最新河南省初中数学竞赛预赛试题及答案.docx
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最新河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
2014年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：
2014年3月2日上午9:
00--11:
00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，
则a20132014b
c2015的值为
【
】
（A）2013【答】D．
（B）
2014
（C）2015
（D）0
解：
最大的负整数是－1，∴a=－1；绝对值最小的有理数是0，∴b=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴c=1.
2013201520132015
∴a20132014bc2015=
（1）20132014012015=0.
xyz5，
2.已知实数x,y,z满足则代数式4x4z1的值是【4xy2z2.
（A）3（B）3（C）7（D）7
3.
答】A．
解：
两式相减得3x-3z-3，则4x4z1
按图2所示摆放，那么，图1
设图
合面
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，中的线段MN在图2中的对应线段是【】
图2
2，
首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
bxc的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，
4.已知二次函数
yax2
b2
4ac，abc，
ab
c，2a
b中，其值为正的式子的个数为【
3个
C）4个
A）2个
B）
D）4个以上
答】
解：
C．
由图象可得：
a0，抛物线与x轴有两个交点，∴b2
0，c0，∴ab0，ac0，bc0.
4ac0.当x=1时，y0，即ab
c0.
当x=1时，y0，即abc
0.从图象可得，抛物线对称轴在直线
x=1的左边，即
b1，∴2ab0.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为2a
5.如图，
反比例函数y
4个.
Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，
1
x
x>0）的图象上移动时，
B点坐标满足的函数解析式为【
81x（x<0）
1
B）y41x（x<0）
当A点在
C）y
1
2x
x<0）
D）
x<0）
答】
B．
解：
如图，
分别过点A,B分别做y轴的垂线
SANO
SOMB
（OOBA）2
4.
SANO
12ON
AN12,
S1
OMB
8
OMBM1，故y
4
1
4x
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，
点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】
（A）1（B）2（C）3（D）6
7．已知3x2，化简2x3（x9）2得
2
解：
设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得x2，即x=10，所以P（摸
7.∴x21218.
x
69x5
出一个红色玻璃球）
6
6
6
910
25.
2
9.若x2x1x
4，
则x2
121=
2
x
【答】8．
x2x解：
∵
x
1
4，∴
x13x
则（x1）29，即x212
xx2
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.
答】．
解：
∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=23，BO=DO=4，
∴阴影部分面积=S扇形OBDS△AOBS扇形OACS△COD=S扇形OBDS扇形OAC
=904290（23）2
=360360
11．如图，在矩形ABCD中，
AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿
BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1=
【答】221．
解：
过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，
在Rt△A1BM中，
2222A1M2A1B2BM29（4x）2，
∴9（4x）2=x2，∴x=A1M=2，
2
∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=221.
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，a+b+c+d=5，若m是关于x的方程（x－a）（x
c、d的一个整数根，则m的值为.
【答】20．
解：
∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数.∵2014=1×2×19×53，
∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d=5，∴m=20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：
设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有5x7y10z346，y2z.
4分
34624z
5
易知0∴5x14z10z346，5x24z346，即x
∵x，y，z均为正整数，34624z≥0，即0∴z只能取14，9和4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
50本，大笔记本8本，钢
⋯⋯⋯⋯⋯14分
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本
笔4支.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，
AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PHDE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；
（2）若AE=2EB.
1求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；
2
圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？
（直接写出满足条件的圆的个数即可.）
5分
侧，过点O1作O1G1DF于G1，则可设O1G1O1Br1.
1113
QSEO1FSEBO1SEBF,r15r1334.解得r1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
EO1FEBO1EBF2121212
若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2DF于G2，则
可设O2G2O2Br2.
SFO2D1FO2DC1DFO2G2.FO2D22222
11
2（4r2（）63）2（105）r2.解得r26.
即满足条件的圆的半径为3或6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分2
②6个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
15.如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA=AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE，求证：
PA=PE；
（2）连接PC，若PC+PE=23，试求AB的最大值；
（3）在
（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：
（1）证明：
如图1，连接AE.
OAAB,AOBABO.
AB//OC,ABOBOC.
5分
（2）∵PC+PE=23，∴PC+PA=23.
显然有OB=AC≤PC+PA=23.⋯⋯⋯⋯⋯7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=3x，
∴3x≤23，∴x≤2.
即AB的最大值为2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
（3）当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.
分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为（1，3），∴可设N点坐标为（a，3a），则DF=a－m，NF=3a，
FC=4－a.
∵△OMD∽△FND∽△FCN，OD
DF
NF
OM
NF
FC
3a
4a
解得，m
43，即当0431431
△MNC为钝角三角形；
14分
15分
精品文档
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；
3
方的点（不包
当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.
OBBC,CNMN,MN//OB.
ODMBOC30.
OM1,ODm3.
∴当3⋯18分
综上所述，当0431
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