（或系数行列式＝）有无穷多组非零解.

（）解地结构：

　αα…α.

（）求解地方法和步骤：

　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解.

．非齐次线性方程组

（）解地情况：

利用判定定理.

（）解地结构：

　αα…α.

（）无穷多组解地求解方法和步骤：

　与齐次线性方程组相同.

（）唯一解地解法：

　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.

四、向量组

．维向量地定义

注：

向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和列矩阵）.

．向量地运算：

　（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

　（）向量内积　α'β…；

（）向量长度　

α√α'α√（^^…^）（√根号）

（）向量单位化　（α）α；

（）向量组地正交化（施密特方法）

　设α，α，…，α线性无关，则

　βα，

　βα（α’ββ’β）*β，

　βα（α’ββ’β）*β（α’ββ’β）*β，……….

．线性组合

（）定义　若βαα…α，则称β是向量组α，α，…，α地一个线性组合，或称β可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示.

（）判别方法　将向量组合成矩阵，记

　＝（α，α，…，α），（α，α，…，α,β）

若　（）（），则β可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示；

若　（）≠（），则β不可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示.

（）求线性表示表达式地方法：

　将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示地系数.

．向量组地线性相关性

（）线性相关与线性无关地定义

　设αα…α，

　若,…，不全为，称线性相关；

　若,…，全为，称线性无关.

（）判别方法：

①（α，α，…，α）<，线性相关；

（α，α，…，α），线性无关.

②若有个维向量，可用行列式判别：

　阶行列式＝，线性相关（≠无关）（行列式太不好打了）

．极大无关组与向量组地秩

（）定义　极大无关组所含向量个数称为向量组地秩

（）求法　设＝（α，α，…，α），将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组.

五、矩阵地特征值和特征向量

．定义　对方阵，若存在非零向量和数λ使＝λ，则称λ是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值λ地特征向量.

．特征值和特征向量地求解：

　求出特征方程λ地根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组（λ）＝中求出方程组地所有非零解即为特征向量.

．重要结论：

（）可逆地充要条件是地特征值不等于；

（）与地转置矩阵'有相同地特征值；

（）不同特征值对应地特征向量线性无关.

六、矩阵地相似

．定义　对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使^，则称与相似.

．求与对角矩阵∧相似地方法与步骤（求和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则可对角化（否则不能对角化），将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对应特征值构成对角阵即为∧.

．求通过正交变换与实对称矩阵相似地对角阵：

　方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化.

七、二次型

．定义　元二次多项式（,…，）∑称为二次型,若（≠），则称为二交型地标准型.

．二次型标准化：

　配方法和正交变换法.正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵，^'，即正交变换既是相似变换又是合同变换.

．二次型或对称矩阵地正定性：

（）定义（略）；

（）正定地充要条件：

①为正定地充要条件是地所有特征值都大于；

②为正定地充要条件是地所有顺序主子式都大于；

《线性代数》复习提纲

第一部分：

基本要求（计算方面）

四阶行列式地计算；

阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相等）；

矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等地混合运算）；

求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数地线性方程组解地情况地讨论；

齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组地相关性；

求向量组地极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵地特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换地矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵地正定性.

第二部分：

基本知识

一、行列式

．行列式地定义

用^个元素组成地记号称为阶行列式.

　（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；

　（）展开式共有!

项，其中符号正负各半；

．行列式地计算

一阶αα行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

阶（>）行列式地计算：

降阶法

　定理：

阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积地和.

　方法：

选取比较简单地一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶.

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式地值等于主对角线上元素地乘积；

（）行列式值为地几种情况：

　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为；

Ⅱ　行列式某行（列）地对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）地元素对应成比例；

Ⅳ　奇数阶地反对称行列式.

二．矩阵

　．矩阵地基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

　．矩阵地运算

（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；

（）关于乘法地几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若、为同阶方阵，则*；

④^

　．矩阵地秩

（）定义　非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；

（）秩地求法　　一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称为行阶梯阵）.

