最新河南省初中数学竞赛预赛试题及答案.docx
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最新河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
2014年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
(竞赛时间:
2014年3月2日上午9:
00--11:
00)
一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.若a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,
则a20132014b
c2015的值为
【
】
(A)2013【答】D.
(B)
2014
(C)2015
(D)0
解:
最大的负整数是-1,∴a=-1;绝对值最小的有理数是0,∴b=0;倒数等于它本身的自然数是1,∴c=1.
2013201520132015
∴a20132014bc2015=
(1)20132014012015=0.
xyz5,
2.已知实数x,y,z满足则代数式4x4z1的值是【4xy2z2.
(A)3(B)3(C)7(D)7
3.
答】A.
解:
两式相减得3x-3z-3,则4x4z1
按图2所示摆放,那么,图1
设图
合面
3.如图,将表面展开图(图1)还原为正方体,中的线段MN在图2中的对应线段是【】
图2
2,
首先确定B点,所以线段d与AM重合,MN与线段c重合.
bxc的图象如图所示,则下列7个代数式ab,ac,bc,
4.已知二次函数
yax2
b2
4ac,abc,
ab
c,2a
b中,其值为正的式子的个数为【
3个
C)4个
A)2个
B)
D)4个以上
答】
解:
C.
由图象可得:
a0,抛物线与x轴有两个交点,∴b2
0,c0,∴ab0,ac0,bc0.
4ac0.当x=1时,y0,即ab
c0.
当x=1时,y0,即abc
0.从图象可得,抛物线对称轴在直线
x=1的左边,即
b1,∴2ab0.因此7个代数式中,其值为正的式子的个数为2a
5.如图,
反比例函数y
4个.
Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,
1
x
x>0)的图象上移动时,
B点坐标满足的函数解析式为【
81x(x<0)
1
B)y41x(x<0)
当A点在
C)y
1
2x
x<0)
D)
x<0)
答】
B.
解:
如图,
分别过点A,B分别做y轴的垂线
SANO
SOMB
(OOBA)2
4.
SANO
12ON
AN12,
S1
OMB
8
OMBM1,故y
4
1
4x
6.如图,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C、D在边AB上,且AC=DB=1,
点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E、F分别为MN、QR的中点,连接EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时,点G移动的路径长为【】
(A)1(B)2(C)3(D)6
7.已知3x2,化简2x3(x9)2得
2
解:
设口袋中蓝色玻璃球有x个,依题意,得x2,即x=10,所以P(摸
7.∴x21218.
x
69x5
出一个红色玻璃球)
6
6
6
910
25.
2
9.若x2x1x
4,
则x2
121=
2
x
【答】8.
x2x解:
∵
x
1
4,∴
x13x
则(x1)29,即x212
xx2
10.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD,则AB扫过的面积为.
答】.
解:
∵Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,
∴AO=CO=23,BO=DO=4,
∴阴影部分面积=S扇形OBDS△AOBS扇形OACS△COD=S扇形OBDS扇形OAC
=904290(23)2
=360360
11.如图,在矩形ABCD中,
AB=3,BC=4,点E是AD上一个动点,把△BAE沿
BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时,CA1=
【答】221.
解:
过A1作A1M⊥BC,垂足为M,设CM=A1M=x,则BM=4-x,
在Rt△A1BM中,
2222A1M2A1B2BM29(4x)2,
∴9(4x)2=x2,∴x=A1M=2,
2
∴在等腰Rt△A1CM中,CA1=221.
12.已知a、b、c、d是四个不同的整数,a+b+c+d=5,若m是关于x的方程(x-a)(x
c、d的一个整数根,则m的值为.
【答】20.
解:
∵(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=2014,且a、b、c、d是四个不同的整数,由于m是大于a、b、c、d的一个整数根,∴(m-a)、(m-b)、(m-c)、(m-d)是四个不同的正整数.∵2014=1×2×19×53,
∴(m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d=5,∴m=20.
三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少?
解:
设购买小笔记本x本,大笔记本y本,钢笔z支,
则有5x7y10z346,y2z.
4分
34624z
5
易知0∴5x14z10z346,5x24z346,即x
∵x,y,z均为正整数,34624z≥0,即0∴z只能取14,9和4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
50本,大笔记本8本,钢
⋯⋯⋯⋯⋯14分
综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本
笔4支.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14.如图,在矩形ABCD中,AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F,
AE=6.
(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合),PHDE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式;
(2)若AE=2EB.
1求圆心在直线BC上,且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长;
2
圆心在直线BC上,且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个?
(直接写出满足条件的圆的个数即可.)
5分
侧,过点O1作O1G1DF于G1,则可设O1G1O1Br1.
1113
QSEO1FSEBO1SEBF,r15r1334.解得r1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
EO1FEBO1EBF2121212
若⊙O2与直线DE、AB都相切,且圆心O2在AB的右侧,过点O2作O2G2DF于G2,则
可设O2G2O2Br2.
SFO2D1FO2DC1DFO2G2.FO2D22222
11
2(4r2()63)2(105)r2.解得r26.
即满足条件的圆的半径为3或6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分2
②6个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
15.如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA=AB=BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.
(1)连接PA、PE,求证:
PA=PE;
(2)连接PC,若PC+PE=23,试求AB的最大值;
(3)在
(2)在条件下,当AB取最大值时,如图2,点M坐标为(0,-1),点D为线段OC上一个动点,当D点从O点向C点移动时,直线MD与梯形另一边交点为N,设D点横坐标为m,当△MNC为钝角三角形时,求m的范围.
解:
(1)证明:
如图1,连接AE.
OAAB,AOBABO.
AB//OC,ABOBOC.
5分
(2)∵PC+PE=23,∴PC+PA=23.
显然有OB=AC≤PC+PA=23.⋯⋯⋯⋯⋯7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x,则OC=2x,OB=3x,
∴3x≤23,∴x≤2.
即AB的最大值为2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
(3)当AB取最大值时,AB=OA=BC=2,OC=4.
分三种情况讨论:
①当N点在OA上时,如图2,若CN⊥MN时,此时线段OA上N点下方的点(不包括N、O)均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴,垂足为F,
∵A点坐标为(1,3),∴可设N点坐标为(a,3a),则DF=a-m,NF=3a,
FC=4-a.
∵△OMD∽△FND∽△FCN,OD
DF
NF
OM
NF
FC
3a
4a
解得,m
43,即当0431431
△MNC为钝角三角形;
14分
15分
精品文档
②当N点在AB上时,不能满足△MNC为钝角三角形;
3
方的点(不包
当N点在BC上时,如图3,若CN⊥MN时,此时BC上N点括N、C)均满足△MNC为钝角三角形.
OBBC,CNMN,MN//OB.
ODMBOC30.
OM1,ODm3.
∴当3⋯18分
综上所述,当0431