几何图形中的最值问题.docx
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几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题
引言:
最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:
1.函数:
①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值围时有最大值和最小值。
2.不等式:
①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.
3.几何图形：
①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题
例1.如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。
解:
作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2,∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM=
=10,
∴DN+MN的最小值是10。
例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=300,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是
解:
作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。
连OB，OA/,
∵∠AMN=300,B是弧AN的中点，
∴∠BOA/=300,根据对称性可知
∴∠NOA/=600,∴∠MOA/=900,
在Rt△A/BO中，OA/=OB=1,
∴A/B=
即PA+PB=
例3.如图6，已知两点D（1,-3）,E（-1,-4）,试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:
作点E关于直线y=x的对称点M，
连MD交直线y=x于P，连PE，
则PE+PD最短；即PE+PD=MD。
∵E（-1,-4）,∴M（-4,-1）,
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N，
则MN⊥ND,又∵D（1,-3）,则N（1,-1）,
在Rt△MND中,MN=5,ND=2,∴MD=
=
。
∴最小值是
。
练习
1.（20123分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm．
[答案]15。
[解]如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得
。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是
解：
过点D作DF⊥AC，垂足为F，
则DF即为PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4×
=2
故答案为2
3.（2009•）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是______．
解:
过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上，
且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。
在Rt△AHB/中，
∠B/AH＝45°，AB/=4，
∴B/H=4,
∴BM＋MN的最小值是4.
4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为，
解：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P/Q，PC，
则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，
当点Q与点C重合，CP/⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP/中，∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴CP/=BC•sinB=2×=．
5.（2012）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为[]
A．130°B．120°C．110°D．100°
解：
作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2（∠AA′M＋∠A″）＝2×60°＝120°，
故选：
B．
6.（2011•贵港）如图所示，在边长为2的正△ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是
解：
要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，
只要使BP+PG最短即可，
连接AG交EF于M，
∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G关于EF对称，
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：
PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：
3．
7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标是（9，0），tan∠BOA=
，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为
解：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，
连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∴OA=9，
∵tan∠BOA=
∴AB=3
，∠B=60°，
∴∠AOB=30°，∴OB=2AB=6
由三角形面积公式得：
S△OAB=
×OA×AB=
×OB×AM，
即9×3
=6
AM，
∴AM=
，∴AD=2×
=9，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=
AD=
，由勾股定理得：
DN=
=
=
，
∵C（2，0），∴CN=9――2
=
，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：
DC=
=
=
即PA+PC的最小值是
，
8.（2013）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，
），点C的坐标为（
，0），点P为斜边OB上的一动点，则△PAC周长的最小值为（ ）
解：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，），
∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：
OB=2，
由三角形面积公式得：
×OA×AB=×OB×AM，
∴AM=，∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，
∴AN=AD=，由勾股定理得：
DN=，
∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：
DC==，
即△PAC周长的最小值为
+，
9.（2013•模拟.仿真一）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是（0，0），（20，0）（20，10）。
在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是（）
解：
如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M，则B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．连接OB′，交DC于P．
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=20-x．
在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，
∴x2=（20-x）2+102，∴x=12.5．
∵cos∠B′ON=cos∠OPD，∴ON：
OB′=DP：
OP，
∴ON：
20=7.5：
12.5，∴ON=12．
∵tan∠MON=tan∠OCD，∴MN：
ON=OD：
CD，
∴MN：
12=10：
20，∴MN=6．
∴点M的坐标是（12，6）．故答案为（12，6）．
10.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值，求最小值。
解：
如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10
，
∵点B与点B′关于AC对称，∴BE⊥AC，
∴S△ABC=
AC•BE=
AB•BC，
得BE=4
，BB′=2BE=8
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，
则∠B′BG=∠ACB，
又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，
B′G=16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：
16cm．
11.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM+PN的最小值是
解:
作点N关于BD的对称点N′，交AD与N/，连接N/M，则N/M=AB最短。
故答案为：
MN/=10cm
12.（仿真六）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．P是BD上的一个动点（P与B、D不重合）
（1）求证：
△APB≌△CPB；
（2）设折线EPC的长为y，求y的最小值，并说明点P此时的位置．
解：
AE=
BD=2
可证BP=
BD,∴BP=
距B点
。
13.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=900，BC=2
，B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值
解：
作C关于BD的对称点C/,过C/作C/F⊥BC于F，则CE+EF的最小值是C/F。
C/F∥AC，∴
∴
∴C/F=2,CE+EF的最小值是2.
14.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上，CN=2,E是BC的中点，M是AC上的一个动点，则EM+MN的最小值
解：
作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M
∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，
∴点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2，
又∵DC=4，
∴EN’为梯形的中位线，
∴EN′=
（AD+BC）=6，
∴EM+MN最小值为：
EN′=6．
16.已知等腰梯形ABCD，AD∥BC,AB=DC,AC平分∠BCD,BA⊥AC,若AC=4
P、M、N分别是AC、AD、DC上的任意一点，则PM+PN的最小值
解：
作点N关于AC的对称点N/,过N/作BC的垂线交AD于M,MN/交AC于点P，则MN最短是夹在AD与BC间的垂线段最短。
可知∠B=600,在Rt△ABC中，AC=4
，则AB=4.
在Rt△ABH中，AH=sin600×4=
×4=2
.即PM+PN的最小值是2
。
二，最大值问题
知识点:
求
的最大值；①A,B在直线l的同侧.②A,B在直线l的两侧.
1.两点A,B在直线MN外的同侧，点A到MN的距离AC=8，点B到MN的距离BD=5,CD=4，P在直线MN上运动，则
的最大值是。
解：
延长AB交L于点P′，
∵P/A-P/B=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，AB＞|PA-PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，
∵BD=5，CD=4，AC=8，
过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，
∴AB2=AE2+BE2=16+9=25．∴AB=5．
∴|PA-PB|=5为最大．故答案为：
5．
2.已知在△ABC中，AB=3,AC=2,以BC为边的△BCP是等边△，求AB的最大值和最小值。
解:
将△PAC绕P点逆时针旋转600得到△PBA/,则AA/=AP
A/B=AC,∠APA/=600,可得到等边三角形AA/P.
∴AB=3,AC=A/B=2,则AA/：
∴AB-A/B≤AA/≤AB+A/B
即1≤AA/≤5,故AP的最大值是5，最小值是1.
3.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为22，最小值为
解：
连接AC、DP，S正方形ABCD=1×1=1，由勾股定理得：
AC=
∵AB=1，∴1≤AP≤
S△DPC=S△APC=
AP×CC′，
1=S正方形ABCD=S△ABP+S△ADP+S△DPC=
·AP（BB′+DD′+CC′），
∴
·AP=1/BB′+DD′+CC′
∵1≤AP≤
即
≤AP≤
，
∴
≤1/BB′+DD′+CC′≤
（如
≤
≤
）
∴
≤BB′+CC′+DD′≤2，
故答案为：
2，
3
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