求秩：

利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.

　．逆矩阵

　（）定义：

、为阶方阵，若＝＝，称可逆，是地逆矩阵（满足半边也成立）；

　（）性质：

　（）^（^）*（^），（'）^（^）'；（地逆矩阵，你懂地）（注意顺序）

　（）可逆地条件：

　①　≠；　②（）;③>;

（）逆地求解

伴随矩阵法　^（）*；（*地伴随矩阵）

②初等变换法（）>（施行初等变换）（^）　

．用逆矩阵求解矩阵方程：

，则（^）；

，则（^）；

，则（^）（^）

三、线性方程组

．线性方程组解地判定

定理：

（）（）≠（）无解；

（）（）（）有唯一解；

（）（）（）<有无穷多组解；

特别地：

对齐次线性方程组

（）（）只有零解；

（）（）<有非零解；

再特别，若为方阵，

（）≠只有零解

（）有非零解

．齐次线性方程组

（）解地情况：

（），（或系数行列式≠）只有零解；

（）<，（或系数行列式＝）有无穷多组非零解.

（）解地结构：

　αα…α.

（）求解地方法和步骤：

　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解.

．非齐次线性方程组

（）解地情况：

利用判定定理.

（）解地结构：

　αα…α.

（）无穷多组解地求解方法和步骤：

　与齐次线性方程组相同.

（）唯一解地解法：

　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.

四、向量组

．维向量地定义

注：

向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和列矩阵）.

．向量地运算：

　（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

　（）向量内积　α'β…；

（）向量长度　

α√α'α√（^^…^）（√根号）

（）向量单位化　（α）α；

（）向量组地正交化（施密特方法）

　设α，α，…，α线性无关，则

　βα，

　βα（α’ββ’β）*β，

　βα（α’ββ’β）*β（α’ββ’β）*β，……….

．线性组合

（）定义　若βαα…α，则称β是向量组α，α，…，α地一个线性组合，或称β可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示.

（）判别方法　将向量组合成矩阵，记

　＝（α，α，…，α），（α，α，…，α,β）

若　（）（），则β可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示；

若　（）≠（），则β不可以用向量组α，α，…，α地一个线性表示.

（）求线性表示表达式地方法：

　将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示地系数.

．向量组地线性相关性

（）线性相关与线性无关地定义

　设αα…α，

　若,…，不全为，称线性相关；

　若,…，全为，称线性无关.

（）判别方法：

①（α，α，…，α）<，线性相关；

（α，α，…，α），线性无关.

②若有个维向量，可用行列式判别：

　阶行列式＝，线性相关（≠无关）（行列式太不好打了）

．极大无关组与向量组地秩

（）定义　极大无关组所含向量个数称为向量组地秩

（）求法　设＝（α，α，…，α），将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组.

五、矩阵地特征值和特征向量

．定义　对方阵，若存在非零向量和数λ使＝λ，则称λ是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值λ地特征向量.

．特征值和特征向量地求解：

　求出特征方程λ地根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组（λ）＝中求出方程组地所有非零解即为特征向量.

．重要结论：

（）可逆地充要条件是地特征值不等于；

（）与地转置矩阵'有相同地特征值；

（）不同特征值对应地特征向量线性无关.

六、矩阵地相似

．定义　对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使^，则称与相似.

．求与对角矩阵∧相似地方法与步骤（求和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则可对角化（否则不能对角化），将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对应特征值构成对角阵即为∧.

．求通过正交变换与实对称矩阵相似地对角阵：

　方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化.

七、二次型

．定义　元二次多项式（,…，）∑称为二次型,若（≠），则称为二交型地标准型.

．二次型标准化：

　配方法和正交变换法.正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵，^'，即正交变换既是相似变换又是合同变换.

．二次型或对称矩阵地正定性：

（）定义（略）；

（）正定地充要条件：

①为正定地充要条件是地所有特征值都大于；

②为正定地充要条件是地所有顺序主子式都大于；文档来自于网络搜索