学年人教版数学七年级上学期期末复习专题 找规律之解答题专项一.docx

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学年人教版数学七年级上学期期末复习专题找规律之解答题专项一

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯

2020年秋人教版数学七年级期末复习专题：

找规律之解答题专项

（一）

1．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝

．

如果图3中的圆圈共有13层．

（1）我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是　　；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，…，求最底层最右边圆圈内的数是　　；

（3）求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）

2．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：

（1）当有5张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？

（2）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？

（3）、新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？

为什么？

3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．

（1）在第5个图中用了　　块黑色正方形；

（2）第n个图形要用　　块黑色正方形；

（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？

如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．

4．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：

（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？

n张桌子呢？

对于方式二呢？

（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？

按方式二呢？

（3）在

（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则共可坐多少人？

（4）一天中午，该餐厅来了98为顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？

5．观察下列图形：

如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：

（1）设第n个图形和第n﹣1个图形中所有三角形的个数分别为an、an﹣1，问：

它们之间有什么数量关系？

请写出这个关系式．

（2）请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论．

6．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．

第2层第1层…第n层

（1）当图

（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：

　　；

（2）图

（2）中的小圆圈一共有　　个（用含n的代数式表示）

（3）如果图

（1）中的圆圈共有13层，图

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是　　；

（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．

7．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，请根据图中的信息完成下列的问题：

（1）填写下表：

图形编号

①

②

③

④

…

图中石子的总数

5

12

…

（2）第20个图形需要　　颗石子；

（3）如果继续摆放下去，那么第N个图案要用　　颗石子；

（4）该同学准备用200颗石子来摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，第n个图案能否刚好用完这200颗石子？

如果可以，说出n的值？

如果不行，说出n的最大值以及至少还剩余几颗石子？

8．某数学兴趣小组在用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，一同学摆放了如下图案，请根据图中信息完成下列的问题：

（1）填写下表：

图形编号

①

②

③

…

…

图中棋子的总数

…

…

（2）第10个图形中棋子为　　颗围棋；

（3）该同学如果继续摆放下去，那么第n个图案要用　　颗围棋．

9．图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b；再分别连接图b中间小三角形的三边的中点，得到图c

（1）图b有　　个三角形，图c有　　个三角形．

（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．

（3）当n＝10时，第10个图形中有多少个三角形？

10．如图，将一张正方形纸片剪去四个大小形状一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中一个小正方形剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．

（1）填表：

剪的次数

1

2

3

4

5

正方形个数

4

7

10

13

（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？

（3）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？

（4）如果要剪出100个正方形，那么需要剪多少次？

参考答案

1．解：

（1）当有13层时，图3中到第12层共有：

1+2+3+…+11+12＝78个圆圈，

最底层最左边这个圆圈中的数是：

78+1＝79；

（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝

＝91个数，

最底层最右边圆圈内的数是﹣23+91﹣1＝67；

（3）图4中共有91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，

所以图4中所有圆圈中各数的和为：

﹣23﹣22﹣…﹣1+0+1+2+…+67

＝﹣（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67）

＝﹣276+2278

＝2002．

故答案为：

（1）79；

（2）67．

2．解：

（1）有5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐5×4+2＝22人；用第二种摆设方式，可以坐5×2+4＝14人；

（2）有n张桌子，用第一种摆设方式可以坐4n+2人；用第二种摆设方式，可以坐2n+4（用含有n的代数式表示）；

（3）选择第一种方式．理由如下；

第一种方式：

60张桌子一共可以坐60×4+2＝242（人）．

第二种方式：

60张桌子一共可以坐60×2+4＝124（人）．

又242＞200＞124，

所以选择第一种方式．

3．解：

（1）观察如图可以发现，第1个图中，需要黑色正方形的块数为3×1+1＝4，

第2个图中，需要黑色正方形的块数为3×2+1＝7；

第3个图中，需要黑色正方形的块数为3×3+1＝10；

…

由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．

所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；

所以第5个图形中，要用：

3×5+1＝16（块）黑色正方形；

故答案是：

16；

（2）由

（1）知，第n个图形要用3n+1块黑色正方形；

故答案是：

（3n+1）；

（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90，

解得：

n＝

．

因为n不是整数，所以不能．

4．解：

（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．4张桌子可以坐18人，有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2．

