C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：
选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.
角度三 创新集合新性质
创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．
3．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当
时，b＋c＋d等于（ ）
A．1B．－1
C．0D．i
解析：
选B ∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，
∴b＋c＋d＝（－1）＋0＝－1.
[类题通法]
解决新定义问题应注意以下几点
（1）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；
（2）按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；
（3）对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
1．易混否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．注意区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B⇒/A）；与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A⇒/B）两者的不同．
[试一试]
1．（2013·福建高考）设点P（x，y），则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：
x＋y－1＝0上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：
x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：
x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：
x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：
____________________.
解析：
原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：
∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．
答案：
“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”
1．判断充分条件和必要条件的方法
（1）命题判断法：
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．
（2）集合判断法：
从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：
p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}，那么：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；
③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
（3）等价转化法：
p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．
2．转化与化归思想
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
[练一练]
1．（2014·济南模拟）设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.
2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是________．
解析：
原命题与其逆否命题为等价命题．
答案：
若b∈M，则a∉M
考点一
命题及其相互关系
1.命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠
，则tanα≠1 B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
解析：
选C 命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”．
2．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．
①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：
对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f（x）＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：
②④
[类题通法]
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.
考点二
充分必要条件的判定
[典例]
（1）（2013·山东高考）给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2013·北京高考）“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[解析]
（1）由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．
（2）由sinφ＝0可得φ＝kπ（k∈Z），此为曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．
[答案]
（1）A
（2）A
[类题通法]
充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．
[针对训练]
下列各题中，p是q的什么条件？
（1）在△ABC中，p：
A＝B，q：
sinA＝sinB；
（2）p：
|x|＝x，q：
x2＋x≥0.
解：
（1）若A＝B，则sinA＝sinB，即p⇒q.
又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.
故A＝B，即q⇒p.
所以p是q的充要条件．
（2）p：
{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：
{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，
∵AB，
∴p是q的充分不必要条件．
考点三
充分必要条件的应用
[典例] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．
[解]
（1）由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，
∴
∴
这样的m不存在．
（2）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴
∴m≤3.
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：
由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S⇒/P.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴
或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
[类题通法]
利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：
（1）若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；
（2）若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；
（3）若p是q的充要条件，则p⇔q.
[针对训练]
（2013·浙江名校联考）一次函数y＝－
x＋
的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（ ）
A．m>1，且n<1B．mn<0
C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0
解析：
选B 因为y＝－
x＋
经过第一、三、四象限，故－
>0，
<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.
第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
2．全称量词和存在量词
（1）全称量词
“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．
（2）存在量词
“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．
（3）全称命题
含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：
∀x∈M，p（x）．
（4）特称命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可用符号简记为：
∃x0∈M，p（x0）．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．
[试一试]
1．（2013·四川高考）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
∀x∈A,2x∈B，则（ ）
A．綈p：
∃x∈A,2x∈B B．綈p：
∃x∉A,2x∈B
C．綈p：
∃x∈A,2x∉BD．綈p：
∀x∉A,2x∉B
解析：
选C 由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词．
2．若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否定为________．
答案：
若ab≠0，则a≠0且b≠0
1．含逻辑联结词命题真假判断：
（1）p∧q中一假即假．
（2）p∨q中一真必真．
（3）綈p真，p假；綈p假，p真．
2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．
3．判断命题的真假要注意：
全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
[练一练]
1．（2013·重庆高考）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x
≥0
D．存在x0∈R，使得x
<0
解析：
选D 全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.
2．已知命题p：
∃x0∈R，x
＋
≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．
解析：
p是真命题，则q是假命题．
答案：
p、p∨q
考点一
全称命
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