第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，四桌子可以坐12人，n张桌子可以坐6+2（n﹣1）＝2n+4．

（2）方式一：

40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+16]＝176人，

方式二：

40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+8]＝112人；

（3）方式二：

40张桌子拼成5张大桌子可以坐5×[6+14]＝100人；

（4）第一种，因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98，

当n＝25时，2×25+4＝54＜98．

所以，选用第一种摆放方式．

5．解：

（1）按题中图形的排列规律可得：

an＝3an﹣1+2．

（2）由

（1）得：

an＝3an﹣1+2，an﹣1＝3an﹣2+2，两式相减得：

an﹣an﹣1＝3（an﹣1﹣an﹣2）①

当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n﹣2）个等式：

a3﹣a2＝3（a2﹣a1），a4﹣a3＝3（a3﹣a2），a5﹣a4＝3（a4﹣a3），

an﹣an﹣1＝3（an﹣1﹣an﹣2）．

显然an﹣an﹣1≠0，以上（n﹣2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：

an﹣an﹣1＝3n﹣2（a2﹣a1）②

∵a2﹣a1＝17﹣5＝12，由

（1）又可知an﹣1＝

（an﹣2），

将它们代入②式即得：

an＝2×3n﹣1．

6．解：

（1）如图

（1），当小圆圈有10层时，图中共有：

1+2+3+…+10＝55个圆圈；

故答案为：

55；

（2）当有n层时，一个正三角形共有：

1+2+3+…+n＝

个圆圈，

∴图

（2）中的小圆圈一共有：

n（n+1）个，

故答案为：

n（n+1）；

（3）图

（1）中，当有12层时，图中共有：

1+2+3+…+12＝78个圆圈；

∴如果图

（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，则第三个圆圈中的数是：

78+3＝81，

故答案为：

81；

（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝

＝91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，

所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：

|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+67，

＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），

＝276+2278，

＝2554．

7．解：

（1）第三个是3×（3+4）＝21，第四个是4×（4+4）＝32，

（2）第20个图形是20×（20+4）＝480个；

（3）第n个图形是n（n+4）；故答案为：

21，32；480；n（n+4）；

（4）当n＝12时，有12×（12+4）＝192，

当n＝13时，有13×（13+4）＝221＞200，

故不能刚好用完这200颗石子，

n最大值为12，至少还剩8颗石子．

8．解：

（1）由图可得，第一个图案3颗棋子，

第二个图案6颗棋子，

第三个图案10颗棋子．

故答案为：

3，6，10；

（2）由图可得，第10个图案中的棋子为：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝66个，

故答案为：

66；

（3）由图可知：

第一个图案1+2颗棋子，

第二个图案1+2+3颗棋子，

第三个图案1+2+3+4颗棋子，

故第n个图案的棋子为：

1+2+3+…+（n+1）＝

颗，

故答案为：

．

9．解：

（1）b中有5个三角形，c中有9个三角形．

（2）依题意得：

n＝1时，有1个三角形；

n＝2时，有5个三角形；

n＝3时，有9个三角形；

…

∴当n＝n时有4n﹣3个三角形．

（3）当n＝10时，有40﹣3＝37个三角形．

10．解：

（1）填表如下：

剪的次数

1

2

3

4

5

正方形个数

4

7

10

13

16

（2）结合图形，不难发现：

在4的基础上，依次多3个．

如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；

（3）如果剪了n次，共剪出3n+1个小正方形；

（4）令3n+1＝100，

解得：

n＝33，

答：

剪出100个小正方形时，需要33次．